24.直线参数方程的应用
第19讲:直线参数方程的应用 157
第19讲:直线参数方程的应用
在课程标准中, 直线参数方程是选修内容, 被安排在《选修4-4》, 是安徽高考的必考内容; 直线参数的方程应用非常广泛, 它是一种很有效的解析工具, 具有独特的功能.
1.参数方程:经过点M(x0,y 0), 且倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎨
⎧x =x 0+t cos α
(t为参数);
⎩y =y 0+t sin α
2.几何意义:若直线l 上的点P 对应的参数为t, 则|PM|=|t|,且①当点P 在点M 上方时,t>0;②点P 与点M 重合时,t=0;③点P 在点M 下方时,t
3.基本性质:若直线l 上的点A 、B 对应的参数为t A 、t B , 则:①|AB|=|tA -t B |;②|MA||MB|=|tA t B |;③A 、B 两点的中点所对应的参数为
t A +t B
; ④M 是线段AB 中点的充要条件是t A +tB =0; 2
例1:点的坐标.
[始源问题]:(2010年湖北高考试题) 已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上任一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差
是1.
(Ⅰ) 求曲线C 的方程;
(Ⅱ) 是否存在正数m, 对于过点M(m,0)且与曲线C 有连个交点A,B 的任一直线, 都有FA ⋅FB
[解析]:(Ⅰ) 设直线l:x=-1,由C 上任一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差是1⇒C 上任一点到点F(1,0)的距
离等于它到直线l 的距离⇒曲线C 是以F 为焦点, 直线l 为准线的抛物线, 其方程为y =4x; (Ⅱ) 设直线AB:⎨
⎧x =m +t cos θ
(t为参数, θ∈[0,π) 是直线AB 的倾斜角), 点A 、B 对应的参数分别为t 1、t 2, 即A(m+t1cos
⎩y =t sin θ
⎧x =m +t cos θ4cos θ4m 222
代入y =4x得t sin θ-4tcos θ-4m=0⇒t 1+t2=,t 1t 2=-2; 所2
sin θsin θ⎩y =t sin θ
2
2
2
2
θ,t 1sin θ),B(m+t2cos θ,t 2sin θ), 把⎨
以, FA ⋅FB
4cos 2θsin 2θ
2
利用直线的参数方程, 首先要设点对应的参数, 并由此写出对应点的坐标, 从而解决相关问题. 利用直线的参数方程解题的优势是无需考虑斜率是否存在.
[原创问题]:己知点A(4,0),B(1,0),动点P 满足:AB ⋅AP =6|PB |.
(Ⅰ) 求动点P 的轨迹C 的方程;
(Ⅱ) 设MN 是过轨迹C 的右焦点F 的弦, 在x 轴上是否存在定点Q, 使得QM ⋅QN 是定值. 若存在, 求点Q 的坐标和该定值; 若不存在, 请说明理由.
[解析]:(Ⅰ) 设点P(x,y),由AB ⋅AP =6|PB |⇒(-3,0)(x-4,y)=6
P 的轨迹C 的方程为
x 2y 2
+=1; 43
(x -1) 2+y 2⇒4-x=2(x -1) 2+y 2⇒3x +4y=12⇒动点
22
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知轨迹C 的右焦点F(1,0),设直线MN:⎨
⎧x =1+t cos θ
(t为参数, θ∈[0,π) 是直线AB 的倾斜角), 点A 、B 对应
⎩y =t sin θ
的参数分别为t 1、t 2, 即A(1+t1cos θ,t 1sin θ),B(1+t2cos θ,t 2sin θ), 把⎨
⎧x =1+t cos θx 2y 222
代入+=1得:(4sinθ+3cosθ)
43⎩y =t sin θ
158 第19讲:直线参数方程的应用
t +6tcosθ-9=0⇒t 1+t2=
2
2
2
6cos θ4sin θ+3cos θ
2
2
,t 1t 2=-
94sin θ+3cos 2θ
2
2
; 假设存在定点Q(q,0),则QM ⋅QN =(1-q+t1cos θ)(1-q+t2cos θ)
6cos 2θ4sin 2θ+3cos 2θ
9
4sin 2θ+3cos 2θ
2
+t1t 2sin θ=(1-q)+(1-q)(t1+t2)cos θ+t1t 2=(1-q)+(1-q)值⇔(-9):6(1-q)=4:(-1)⇔q=
5. 8
-=(1-q)+
6(1-q ) cos 2θ-9
4-cos 2θ
是定
例2:弦长问题.
