变量的相关性与统计案例
1. (15湖北高考) 已知变量x 和y 满足关系y =-0.1x +1，变量y 与z 正相关. 下列结论中正确的是( )
A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关 【参考答案】A
【测量目标】考查线性回归方程.
【试题分析】因为变量x 和y 满足关系y =-0.1x +1，其中-0.10) ，则将y =-0.1x +1代入即可得到：
B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关
z =k (-0.1x +1) +b =-0.1kx +(k +b )(k >0) ，所以-0.1k
可知，应选A.
2. (本小题满分13分，（1）小问10分，（2）小问3分)
(15重庆高考) 随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长. 设某地区城乡居民人民
ˆ+a ˆ=bt ˆ （1）求y 关于t 的回归方程y
（2）用所求回归方程预测该地区2015年（t =6）的人民币储蓄存款.
ˆ+a ˆ=bt ˆ中 附：回归方程y
n n
⎧
(x i -)(y i -) ∑x i y i -∑⎪
1
⎪b =i =1n =i =n ,
⎨(x i -) 2x i 2-2∑∑⎪i =1i =1
⎪
ˆ=-⎩a
【测量目标】线性回归方程. 【试题分析】(1)列表计算如下
i 1 2 3 4 5
t i
1 2 3 4 5
y i
5 6 7 8 10
t i 2
1 4 9 16 25
t i y i
5 12 21 32 50
∑ 15 36 55 120
1n 151n 36
这里n =5, =∑t i ==3, =∑y i ==7.2
n i =15n i =15
又
∑t
i =1
n
2i
-=55-5⨯3=10, ∑t i y i -nt y =120-5⨯3⨯7.2=12.
2
2
i =1
n
ˆ=从而b
12ˆ=7.2-1.2⨯3=3.6. ˆ=-=1.2, a 10
ˆ=1.2t +3.6. 故所求回归方程为y
ˆ=1.2⨯6+3.6=10.8 (2)将t =6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y
3. （本小题满分12分）(15新课标Ⅰ高考) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费x i 和年销售量y i (i =1,2, ,8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值
.
1
表中w 1=w =
8
∑w
i =1
n
i
.
（1）根据散点图判断，y =a +bx 与y =c +y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z =0.2y -x ，根据（2）的结果回答下列问题：
（i ）当年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值时多少？ （ii ）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u 1, v 1) , (u 2, v 2) ，……，(u n , v n ) , 其回归线v =α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
=β
∑(u -u )(v -v )
i
i
i =1
n
∑(u -u )
i
i =1
n
=v -β u ，α
2
【测量目标】(1)非线性拟合. (2)线性回归方程求法.
(3) 利用回归方程进行预报预测, 应用意识.
【试题分析】（1
）由散点图可以判断，y =c +适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程类型.
(w i -w )(y i -y ) ∑108.8
==68, (2)
令w =先建立y 关于w 的线性回归方程，由于d =i =18
1.6
∑(w i -w ) 2
i =1
8
=y -dw =563-68×6.8=100.6. ∴c
∴y 关于w 的线性回归方程为 y =100.6+68w ，
∴y 关于x 的回归方程为
y （3）（i ）由（2）知，当x =49时，年销量y 的预报值
y =576.6,
=576.6⨯0.2-49=66.32. z
（ii ）根据（2）的结果知，年利润z 的预报值
-x=-x+20.12, z
∴
=
13.6 取得最大值. =6.8, 即x =46.24, z
2
故宣传费用为46.24千元时，年利润的预保值最大. 河南省安阳一中2015届高三上学期第一次调考数学试卷
4. 表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产耗能y （吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为 y =0.7x +0.35，那么表中t 的值为（）
【答案】A
【分析】∵a =y -bx 由回归方程知0.35=y -0.7x =解得t =3，故选A ．
2.5+t +4+4.53+4+5+6
-0.7⨯
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