考虑摩擦力时的齿轮系统动力学分析
《机床与液压》20051No 12
・73・
考虑摩擦力时的齿轮系统动力学分析
韩致信, 朱秋玲
(兰州理工大学, 兰州730050)
摘要:根据齿轮啮合原理和齿面方程, 从Lagrange 方程出发, 并考虑到轮齿啮合摩擦力对系统的影响, 建立了直齿圆柱齿轮转子-轴承系统的弯扭耦合动力学方程, 并用数值方法求解了系统的多自由度时变非线性微分方程, 求出了在扭转激励下, 系统的弯扭振动响应, 为系统的动态分析做了理论准备。
关键词:啮合原理; 齿轮系统动力学; 数值方法中图分类号:TG457125 文献标识码:A 文章编号:1001-3881(2005) 2-073-2
D ynam i ca l Ana lysis of Gear System w ith Con si der i n g Fr i cti ona l Force
HAN Zhi 2xin, ZHU Q iu 2ling
(Lanzhou University of Technol ogy, Lanzhou 730050, China )
Abstract:According t o the meshing theory and equati on of involute t ooth p r ofile, and considering the influence of fricti on force of gears -meshing on the syste m, a bearing -r otate coup led dyna m ic equati on was established based Lagrange equati on . The large degrees of freedom ti m e -variable non -linear differential equati on of the syste m was s method and the res pond of bearing -r otate vibrati on under t orsi onal excitati on was given .
Keywords:Meshing theory; Gear syste m dyna m ic; Nu 0 前言
类。。分析齿轮系统的内部激励和振动对降低齿轮系统的振动和噪声都有很重要的意义。本文的主要目的是:在考虑啮合时变刚度、齿轮误差和摩擦力的情况下, 应用数值分析的方法, 研究齿轮的振动特性, 为今后研究齿轮在各种情况下不同的参数对系统的动态参数的影响提供另一种选择。1 齿轮传动系统的动力学模型的建立(图1
)
) 2 -e
故齿面间的摩擦力可以近似表示为:
F f =λfF p
根据自由运动的拉格朗日方程,
1111
-+=F j --d 9q j 99q 9q j 9j 其中, q j 依次取主动轮振动系统的广义自由度x 1、y 1、θ则1。
T 1=V 1=D 1=
・222
m 1x +I 1θ+m 1y 11122222
k x 1x 1+k y 1y 12222
c x 1x +c y 1y 1122
・222m 2x +I 2θ+m 2y 22222222
k x 2x 2+k y 2y 22222
c x 2x +c y 2y 2222
同理, 对于齿轮2有:
T 2=V 2=D 2=
图1 齿轮系统的啮合关系图及动力学模型
采用集中质量模型。假设条件:齿轮、传动轴及
轴承为线弹性体, 箱体为刚性, 齿轮为直齿轮, 不存在值, 不存在质量偏心, 在静态条件下, 系统各零件处于理论准确安装位置, 齿轮传动不存在摆动, 并忽略重力。
齿轮啮合时的啮合力为:
F p =k m (y 1+R 1θ 1-y 2+R 2θ2-e ) +c m (y 1+R 1θ1-・
广义力分别为:
x 1方向:F x 1=F f , y 1方向:F y 1=-F p θα-H ) 1:T 1=-F p R 1-T 1+F f (R 1tg
x 2方向:F x 2=-F f , y 2方向:F y 2=F p 对于整个系统, 取广义自由度为:X =[x 1, y 1, θ1, x 2, y 2, θ2]则全振动的微分方程为:
・
¨[M]X+[C ]X+[K ]X=F
(1)
其中阻尼C 、刚度K 、质量M 的矩阵, 广义力F 的方
程分别为:
・74・
k x 1