[始源问题]:(2008年安徽高考试题) 己知椭圆C:
(Ⅰ) 求椭圆C 的方程;
(Ⅱ) 己知过点F 1(-2,0)倾斜角为θ的直线交椭圆C 于A 、B 两点, 求证:|AB|=
422-cos 2θ
x 2y 2
+=1(a>b>0),其相应于焦点F(2,0)的准线方程为x=4. a 2b 2
;
(Ⅲ) 过点F 1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于点A,B 和D,E, 求|AB|+|DE|的最小值.
a 2
[解析]:(Ⅰ) 由=4,a2-b 2=4⇒a 2=8,b2=4⇒椭圆C:x2+2y2=8;
2
(Ⅱ) 设直线AB:⎨
⇒|AB|=|t1-t 2|=
⎧x =-2+t cos θ4cos θ42222
(t为参数), 代入x +2y=8得:(1+sinθ)t -4tcos θ-4=0⇒t 1+t2=,t 1t 2=- 2
1+sin θ1+sin 2θ⎩y =t sin θ
421+sin 2θ
=
422-cos 2θ
;
42
(Ⅲ) 由|AB|=
422-cos 2θ
⇒|DE|=
2-cos 2(900+θ)
=
422-sin 2θ
⇒|AB|+|DE|=
2
(2-cos 2θ)(2-sin 2θ)
≥42.
∆
. |a |
利用参数方程求弦长, 若直线的参数方程代入二次曲线方程后, 所得关于参数t 的方程为at +bt+c=0,则弦长=
2
[原创问题]:F 为双曲线C:x a
2
-
y 2
=1(a>0,b>0)的右b 焦点,P 为双曲线C 右支上一点, 且位于x 轴上方,M 为左准线上一点,O 为坐标原点, 四边形OFPM 为菱形. (Ⅰ) 求双曲线C 的离心率e;
(Ⅱ) 经过焦点F 且平行于OP 的直线交双曲线于A 、B 两 点, 若|AB|=12,求此时的双曲线方程.
[解析]:(Ⅰ) 由|PF|=|OF|⇒|PF|=c,设点M 1是PM 与双曲线右准线的交点, 由|PF|:|PM1|=e⇒|PM1|=|PF|=, 又由
2a 2c 2
+=c⇒e -e-2=0⇒e=2; |PM|=|OF|⇒c e
2
3(Ⅱ) 由(Ⅰ) 得:e=2⇒c=2a,且|PF|=c⇒|OM|=c⇒|MH|=OM |2-|OH |2=c 2-(a 2=a ⇒P(a , a ); 设直线AB
1
e c e
c 222
⎧22t ⎪x =2a +
⎪4(t为参数), 代入x -y =1得:t2+66at+18a2=0⇒|AB|= 的倾斜角为θ, 则sin θ=,cos θ=, 直线AB:⎨
a 23a 244⎪y =t
⎪4⎩
2
12a=12⇒a=1.故双曲线方程为x -
y 2
=1. 3
例3:线段的比.
第19讲:直线参数方程的应用 159 [始源问题]:(2010年辽宁高考试题) 设椭圆C:
点, 直线l 的倾斜角为60, AF =2FB . (Ⅰ) 求椭圆C 的离心率; (Ⅱ) 如果|AB|=
15
, 求椭圆C 的方程. 4
x 2y 2
=1(a>b>0)的左焦点为F, 过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A,B 两+
a 2b 2
1⎧
x =c +t 22⎪2(t为参数), 点A 、B 对应的参数分别为t 、t , 代入x +y =1得:(3a2+b2)t 2+ [解析]:(Ⅰ) 设F(c,0),直线MN:⎪12⎨
a 2b 2⎪y =3t
⎪2⎩
4b ct-4b =0⇒t 1+t2=-2
2
2
24
4b 2c 3a 2+b 2
,t 1t 2=-
4b 43a 2+b 2
; 而AF =2FB ⇔t 1+2t2=0⇒t 2=
4b 2c 3a 2+b 2
,2t 2=
2
4b 43a 2+b 2
⇒2(
4b 2c 3a 2+b 2
) =
2
4b 43a 2+b 2
x 22158ab 2y 2
+=1. ⇒3a +b=8c⇒2a=3c⇒离心率e=; (Ⅱ)|AB|=22=⇒a=3,b=5⇒椭圆C:93453a +b
利用直线参数方程解题的关键是理解、掌握, 并灵活利用参数t 的几何意义, 而关注参数t 的符号是正确使用直线参数方程解题、防止失分的正确途径. 过点P 的直线与二次曲线交于A 、B 两点, 点A 、B 对应的参数分别为t 1、t 2, AP =λPB , 则:t1+λt 2=0.
