浅谈二元函数连续性
摘 要:二元函数的性质,是研究二元函数可微性及可积性等问题的基础. 本文对二元函数连续性的判断做以进一步的探讨,并总结了一些常用的、常见的判断二元函数连续性的方法.
关键词:二元函数;连续性;一致连续
一、预备知识
1 定义: 设f 为定义在点集D ⊂R 2上的二元函数,P 0∈D ,对于任给的正数ε,总存在相应的正数δ,只要P ∈U (P 0)
集合D 在点P 0连续.
以上定义的等价定义为:设f 为定义在点集D ⊂R 2上的二元函数,P 0∈D ,若有lim f (P ) =f (P 0) 或 [f (P ) -f (P 0)]=0,则称f 关于集合D 在点P 0连P →P 0P -P 0→0
续.
2 一致连续定义:若定义在区间A (A 可为开区间、闭区间、无穷区间) 上的连续函数如果对于任意给定的正数ε,存在一个只与ε有关与x 无关的实数ξ>0,使得对任意A f (x ),
上的x 1, x 2,只需要x 1, x 2满足x 1-x 2
3 一致连续性定理:若函数f (x , y ) 在有界闭域D ⊂R 2上连续,则f (x , y ) 在D 上一致连续. 即对任何ε>0,总存在只依赖于ε的正数δ,使得对一切点P 、Q ,只要P -Q
二、 二元函数连续性的判断方法
D 的孤立点时,f (x , y ) 在P 1 若P 0是f (x , y ) 的定义域0必连续
D 的聚点且f (x , y ) 的解析式给出,可用连续函数的四则运算性质,2 若P 0是
复合函数的连续性及初等函数在它的定义域内连续等来证明其在D 上连续.
定理1[3] 若二元函数f (x , y ) 与g (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处连续,则其和、差、积、商
指导教师:贾化冰
作者简介:石 斐(1989-),女,陕西咸阳人,数学与应用数学专业2007 级3 班.
1
(当分母g (x 0, y 0) ≠0时)在点(x 0, y 0) 处也连续.
例1[3] (只证明乘积的情形)若函数f (P ) 与g (P ) 在点P 0连续,则f (P ) g (P ) 在点P 0 连续.
证明: 已知f (P ) 与g (P ) 在P 0连续,即
当∀ε>0时,
∃δ1>0, ∀P :P -P 00, ∀P :P -P 0
∃M >0,∃δ3>0,∀P :P -P 又已知g (P ) 在点P 0的某邻域有界,即0
g (P ) ≤M . ∃δ=min{δ1, δ2, δ3}>0,于是∀P :P -P 0
f (P ) g (P ) -f (P 0) g (P 0)
≤f (P ) g (P ) -f (P 0) g (P ) +f (P 0) g (P ) -f (P 0) g (P 0)
=g (P ) ⋅f (P ) -f (P 0) +f (P 0) ⋅g (P ) -g (P 0)
=(M +f (P 0) ) ⋅ε.
即f (P ) g (P ) 在点P 0连续.
定理2[1](复合函数连续性定理) 设函数u =ϕ(x , y ) 和v =ψ(x , y ) 在xy 平面上点P 并在点P 函数f (u , v ) 在uv 平面上点Q 0(u 0, v 0) 0(x 0, y 0) 的某邻域内有定义,0连续;
的某邻域内有定义,并在点Q 0连续,其中u 0=ϕ(x 0, y 0) ,v 0=ψ(x 0, y 0) . 则复合函数g (x , y ) =f [ϕ(x , y ), ψ(x , y )]在点P 0(x 0, y 0) 连续.
例 2[1] 设u =ϕ(x , y ) 与v =ψ(x , y ) 在平面xy 中的点集E 上一致连续;ϕ与ψ把点集E 映射为平面uv 中的点集D ,且f (u , v ) 在D 上一致连续. 证明:复合函数f [ϕ(x , y ), ψ(x , y )]在E 上一致连续.
证明: 因为f (u , v ) 在D 上一致连续,所以∀ε>0,∃δ(ε) >0,使得对一切点P (u 1, v 1), Q (u 2, v 2) ∈D ,只要
u 1-u 2
就有
f (u 1, v 1) -f (u 2, v 2)
又u =ϕ(x , y ) ,v =ψ(x , y ) 在E 上一致收敛,于是对上述δ>0,∃η>0,对一切(x 1, y 1),(x 2, y 2) ∈E ,只要
x 1-x 2
就有
u 1-u 2
其中u k =ϕ(x k , y k ) ,v k =ψ(x k , y k ) (k =1, 2)
从而 f [ϕ(x 1, y 1), ψ(x 1, y 1)]-f [ϕ(x 2, y 2), ψ(x 2, y 2)] =f (u 1, v 1) -f (u 2, v 2)
故复合函数f [ϕ(x , y ), ψ(x , y )]在E 上一致连续.
3 若f (x , y ) 是分段函数,则在分段点处用定义证明其连续性.
⎧2xy , x 2+y 2≠0⎪2[6]2例3 证明:函数f (x , y ) =⎨x +y 在原点(0,0) 分别对x 或y 都
⎪0, x 2+y 2=0⎩
连续, 但f (x , y ) 在(0,0)不连续.
