求解圆锥曲线离心率的常用方法
求解圆锥曲线离心率的常用方法
曾安雄
离心率是圆锥曲线的一个重要性质，在高考中频繁出现，下面例析几种常用求法。
一、根据离心率的范围，估算e
利用圆锥曲线的离心率的范围来解题，有时可利用椭圆的离心率e∈（0，1），双曲线的离心率e>1，抛物线的离心率e=1来解决。
例1. 设 EMBED Equation.3 ，则二次曲线 EMBED Equation.3 的离心率的取值范围为（ ）
A. EMBED Equation.3 B. EMBED Equation.3 C. EMBED Equation.3 D. （ EMBED Equation.3 ）
解：由 EMBED Equation.3 ，知 EMBED Equation.3 ，
故所给的二次曲线是双曲线，由双曲线的离心率e>1，排除A、B、C，故选D。
二、直接求出a、c，求解e
已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式 EMBED Equation.3 来解决。
例2. 已知双曲线 EMBED Equation.3 的一条准线与抛物线 EMBED Equation.3 的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）
A. EMBED Equation.3 B. EMBED Equation.3 C. EMBED Equation.3 D. EMBED Equation.3
解：抛物线 EMBED Equation.3 的准线是 EMBED Equation.3 ，
即双曲线的右准线 EMBED Equation.3 ，
则 EMBED Equation.3 ，解得 EMBED Equation.3 ，
故选D。
例3. 点P（-3，1）在椭圆 EMBED Equation.3 的左准线上，过点P且方向为a=（2，-5）的光线，经直线 EMBED Equation.3 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）
A. EMBED Equation.3 B. EMBED Equation.3 C. EMBED Equation.3 D. EMBED Equation.3
解：由题意知，入射光线为 EMBED Equation.3 ，
关于 EMBED Equation.3 的反射光线（对称关系）为 EMBED Equation.3
则 EMBED Equation.3 解得 EMBED Equation.3
则 EMBED Equation.3 。故选A。
三、构造a、c的齐次式，解出e
根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，沟通a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。
例4. 已知F1、F2是双曲线 EMBED Equation.3 的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A. EMBED Equation.3 B. EMBED Equation.3 C. EMBED Equation.3 D. EMBED Equation.3
解：如图，设MF1的中点为P，则P的横坐标为 EMBED Equation.3 。
由焦半径公式 EMBED Equation.3 ，
即 EMBED Equation.3 ，得 EMBED Equation.3 ，
解得 EMBED Equation.3 ，故选D。
练习：
1. 过双曲线 EMBED Equation.3 的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点A，则双曲线的离心率等于_______。
（答案：2）
2. 设椭圆的两
个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
（答案： EMBED Equation.3 ）
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