[原创问题]:设过点P(4,
(Ⅰ) 求椭圆C 的方程;
), 且斜率为
x 2y 2的直线l 与椭圆C:2+=1(a>b>0)交于两个不同的点A 、B, 且PA =2PB .
3a 2
(Ⅱ) 设M 为椭圆上任意一点, 且OM =λOA +μOB (λ, μ∈R), 证明:λ+μ为定值.
2⎧
t ⎪x =4+32⎪
,cos θ=(t为参数), 代入⇒直线l:⎨77⎪y =+t
⎪7⎩
22
[解析]:(Ⅰ) 设直线l 的倾斜角为θ, 则tan θ=
⇒sin θ=2
x 2a 2
+
7⋅483212y 227(3a 2+24) 62482
=1得:(a +)t +(a +)t+48=0⇒t 1+t2=-,t 1t 2=; 而PA =2PB ⇔t 1=2t2⇒3t 2=- 23773a +123a +1277
2(3a 2+24) 3a +12
,2t 2=
2
7⋅483a 2+12
⇒2[-
2(3a 2+24) 3a 2+12
]=9⋅
2
7⋅483a 2+12
⇒8(3a+24)=9⋅48(3a+12)⇒a=2⇒椭圆C:
222
x 2y 2
+=1; 43
22
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知椭圆方程为3x +4y=12,设A(x1,y 1),B(x2,y 2),M(x,y),则由OM =λOA +μOB ⇒x=λx 1+μx 2,y=λy 1+μy 2⇒3(λ
x 1+μx 2) +4(λy 1+μy 2) =12⇒λ(3x1+4y1)+μ(3x2+4y2) +2λμ(3x1x 2+4y1y 2)=12⇒12(λ+μ)+2λμ(x1x 2+4y1y 2)=12;又由(Ⅰ) 知t 1+t2=-37,t 1t 2=14⇒x 1x 2=(4+μ=1为定值.
2
[1**********]
27
t 1)(4+
2t 2)=0,y1y 2=(+
7
t 1)(+
7
t 2)=0⇒x 1x 2+3y1y 2=0⇒λ+
2
例4:线段的积.
2
[始源问题]:(人教版《. 坐标系与参数方程》(选修4-4). 习题2.3(P39)第4题) 经过抛物线y =2px(p>0)外的一点A(-2,-4)
且倾斜角为45的直线l 与抛物线分别交于M 1、M 2. 如果|AM1|,|M1M 2|,|AM2|成等比数列, 求p 的值.
⎧2
t ⎪x =-2+
(t为参数), 点M 1、M 2对应的参数为t A 、t B ; 把直线l 的参数方程[解析]:由题知可设直线l 的参数方程为:⎪⎨
⎪y =-4+2t ⎪2⎩
代入y =2px得:t-22(p+4)t+8p+32=0⇒t 1+t2=22(p+4),t1t 2=8p+32;由|AM1|,|M1M 2|,|AM2|成等比数列⇔|AM1||AM2|= |M1M 2|⇔|t1t 2|=|t1-t 2|(由点A 在抛物线外⇒t 1与t 2同号⇒t 1t 2>0)⇔(t1+t2) =5t1t 2⇔8(p+4)=5(8p+32)⇔p=1. 过点P 的直线与二次曲线交于A 、B 两点, 点A 、B 对应的参数分别为t 1、t 2, 则:|PA||PB|=|t1t 2|;本题为解决抛物线中
2
2
2
2
22
160 第19讲:直线参数方程的应用
三线段长成等比数列问题提供了直线方程的参数解法, 具有移植价值.
[原创问题]:若直线l 与抛物线C:y2=2px(p>0)分别交于A 、B 两点, 且直线l 分别与x 、y 轴交于点Q 、P. 求证:|PA|,|PQ|,
|PB|成等比数列.
⎧x =t cos αb
(t为参数), 点A 、B 对应的参数为t A 、t B ; 令y=0得:t=-⇒|PQ|
sin αy =b +t sin α⎩
[解析]:设P(0,b),直线l 的参数方程为:⎨
b b 222222
=|t|=, 把直线l 的参数方程代入y =2px得:tsin α+2(bsinα-pcos α)t+b=0⇒|PA||PB|=|t1t 2|=2=|PQ|⇒
sin αsin α
|PA|,|PQ|,|PB|成等比数列.
