三角函数公式及其应用
三角函数公式及其应用
●考试目标 主词填空
1. 两角和与差的三角函数.
（1）cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β； （2）sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β；
tan α±tan β1 tan αtan β
（3）tan(α±β)= 2. 倍角公式.
.
(1)sin2α=2sinαcosα;
(2)cos2α=2cos2α－1=1－2sin 2α=cos2α－sin 2α； (3)tan2α=
2tan α1-tan α
2
.
3. 半角公式. (1)sin
α
2=±
1-cos α
2
;
(2)cos
α
2
=±
1+cos α
2
；
（3）tan
α
2
=±
1-cos α1+cos α
.
●题型示例 点津归纳
【例1】 化简下列各式: (1)
32
cos15°－
12
cos75°;
(2)tan19°+tan41°+3tan19°·tan41°. 【解前点津】 (1)考虑
32, 12
所对应的特殊角，逆用差角的正弦公式;
(2)展开tan(19°+41°) 变形即得.
【规范解答】 (1)原式=sin60°·cos15°－cos60°·sin15° =sin(60°－15°)=sin45°=(2)∵tan(19°+41°)=
22
;
,
tan 19︒+tan 41︒1-tan 19︒∙tan 41︒
∴3×(1－tan19°·tan41°)=tan19°+tan41°, ∴原式=3.
【解后归纳】 对三角函数公式进行逆用或变用，是必须掌握的一项基本功. 【例2】 已知
π
2
3π4
,cos(α－β)=
1213
,sin(α+β)=－, 求sin 2α值.
5
3
【解前点津】 进行“角变形”.用α+β及α－β的形式表示2α,就能与条件 对上号!
【规范解答】 由条件知:(α－β)是第一象限角，(α+β)是第三象限角.
故sin(α－β)>0,cos(α+β)
-cos
2
(α-β) =
⎛12⎫- ⎪
⎝13⎭
2
=
513
2
；
cos(α+β)=－
⎛3⎫
1-sin (α+β) =-- -⎪
⎝5⎭
2
=-
45
.
∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］
=sin(α－β)·cos(α+β)+cos(α－β)·sin(α+β) =
56⎛4⎫12⎛3⎫
⨯ -⎪+⨯ -⎪=-13⎝5⎭13⎝5⎭655
.
【解答归纳】 应用三角公式，为了与条件对上号，掌用的变形手段有：
①变角，(本题就是对角进行变形). ②变名，(改变函数名称). ③变式，(改变式子结构). 【例3】 已知－
π
2
π
2
, -
π
2
π
2
, 且tanα,tanβ是方程x +6x +7=0的两个根，求α+β的值.
2
【解前点津】 先计算tan(α+β)的值及α+β的取值范围, 再确定α+β值. 【规范解答】 ①∵－
π
2
π
2
, -
π
2
π
2
, ∴－π
由根与系数的关系得:tanα+tanβ=－60, ∴tanα
tan α+tan β1-tan α∙tan β
=-61-7
=1, ∴α+β=－
34
π.
【解后归纳】 考察α+β的取值范围, 是一项精细的工作，要善于综合利用“各种信息”，去伪存真，从而达到“准确定位”.
【例4】 已知sinα+sinβ=
22
, 求cosα+cosβ的取值范围.
【解前点津】 令m =cosα+cosβ,利用条件, 构造关于m 的方程. 【规范解答】 设cosα+cosβ=m ① 又sinα+sinβ=
22
②.
12
22①+②得:2+2cos(α+β)=+m 2
⇒
cos(α+β)=
12
m
2
-
34
.
∵－1≤cos(α－β)≤1, ∴－1≤故－
m
2
22
-
34
≤1解之:－
2
2
≤m ≤
2
,
≤cosα+cosβ≤.
【解后归纳】 本题的解答体现了“方程思想”构造方程, 并利用三角函数的有界性，是解题的基本思路. ●对应训练 分阶提升 一、基础夯实
1. 已知sinα·sinβ=1,那么cos(α+β)的值等于 ( ) A. －1 B.0 C.1 D.±1 2. 若A , B 是△ABC 的内角，并且(1+tanA )·(1+tanB )=2,则A +B 等于 ( ) A.
π
4
B.
3π4
5π4
D. k π
+
π
4
(k ∈Z )
3. 若0127
π
2
3527
179
, 则sinα的值是 ( )
1
2327
B. C. D.
3
4. 在△ABC 中，若sin A ·sin B 0,则tan A ·tan B 的值是 ( ) A. 大于1 B. 小于1
C. 可能等于1 D. 与1的大小关系不定
6. 已知sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cos=0,则cos(β－γ)= ( ) A. －
1 B.
12
2
C. －1 D.1
7. 若tanα=3
⎛ 1-2⎫⎪, 3⨯⎛ tan α∙tan β-2⎫
⎪+tan β=0, α、β∈⎛ 0, π⎫⎪
, 则α+β= ( ⎝2⎪⎭
⎝2⎪⎭
⎝2⎭A. π
6
B.
π
π
3
C.
2
D.
2π3
8. 如果tan A 2=m n
, 那么m ·cos A －n ·sin A = ( A. n B. －n C. －m D. m 9.tan
π
12+cot
π
12
的值为 A.2 B.3 C.4 D.6
二、思维激活
2cos α-2sin ⎛ π⎫
10. 计算:
4-α⎪
⎝⎭=
2sin ⎛ π+α⎫
3cos α
⎝3⎪-
⎭
11. 已知:sinα=1
,2π
α
3
2
+cos
α
2
.