《机床与液压》20051No 12
-λfk m
k y 1+k m k m (R 1-R 1)
-λfk m R 1
k m R 1
k m R 1(R 1-R 1)
000
k x 2
λfk m
-k m
-k m (R 1-R 1)
-λfk m
k y 2+k m k m (R 2-R 2)
-λfk m R 1
k m R 2
k m R 2(R 1-R 1)
K =
0000
c x 1
λfk m
-k m
k m (R 2-R 2)
λfk m R 1
-k m R 1
k m R 1(R 2-R 2)
λfk m R 2
-k m R 2
k m R 2(R 2-R 200000
c x 2
-λfc m
c y 1+c m c m (R 1-R 1)
-λfc m R 1
c m R 1
c m R 1(R 1-R 1)
λfc m
-c m
-c m (R 1-R 1)
-λfc m
c y 2+c m c m (R 2-R 2)
-λfc m R 1
c m R 2
c m R 2(R 1-R 1)
C =
0000
m 1
λfc m
-c m
c m (R 2-R 2)
λfc m R 1
-c m R 1
c m R 1(R 2-R 2)
λfc m R 2
-c m R 2
c m R 2(R 2-R 200
m 1
00
I 1
000
m 2
0000
0000
M =
0000
F x 1F y 1T 1F x 2F y 2T 2
0000
000(λfek m +λf e k m )
k m e +c m e
R 1k m e +R 1c m e -T 1-R 1k m e +R 1c m F λfek m +λf e k m
) -(k m e +c m e
R 2k m e +R 2c m e -T 2-R 2k m e +R 2c m -1、齿轮的质量动, 同时又要考虑齿轮动态啮合刚度和阻尼的时变性, 使系统的振动方程具有时变非线性, 这种多自由度非线性方程组一般很难得到精确解, 因此绝大多数采用数值解法求解。
使用数值方法求解, 必须进行降阶处理, 可以将方程中的状态向量的一阶导数增加为系统的状态变量, 则方程(1) 转化为解常微分方程(2) 初值问题的标准形式如下式:
Y =X
・・
α-H ) , i =1, 2R i =λf (R i tg
α=(N 1B 1-N 1P ) sin αH =PB 1tg
ββα=R 1(tg -tg 1′1) sin
α′α′α=R 1[tg 1-tg (1-ω1t ) ]sin
α, t ∈[0, t 1]≈R 1ω1t sin
α=(N 2B 2-N 2P ) sin αH =PB 2tg β′βα=R 2(tg 2-tg 2) sin
α]sin α=R 2[tg (β2+ω2t ) -tg
α, t =[t 1, T ]≈R 2ω2t sin
式中:α—齿轮的啮合角, 在标准中心距安装下, 大小等于齿轮的分度圆的压力角;
k i, j —齿轮系在i j 上的刚度分量, i =x, y; j =1, 2; c i, j —齿轮系在i j 上的阻尼分量, i =x, y; j =1, 2; c m —啮合齿轮对的综合阻尼; k m —啮合齿轮对的综合刚度; T —一对齿轮的啮合时间, T =60/n 1z 1; ωi —齿轮i 的转速, i =1, 2;
H —啮合点至节点间的距离; f —摩擦力系数; λ—摩擦力方向系数, F f 沿x 正方向时取为+1,
[M]Y +[C ]Y +[k ]X=F
m 2=5kg ,
I 1=0103kg ・m ,
5
2
2
(2)
参数设置如下:α=20°, 模数m =3, m 1=10kg ,
I 2=01006kg ・m , k x 1=
k x 2=1×10N /m, ω1=1000r/min , R 2=0103m , 传动
比k =3, T 1=110N ・m , 摩擦系数f =0104。
图2 在扭转激励下的齿轮轴心轨迹和扭转相位图
(下转第77页)
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表4 被评价对象
对象
指标工件生产
精度类型
工厂技术水平
0170
值为δk , 工厂夹具制造水平为一般, 现场同类夹具公差要求严格, 其它因素对夹具影响较小。试优化设计夹具公差。
由文献[1]查得该类夹具公差值的经验取值范