考虑到求轨迹方程, 尤其是轨迹方程为直线的问题是安徽高考命题所寻觅的, 构造上题的一个逆命题可得:
[原创问题]:已知离心率e=1的椭圆G:
2
x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2, 过点F 1且与x 轴垂的直线l 被
椭圆截得的弦长为3. 动圆P 过点F 2且与直线l 相切, 动圆的圆心P 的轨迹为C. (Ⅰ) 求轨迹C 的方程;
(Ⅱ) 过点F 2的动直线与轨迹C 交于A 、B 两点, 若直线AB 上的点Q, 满足:|F2A||F2B|=|F2Q|, 求点Q 的轨迹方程.
2
[解析]:(Ⅰ) 由e=
-
b 2a =
12b 2
, =3⇒a=2,b=3⇒直线l:x=-1,点F 2(1,0);由动圆P 过点F 2且与直线l 相切⇒圆心2a
2
P 到点F 2的距离等于P 到直线l 的距离, 由抛物线的定义知, 轨迹C 是以F 2为焦点, 直线l 为准线的抛物线, 其方程为y =4x; (Ⅱ) 设直线AB 的倾斜角为θ(0≤θ
⇒点Q 的轨迹方程是y=±2.
2
2
2
⎧x =1+t cos θ2
(t为参数), 点A 、B 对应的参数为t A 、t B ; 代入y =4x
⎩y =t sin θ
4
2
sin θ
⇒|F2Q|=
2
⇒|F2Q|sinθ=2⇒点Q 到x 轴的距离等于2 sin θ
例5:选择参量.
[始源问题]:(2011年天津高考试题) 在平面直角坐标系xOy 中, 点P(a,b)(a>b>0)为动点,F 1,F 2分别为椭圆x +
a
2
y 2b =1
的左右焦点. 已知△F 1PF 2为等腰三角形. (Ⅰ) 求椭圆的离心率e;
(Ⅱ) 设直线PF 2与椭圆相交于A 、B 两点,M 是直线PF 2上的点, 满足AM ⋅BM =-2,求点M 的轨迹方程.
12
[解析]:(Ⅰ) 由△F 1PF 2为等腰三角形⇒|F1F 2|=|PF2|⇒4c 2=(a-c)2+b2⇒a 2-ac=2c2⇒2e 2+e-1=0⇒e=;
b
=a -c
(Ⅱ) 设M(x0,y 0), 因k PF 2=
a -c a -c
22
=
⎧
x =x 0+⎪a +c 1+e 0⎪
==⇒直线PF 2的倾斜角=60⇒直线PF 2:⎨a -c 1-e ⎪y =y +
0⎪⎩1
t
(t为参3t 2
4 15
数), 点A 、B 对应的参数为t A 、t B ; 代入
x 2a 2
+
y 2b 2
=1,即
x 24c 2
+
y 23c 2
=1得:15t+4(3x0+43y 0)t+4(3x0+4y0-12c )=0⇒t 1t 2=
2222
222
(3x0+4y0-12c ); 由AM ⋅BM =-2⇒t 1t 2=-2⇒
44y 032222
(3x0+4y0-12c )=-2;又因k MF 2=⇒=3⇒c=x0-y 0⇒[3x0 15153x 0-c
+4y0-12(x0-
2
22
18x 0-1530x 0+15222
y 0) )=-2⇒18x 0-16x 0y 0-15=0⇒y 0=>0⇒x 0>0⇒点M 的轨迹方程:18x-16xy ⇒c=
48x 03x 0
-15=0(x>00). 经过点M(x0,y 0), 且倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎨角α是灵活使用直线参数方程的一条途径.
⎧x =x 0+t cos α
(t为参数), 选择始点M(x0,y 0) 和倾斜
⎩y =y 0+t sin α
x 2y 21
[原创问题]:己知椭圆G:2+2=1(a>b>0)过点(1,e)和(2e,), 其中是椭圆的离心率.