证明: ∀y ∈R 与∀x ∈R ,分别有
lim f (x ,0) =0=f (0,0), x →0
lim f (0,y ) =0=f (0,0), y →0
故f (x , y ) 在(0,0)分别对x 与y 都连续.
但沿y =x 时,
2xy 2x 2
lim f (x , y ) =lim 2=lim 2=1, x →0x →0x +y 2x →02x y =x y =x
沿y =2x 时,
2xy 4x 24lim f (x , y ) =lim 2=lim 2=, x →0x →0x +y 2x →05x 5y =2x y =2x
即f (x , y ) 在(0,0)极限不存在,从而在该点不连续.
4 若f (x , y ) 为抽象函数,可任取P 0∈D ,用定义证明其连续性.
例4[4] (尤格定理)设函数f (x , y ) 在区域D 上分别对x , y 连续,对固定的y ,f (x , y ) 是x 的单调函数,证明f (x , y ) 在区域D 上连续.
证明: ∀(x 0, y 0) ∈D , 由于f (x , y ) 关于x 连续,故对任意给定ε>0,存在δ1>0,当x -x 0
设x 1, x 2∈(x 0-δ1, x 0+δ1)
特别有
f (x 2, y 0) -f (x 0, y 0)
再由f (x , y ) 关于y 连续知,存在δ' >0,使y -y 0
f (x 1, y ) -f (x 1, y 0)
f (x 1, y ) -f (x 0, y 0)
从而由f (x , y ) 是x 的单调函数知:当x -x 0
f (x , y ) -f (x 0, y 0) ≤max{f (x 2, y ) -f (x 0, y 0) , f (x 1, y ) -f (x 0, y 0
这说明f (x , y ) 于(x 0, y 0) 处连续,由(x 0, y 0) 任意性知f (x , y ) 于D 上连续.
注:在证明抽象函数f (x , y ) 的连续性时,往往根据已知条件,巧妙地运用连续的ε-δ定义给出证明.
三、典型例题求解
例5[5] 函数f (x , y ) 在R 2上连续且lim f (x , y ) 存在,
其中r =则f (x , y ) r →∞
在R 2 上一致连续.
证明: lim f (x , y ) 存在,由柯西准则:∀ε>0,∃G >0,
对满足r i =>G r →∞
的点P ,2) ,总有f (P 1) -f (P 2)
又f 在有界闭区域D ={(x , y ), r ≤G +1}上连续,从而一致连续,故对上述ε>0,∃δ1>0,当P 1, P 2∈D ; P 1-P 2
2D 或同满足取δ=min{δ1,1},∀P 1, P 2或同属于1, P 2∈R ,当P 1-P 2
2f (P ) -f (P ) G (i =1, 2) 12
例6[2] 设函数f (x , y ) 在矩形[a , b ]⨯[c , d ]上连续,证明函数ϕ(x ) ≡max f (x , y ) 在y ∈[c , d ]
[a , b ]上连续.
证明: 任取x 1, x 2∈[a , b ], 设 ϕ(x 1) =f (x 1, y 1) , ϕ(x 2) =f (x 2, y 2)
显然有ϕ(x 1) ≥f (x 1, y 2) . 任给ε>0, 由于f 在[a , b ]⨯[c , d ]上一致连续, 故∃δ>0, 当x 1-x 2
f (x 1, y 2) -f (x 2, y 2)
及 f (x 1, y 2) >f (x 2, y 2) -ε,
故ϕ(x 1) >ϕ(x 2) -ε. 交换x 1, x 2得ϕ(x 2) >ϕ(x 1) -ε,
所以 ϕ(x 1) -ϕ(x 2)
例7【7】 设函数f (x , y ) 在域D 内对变数x 是连续的,并对变量y 满足Lipschitz 条件,即∀(x , y ' ),(x , y '' ) ∈D ,有f (x , y ' ) -f (x , y '' ) ≤L y ' -y '' , 其中L 为常数. 证明:f (x , y ) 在D 上连续.
证明: ∀(x 0, y 0) ∈D 由于f (x , y ) 对x 连续,则f (x , 0y ) 在x 0连续,
x -x 00, ∃δ1x (0y , 0>) ,使得当0ε
2. 取δ2=ε
2L >0,则当y -y 0
f (x , y ) -f (x , y 0) ≤L y -y 0
故取δ=min{δ1, δ2},则当x -x 0
f (x , y ) -f (x 0, y 0) ≤f (x , y ) -f (x , y 0) +f (x , y 0) -f (x 0, y 0)
≤ε
2+ε
2=ε,
即知f (x , y ) 在点(x , y 0) 连续. 由(x , y 0) 的任意性知,f (x , y ) 在D 上连续.
致谢:本文在写作过程中得到贾化冰老师的指导,在此表示感谢!
参考文献
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Study the continuity of dual function
SHI Fei
(Department of Mathematics, Baoji University of Arts and Sciences, Baoji 721013,
Shaanxi, China)
Abstract: Dual function the nature, is the study differentiable binary function sex and integrability of problems such as foundation. This paper of continuity of binary function do to further discuss judgment, and sums up some commonly used, common judgment method of dual function continuity
key words: dual function;continuity ;Uniformly continuous