(0150, 0144) 、围为(015~012) δk , 将其离散为
(0144, 0138) 、(0138, 0132) 、(0132, 0126) 、(0126, 0120) 等五个区间。将工件精度、生产类型、工厂技术水平、同类夹具公差及其它因素等划分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ, 即机床性能综合评价得分在01950以上为Ⅴ类, 0190~0195为Ⅳ类, 0185~0190为Ⅲ类, 0180~0185为Ⅱ类, 0180以下为Ⅰ类, 其余类推见表2, 阈值见表3, 评价的公差对于灰类评价标准取值见表4。
表2 灰类划分(r ij )
(j ) 工件生产工厂技精度类型术水平灰类(i )
Ⅰ
ⅡⅢⅣⅤ
[1**********]5
[1**********]80>0190
同类夹具其它
公差因素
0190
0180
夹具公差对灰类
01950185
标准的评价取值
利用灰色聚类综合评价软件, 求得聚类系数见表5。
表5 聚类系数
灰类ⅠⅡⅢⅣⅤ磨削件的线
[***********][1**********]5
速度(v w )
同类夹具公差
0195
其它因素
0195
δ 按加权平均得夹具公差T =012905k , 如果按最
δ大聚类取值则为T =0123k 。一般按加权平均取值,
δ即取υw =012905k 。
3, 只需根据果, 避免了人的主观随意性, 结果更符合实际情况。灰色聚类综合评价方法简便可行、实用性强、通用性好, 便于微机编程。当指标多、分级多、选择的公差评价参数多时, 更能显示它的优越性。
>0195 注:r ij 为j 个指标第i 个灰类的无量纲化值(i =1~n,
j =1~m , 其中n =m =5)
参考文献
【1】东北重型机械学院, 洛阳工学院等编1机床夹具设计
手册(第三版) [M]1上海:上海科学技术出版社,
19981
表3 阈值(λij )
(j ) 工件生产精度类型灰类(i )
Ⅰ014001375
ⅡⅢⅣⅤ
[***********][***********]1925
工厂技
术水平
[***********]7501925
同类夹具公差
[***********]501975
其它因素
[***********]501975
【2】罗佑新, 张龙庭, 李 敏1灰色系统理论及其在机械
工程中的应用[M]1长沙:国防科技大学出版社,
20011
作者简介:汪 超(1971~) , 女, 硕士, 湖南常德人, 讲师。主要从事机械设计与制造, 汽车理论与加工工艺方面的教学与科研工作。电话:0736-6181990
注:r ij 为j 个指标第i 个灰类的无量纲化值(i =1~n,
j =1~m , 其中n =m =5)
收稿时间:2003-12-23
【3】唐增宝, 钟毅芳1直齿圆柱齿轮传动系统的振动分析1
机械工程学报, 1992, 28(4) :86~931
【4】孙月海, 张 策, 潘凤章, 陈树勋, 黄永强1直齿圆
柱齿轮传动系统振动的动力学模型1机械工程学报,
2000, 36(8) :47~501
(上接第74页)
用Gill 法求解系统动态响应, 得出一对齿轮啮合期间的相位图,
由图2可以知道, 啮合轮齿齿面之间的摩擦力不仅能引起转子的扭转振动也能引起转子的横向振动。
参考文献
【1】L in H H. Dyna m ic l oading of s pur gears with linear or
parabolic t ooth p r ofile modificati ons . 1994, 29(8) :1115~11291
Mech .
Theory,
【5】李 明, 胡海岩1完整约束下齿轮啮合转子系统的完
扭耦合振动稳态响应1振动工程学报, 2003, 16
(1) :75~801
【6】李润方, 王建军1齿轮系统动力学———振动、冲剂、
噪声1科学出版社, 1997:166~1701
作者简介:韩致信(1956~) , 男, 甘肃会宁人, 副教授。
【2】Lund J W. Critical s peed, stability and res ponse of
geared train of r ot ors . 1978, 100:535~5391
Journal of M echanical Design,
收稿时间:2003-12-10