2a b
第19讲:直线参数方程的应用 161
(Ⅰ) 求椭圆G 的方程;
(Ⅱ) 过点M(1,0)作两条互相垂直的直线l 1、l 2, 设直线l 1与椭圆G 交于A 、B 两点, 直线l 2与椭圆G 交于C 、D 两点, 求AC ⋅BD 的最大值.
e 2b 2
4e 2a 2
x 21222222
=1⇒b +c=ab ,c=a ⇒b=1,a=2⇒椭圆G:+y=1;
444
[解析]:(Ⅰ) 由
1a 2
+=1,+
(Ⅱ) 设直线AB 的倾斜角为θ, 则直线CD 的倾斜角为θ+
31+3sin θ
2
⎧x =1+t cos θπx 222
, 直线AB:⎨(t为参数), 代入+y=1得:(1+3sin
42⎩y =t sin θ
θ)t +2tcosθ-3=0⇒t A t B =-
2
⇒t C t D =-
3
1+3sin (
2
2
=-+θ)
31+3cos 2θ
; 由AB ⊥CD ⇒MA ⋅MD =MB ⋅MC =0⇒AC ⋅
BD =(MC -MA )(MD -MB )=MC ⋅MD +MA ⋅MB -(MA ⋅MD +MB ⋅MC )=MC ⋅MD +MA ⋅MB =tC t D +tA t B =-(
31+3cos θ
2
31+3sin 2θ
+
2
)=-
1133122222
[(1+3sinθ)+(1+3cosθ)](+) ≤-(1+1)=-; 等号当且仅当(1+3sinθ)=(1+ 225551+3sin θ1+3cos θ
3cos θ), 即θ=
π
时成立. 4
例6:四点共圆.
[始源问题]:(人教版. 《坐标系与参数方程》(选修4-4). 例4(P38))AB,CD 是椭圆G:
交点为P, 若直线AB 与CD 的倾斜角互补. 求证:|PA||PB|=|PC||PD|.
x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a>b>0)的两条相交弦,
[解析]:设直线AB 的倾斜角为θ(0≤θ
(t为参数), 点A 、B 对应的参数为t A 、t B ; 代入a b )=0⇒|PA||PB|=|t1t 2|=|PA||PB|=|PC||PD|.
根据圆幂定理的逆定理,|PA||PB|=|PC||PD|⇔A 、B 、C 、D 四点共圆. 自然的想法是考虑逆命题:
2
2
⎧x =x 0+t cos θ
⎩y =y 0+t sin θ
2
2
2
2
x 2a 2
+
y 2b 2
=1得:(asin θ+bcos θ)t +2(bx 0cos θ+ay 0sin θ)t+(bx 0+ay 0-
22|b 2x 0+a 2y 0-a 2b 2|
2222222
22
|b 2x 0+a 2y 0-a 2b 2|
a 2sin 2θ+b 2cos 2θ
; 同理可得:|PC||PD|=
a 2sin 2(π-θ) +b 2cos 2(π-θ)
=
22
|b 2x 0+a 2y 0-a 2b 2|
a 2sin 2θ+b 2cos 2θ
⇒
[共圆定理]:AB,CD 是椭圆G:
AB 与CD 的倾斜角互补.
x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a>b>0)的两条相交弦, 交点为P. 求证:A、B 、C 、D 四点共圆的充要条件是直线
[解析]:设直线AB 的倾斜角为α(0≤α
⎧x =x 0+t cos αx 2y 22222222
(t为参数), 点A 、B 对应的参数为t 、t ; 代入+=1得:(asin α+bcos α)t +2(bx A B 0cos α+ay 0sin α)t ⎨
a b ⎩y =y 0+t sin α
+(bx 0+ay 0-a b )=0⇒|PA||PB|=|t1t 2|=四点共圆⇔|PA||PB|=|PC||PD|⇔
2
2
2
2
2
2
2
222222
22
|b 2x 0+a 2y 0-a 2b 2|
a 2sin 2α+b 2cos 2α
; 同理可得:|PC||PD|=
2
22
|b 2x 0+a 2y 0-a 2b 2|
a 2sin 2β+b 2cos 2β
2
2
2
2
; 所以,A 、B 、C 、D
2
2
2
2
22
|b 2x 0+a 2y 0-a 2b 2|
a sin α+b cos α
2
2
2222
=
22
|b 2x 0+a 2y 0-a 2b 2|
a sin β+b cos β
2222
⇔a sin α+bcos α=asin β+bcos β⇔a
+(b-a )cos α=a+(b-a )cos β⇔cos α=cosβ⇔cos α+cosβ=0(cosα-cos β=0舍去) ⇔α+β=π.