(1+sin α+cos α) ∙⎛
sin αα⎫12. 已知0
⎝
2-cos 2⎪
⎭= .
2+2cos α
13. 函数y =sinx ·⎛ 1+tan x ∙tan
x ⎫
⎝
2⎪⎭
的最小正周期是.
三、能力提高
14. 已知1+sinx +cosx +sin2x +cos2x =0,求tan x .
15. 已知4sin 2x －6sin x －cos 2x +3cosx =0,求:cos 2x -sin 2x (1-cos 2x ) ∙(1-tan 2x )
之值.
)
)
( )
16. 求sin10°·sin50°·sin70°的值.
17. 在△ABC 中，tan B +tanC +3tan B ·tan C =3. 且3tan A +3tan B +1=tanA ·tan B , 试判断△ABC 的形状.
第3课 三角函数公式习题解答
1.A 由条件知sinα=±1且sinβ=±1,故α=β=2k π+2.A ∵tan(A +B )=
tan A +tan B 1-tan A ∙tan B
π
2
或2k π－
π
4
π
2
,(k ∈Z ) ⇒α+β=2k π±π.
=1而0
3.C sinα=sin［(α+β)－β］=sin(α+β)·cosβ－cos(α+β)·sinβ =
2⎛
⎛1⎫ ⎛7⎫⨯ -⎪--1- ⎪9⎝3⎭ ⎝9⎭
⎝
7
2⎫
1⎛1⎫⎪
∙-= ⎪⎪3⎪⎝3⎭⎭
.
4.A 由条件得cos(A +B )>0,⇒C 是钝角. 5.A tan A ·tan B =
1-tan(A +B ) (tanA +tan B )
=1+
tan C tan A +tan B
>1.
6. A 由条件得1=(－sinα)2+(－cosα)2(sinβ+sinγ) 2+(cosβ+cosγ)2 =2+2(cosβcosγ+sinβsinγ)cosβcosγ+sinβsinγ=cos(β－γ)=－7.B 由条件可得:tanβ=
46+33
24
12
.
, 故
tan(α+β)=
tan α+tan β1-tan α∙tan β
=
1-
⎛2⎫46+33
⎪+3 1-
2⎪24⎝⎭2⎫⎛46+33⎫
⎪∙ ⎪3 1-
⎪ ⎪224⎝⎭⎝⎭
=3, ∴α+β=
π
3
.
1-tan
2
A 2
-n ∙A 2
2tan 1+tan
A 2
2
8.C 由万能公式得:m cos A －n ·sin A =m 1+tan
2
A 2
=m ∙
⎛m ⎫
1- ⎪
⎝n ⎭⎛m ⎫1+ ⎪
⎝n ⎭
2
2
-n ∙
⎛m ⎫2 ⎪⎝n ⎭⎛m ⎫1+ ⎪
⎝n ⎭
2
=
m ∙(n
2
-m ) -2mn
2
22
m +n
2
=-m
sin
π
12
cos +sin
π
12
9.C 原式=
cos
π
12
π
12
=sin
1
π
12
∙cos
π
12
=
2sin
π
6
=4
.
10.
2
∵分子=
α
2
2
cosα－2sin
32
π
4
cosα+2cos
α
2
2
π
4
sinα=
α
2
2
sinα,分母=2sin
13
π
3
cosα+2cos
π
3
sinα－3cosα=sinα,∴原式=
2
.
11. 由条件知:π
α
2
π故sin
α
2
α
2
∴sin +cos
⎛⎝
α
2
=－
α
2
αα⎫⎛
+cos sin ⎪22⎭⎝
=-+sin α=+=-
233
.
12. 分子= 2sin =2cos
α⎛
cos
α
2
+2cos
2
α⎫
αα⎫⎛
-cos ⎪∙ sin ⎪
2⎭⎝22⎭
αα⎫α
-cos (-cos α) sin ⎪=2cos
2⎝22⎭2
α
2
-1) =2cos
2
分母=2+2(2cos
α
2
. 故原式=－cosα.
13.2π.
2
14. 由条件得:(sinx +cosx )+2sinx ·cos x +2cosx =0⇒(sinx +cosx )·(1+2cosx )=0,
∴sin x +cosx =0或1+2cosx =0,∴tan x =－3 15. 由条件得:(2sinx －cos x )·［(2sinx +cosx ) －3］=0, ∵2sin x +cosx －3≠0,∴2sin x －cos x =0,
∴tan x =1⇒tan2x =4,sin2x =4,cos2x =3, ∴原式=3.
2
3
5
5
2
16. 原式=cos20°·cos40°·cos80°=8sin 20︒∙cos 20︒∙cos 40︒∙cos 80︒=sin 160︒=1.
8sin 20︒
8sin 20︒
8
17. 由tan B +tanC +3tan B ·tan C =3得:tanB +tanC =3(1－tan B ·tan C ), ∴tan A =－tan(B +C )=－3, ∴A =2π.
3
由3tan A +3·tan B +1=tanA ·tan B 得:－3+3tan B +1=－3·tan B . 解之:tanB =
33
, ∴B =
π
6
, C =π－(A +B )=
π
6
, 故△ABC 是等腰三角形.