巧妙选取该定理的特殊情况是高考命题的常用手法. 如2002年河南、江苏高考试题、2005年湖北高考试题、2011年全国大纲卷高考试题中的四点共圆问题均是该定理的特殊情况, 考虑到安徽高考解析几何试题的命题情结, 构造如下:
[原创问题]:已知椭圆C:
y 2a +
x 2b =1(a>b>0)的离心率e=
6
, 经过点P(1,3)的直线与椭圆C 交于A 、B 两点, 如果点P 3
162 第19讲:直线参数方程的应用
为线段AB 的中点, 且|AB|=62. (Ⅰ) 求椭圆C 与直线AB 的方程;
(Ⅱ) 若经过点P 的另一条直线与椭圆C 交于M 、N 两点, 且A 、M 、B 、N 四点均在圆Q 上, 求直线MN 与圆Q 的方程.
[解析]:(Ⅰ) 设直线AB 的倾斜角为α(0≤α
入
2
x =1+t cos α
⎩y =3+t sin α
2
2
22
(t为参数), 点A 、B 对应的参数为t A 、t B ; 代
y 2a
2
+
x 2b
2
=1得:(acos α+bsin α)t +2(acos α+3bsin α)t+(a+9b-a b )=0;由点P 为线段AB 的中点⇒t 1+t2=0⇒
2
2222222
a 2+9b 2-a 2b 222a cos α+3bsin α=0⇒tan α=-2; 又由e=-2== ⇒a =3b⇒tan α=-1⇒直线AB:x+y-4=0;t1t 2=22
3a 3b a cos α+b 2sin 2α
a 2
b 2
3y 2x 22
(4-b) ⇒|AB|=|t1-t 2|=(t 1+t 2) 2-4t 1t 2=6(b 2-4) =6⇒b=4⇒椭圆C:+=1; 24816
(Ⅱ) 设直线MN 的倾斜角为β(0≤β
2
2
2
⎧x =1+t cos βy 2x 2
(t为参数), 点M 、N 对应的参数为t A 、t B ; 代入+=1
16y =3+t sin β48⎩
得:(48cosβ+16sinβ)t +96(cosβ+sinβ)t-16×36=0⇒|PM||PN|=
16⨯3648cos β+16sin 2β
2
; 由(Ⅰ) 知,|PA||PB|=18;所以,
A 、M 、B 、N 四点共圆⇔|PA||PB|=|PM||PN|⇔48cos β+16sinβ=32⇔sin β=-18=0⇒MN 的中点Q 对应的参数t=-=
81
. 2
22
22
⇔tan β=1⇒直线MN:y=x+2;t+32t 2
[**************]22
+(3) =⇒点Q(-, ) ⇒|PQ|=⇒R =⇒圆Q:(x+) +(y-)
22222222
例7:共轭点的轨迹.
[始源问题]:(2008年安徽高考试题) 设椭圆C:
(Ⅰ) 求椭圆C 的方程;
(Ⅱ) 当过点P(4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A 、B 时, 在线段AB 上取点Q, 满足:|AP |⋅|QB |=|AQ |⋅|PB |, 证明:点Q 总在某定直线上.
1⎧22
⎧⎪2+2=1x 2y 2⎪a =4⇒⎨2[解析]:(Ⅰ) 由题意得⎨a b , 故所求椭圆C 的方程为+=1;
2242⎪b =2⎪⎩⎩a -b =2
x 2y 2
=1(a>b>0)过点M(2,1), 左焦点为F 1(-2,0). +
a 2b 2
(Ⅱ) 设直线l 的倾斜角为α(0≤α
142cos α+sin α
2
2
⎧x =4+t cos α
(t为参数), 点A 、B 、Q 对应的参数分别为t 1、t 2、t;
y =1+t sin α⎩
x 2y 24(sinα+2cos α) 222
+=1得:(cosα+2sinα)t +4(sinα+2cosα)t+14=0⇒t 1+t2=-,t 1t 2= 42cos α+2sin α
77cos α|QA ||AP |t -t 1t 12t t
⇒⇒t=12=-⇒x=4-==,y
sin α+2cos αsin α+2cos α|QB ||PB |t 2-t t 2t 1+t 2
; 由|AP |⋅|QB |=|AQ |⋅|PB |⇒
=1-
7sin α2cos αsin α
⇒2(4-x)+(1-y)=7(+)=7⇒2x+y-2=0.
sin α+2cos αsin α+2cos αsin α+2cos α
x 2y 2
[原创问题]:己知椭圆C:2+2=1(a>b>0),其相应于焦点F(2,0)的准线方程为x=4.
a b
(Ⅰ) 求椭圆C 的方程;
(Ⅱ) 当过点P(4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A 、B 时, 在线段AB 上取点Q, 满足:AP ⋅QB +AQ ⋅PB =0,证明:
第19讲:直线参数方程的应用 163
点Q 总在某定直线上.
a 2222222
=4,a-b =4⇒a =8,b=4⇒椭圆C:x+2y=8; 2
[解析]:(Ⅰ) 由
(Ⅱ) 设直线l 的倾斜角为α(0≤α
2
2
2
2
⎧x =4+t cos α
(t为参数), 点A 、B 、Q 对应的参数分别为t 1、t 2、t;
y =1+t sin α⎩
2
把直线l 参数方程的代入x +2y=8得:(cosα+2sinα)t +4(sinα+2cosα)t+10=0⇒t 1+t2=-102cos α+sin α
2
2
4(sinα+2cos α) cos 2α+2sin 2α
,t 1t 2=
; 由AP ⋅QB +AQ ⋅PB =0⇒
5|QA ||AP |t -t 1t 12t t
==⇒⇒t=12=-⇒x=4+tcos=4-
sin α+2cos α|QB ||PB |t 2-t t 2t 1+t 2
5cos α5sin α10cos α+5sin α
,y=1+tsinα=1-=-5⇒2x+y=4⇒点Q 总在某定直线:2x+y=4⇒2(x-4)+(y-1)=-sin α+2cos αsin α+2cos αsin α+2cos α
上.
[始源问题]:(《中学数学研究》.2013年9期P 24) 若抛物线y 2=2px(p>0)的准线与对称轴的交点为A, 过点A 作抛物线的
割线交抛物线于B 、C 两点, 作倾斜角与BC 互补的割线交抛物线于M 、N 两点, 交x 轴于点F, 且|FM||FN|=|AB||AC|,则点F 为抛物线的焦点.
p ⎧
⎪x =-+t cos θ
[解析]:设F(x0,0), 直线BC 的倾斜角为θ, 则直线MN 的倾斜角为π-θ, 直线BC:⎨(t为参数), 代入抛物线2
⎪y =t sin θ⎩
方程得:tsin θ-2tcos θ+p=0⇒|AB||AC|=t1t 2=
2px 0sin θ
2
222
p 2sin 2θ
; 同理可得:|FM||FN|=
2px 0sin 2θ
; 由|FM||FN|=|AB||AC|⇒
p 2sin 2θ
=
⇒x 0=
p
⇒点F 为抛物线的焦点. 2
推广该命题, 考虑到安徽高考命题的轨迹方程情结, 使用推广命题的逆命题:
[原创问题]:已知点Q(2,1)到抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F 的距离为3.
(Ⅰ) 求抛物线C 的方程;
(Ⅱ) 过点Q 的动直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点, 倾斜角与直线l 的倾斜角互补的直线MN 交抛物线C 于M 、N 两点. 若直线MN 上的点P, 满足:PM ⋅PN +⋅=0,求点P 的轨迹方程.
[解析]:(Ⅰ) 由点Q(2,1)到抛物线C 焦点F 的距离=点Q(2,1)到抛物线C 的准线:x=-4x;
(Ⅱ) 设P(x0,y 0), 直线l 的倾斜角为θ, 则直线MN 的倾斜角为π-θ, 直线MN:⎨
p p 2
⇒2+=3⇒p=2⇒抛物线C:y= 22
π-θ) =x 0-t cos θ⎧x =x 0+t cos(
(t为参数), 代
y =y +t sin(π-θ) =y +t sin θ00⎩
2
y 0-4x 0
222
入抛物线方程得:tsin θ+2(y0sin θ+2cosθ)t+y0-4x 0=0⇒PM ⋅PN =|PM |⋅|PN |=t1t 2=
sin 2θ
; 同理可得:QA ⋅QB
=-
7sin θ
; 由PM ⋅PN +QA ⋅QB =0⇒
2y 0-4x 0
sin 2θ
-
7sin θ
=0⇒y 0=4x0+7⇒点P 的轨迹方程:y=4x+7.
22
例8:两点参数方程.
[始源问题]:(1982年全国高考试题) 抛物线y 2=2px的内接三角形有两边与抛物线x 2=2qy相切, 证明这个三角形的第三
边也与x =2qy相切.
2
[解析]:不失一般性, 设p>0,q>0.设y 2=2px的内接三角形顶点为A(2pa2,2pa),B(2pb2,2pb),C(2pc2,2pc), 则直线AB:y-
2pa=
122
(x-2pa) ⇒(a+b)y=x+2pab,同理可得直线AC:(a+c)y=x+2pac,直线BC:(b+c)y=x+2pbc;因直线AB 与抛物线x = a +b
164 第19讲:直线参数方程的应用
2qy 相切⇔(a+b)y -2[2pab(a+b)-q]y+4pa b =0有等根⇔[2pab(a+b)-q]-4p a b (a+b)=0⇔q=4pab(a+b);同理:直线AC 与抛物线x =2qy相切⇔q=4pac(a+c),直线BC 与抛物线x =2qy相切⇔q=4pbc(b+c);若直线AB 、AC 与抛物线x =2qy相切, 则 q=4pab(a+b)=4pac(a+c)⇒(a+b)b=(a+c)c(b≠c) ⇒a+b+c=0⇒q=4pab(a+b)=-4pabc=4pbc(b+c)⇒直线BC 与抛物线x =2qy相切.
圆锥曲线的外切三角形有许多优美的性质, 他们可能成为今后高考命题的生长点, 现给出直线的另一种参数方程的应用例子.
2
2
2
2
22
222
2
22
2
2
[原创问题]:如图, △ABC 为抛物线y 2=2px(p>0)的
外切三角形, 切点分别为N 、
M 、R, 若AN =λ1NB , BR =λ2RC , CM =λ3MA , 求证:λ1λ2λ3[解析]:设A(x1,y 1),B(x2,y 2),C(x3,y 3), 直线AB 的参数方程:x=
2
x 1+λx 2y +λy 2
,y=1(λ为参数, λ≠1+λ1+λ
2
2
2
代入y =2px得:(y2-2px 2) λ+2(y1y 2-px 1-px 2)+(y1-2px 1)
=0,由直线AB 与抛物线y =2px相切于点N, 且点N 对应的参数为λ1⇒该方程有等根λ1, 由韦达定理知, λ理可得:λ
22
2
21
=
2
y 1-2px 12y 2-2px 2
; 同
=
2
y 2-2px 2y 3
-2px 3
, λ3=
2
2y 3-2px 3y 1
-2px 1
⇒λ21λ
22λ3=1;又因λ10,λ30⇒λ1λ2λ3=1.
2
[原创问题]:如图, △ABC 为椭圆
x 2y 2
=1(a>b>0)的+
a 2b 2
外切三角形, 切点分别为N 、M 、R, 若AN =λ1NB , BR λ2RC , CM =λ3MA , 求证:λ1λ2λ3[解析]:设A(x1,y 1),B(x2,y 2),C(x3,y 3), 直线AB 的参数方程:x=
x 1+λx 2y +λy 2
,y=1(λ为参数, λ≠-1), 代入 1+λ1+λ
x 2y 2x 2y [***********]
=1得:(bx 2+ay 2-a b ) λ+(2bx 1x 2+2ay 1y 2-2a b ) λ+(bx 1+ay 1-a b )=0;由直线AB 与椭圆2+2=1相切于点N, +
a 2b 2a b
且点N 对应的参数为λ1⇒该方程有等根λ1, 由韦达定理知, λ1==
22b 2x 3+a 2y 3-a 2b 22b 2x 1
2
22b 2x 1+a 2y 1-a 2b 222b 2x 2+a 2y 2-a 2b 2
; 同理可得:λ2=
2
22
b 2x 2+a 2y 2-a 2b 222b 2x 3+a 2y 3-a 2b 2
, λ
2 3
+
2
a 2y 1
-a b
22
⇒λ
21λ
22λ3=1;又因λ10,λ30⇒λ1λ2λ3=1.
2
[原创问题]:设椭圆C:
(Ⅰ) 求椭圆C 的方程;
3x 2y 2
+2=1(a>b>0)过点M(1,), 右焦点为F(1,0). 2
2a b
(Ⅱ) 过点F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点, 交y 轴于点P, 且PA =λAF , PB =μBF . 证明:λ+μ为定值.
9⎧1
⎪2+2=1⎧x 2y 2⎪a 2=4
⇒⎨2[解析]:(Ⅰ) 由题意得⎨a 4b , 故所求椭圆C 的方程为+=1; ⎪b =343⎪a 2-b 2=1⎩⎩
(Ⅱ) 设P(0,p),由PA =λAF ⇒A(3(
λ
1+λ
λ
1+λ
,
μp p x 2y 2
), PB =μBF ⇒B(, ); 又由点A 、B 在椭圆C +=1上⇒
1+μ1+μ1+λ43
) +4(
2
μp t p p 2222222
) =12,3() +4() =12⇒λ、μ是关于t 的方程3() +4() =12,即9t +24t+12-4p=0
1+μ1+μ1+t 1+t 1+λ
8
3
的两根⇒λ+μ=-为定值.