2016年海南文数高考试题(含答案)

2016年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。 3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷

一、 选择题：本大题共12小题。每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

2，，3}B={x|x2

-1，0，1，2，3} （B）{-2，-1，0，1，2} （A）{-2，

2，3} （C）{1，

2} （D）{1，

（2）设复数z满足z+i=3-i，则z=

（A）-1+2i（B）1-2i（C）3+2i（D）3-2i (3) 函数y=Asin(ωx+ϕ)的部分图像如图所示，则

π

（A）y=2sin(2x-)

6π

（B）y=2sin(2x-)

3π

（C）y=2sin(2x+)

6π

（D）y=2sin(2x+)

3

(4) 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为

（A）12π（B）

32

π（C）8π（D）4π 3

(5) 设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（A）

k

（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k= x

13

（B）1 （C）（D）2 2243

（B）−（C

D）2 34

(6) 圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a= （A）−

(7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π

(8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红

灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为学.科网 （A）

7533（B）（C）（D） 108810

(9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的a为2，2，5，则输出的s= （A）7 （B）12 （C）17 （D）34

(10) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是 （A）y=x（B）y=lgx（C）y=2x（D

）y=

(11) 函数f(x)=cos2x+6cos(（A）4（B）5

π

-x)的最大值为 2

（C）6 （D）7

(12) 已知函数f(x)（x∈R）满足f(x)=f(2-x)，若函数y=|x2-2x-3| 与y=f(x) 图像的交点为（x1,y1），(x2,y2)

，„，

（xm,ym），则

∑x=

ii=1

m

(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m 二．填空题：共4小题，每小题5分.

(13) 已知向量a=(m,4)，b=(3,-2)，且a∥b，则m=___________.

⎧x-y+1≥0

⎪

(14) 若x，y满足约束条件⎨x+y-3≥0，则z=x-2y的最小值为__________

⎪x-3≤0⎩

（15）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=

54

，cosC=，a=1，则b=____________.

135

（16）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 学.科网甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）(本小题满分12分)

等差数列{an}中，a3+a4=4,a5+a7=6

（I）求{an}的通项公式； (II)设

（18）(本小题满分12分)

某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：学科.网

bn=[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。求P(A)的估计值； (II)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”.

求P(B)的估计值；

（III）求续保人本年度的平均保费估计值.

（19）（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将 DEF沿EF折到 D'EF的位置.

（I）证明：AC⊥HD'； (II)

若AB=5,AC=6,AE=

5

,OD'=求五棱锥D'-ABCEF体积

. 4

（20）（本小题满分12分）

已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).

（I）当a=4时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程； (II)若当x∈(1,+∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围.

（21）（本小题满分12分）

x2y2

MA⊥NA. =1的左顶点，已知A是椭圆E+斜率为k(k＞0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，

43

（I）当AM=AN时，学.科网求 AMN的面积 (II)当2AM=

AN

请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F. 学科.网

（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；

（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积

.

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x+6)2+y2=25.

（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，学.科网求C的极坐标方程；

ìïïx=tcosα,t

（Ⅱ）直线l的参数方程是í（为参数），l与C交于A，B

两点，AB=,求l的斜率.

ïy=tsinα,ïî

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)=x-（Ⅰ）求M；

（Ⅱ）证明：当a，bÎM时，a+b

11

+x+，M为不等式f(x)

2016年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学答案

第Ⅰ卷

一. 选择题

（1）【答案】D (5)【答案】D (9)【答案】C

（2）【答案】C (6) 【答案】A

(3) 【答案】A (7) 【答案】C

(4) 【答案】A (8) 【答案】B

(10) 【答案】D (11)【答案】B (12) 【答案】B

二．填空题

(13)【答案】-6

(14)【答案】-5

（15）【答案】

21

13

（16）【答案】1和3

三、解答题

（17）(本小题满分12分) 【答案】（Ⅰ）an=【解析】

试题分析：(Ⅰ) 根据等差数列的性质求a1，d，从而求得an；（Ⅱ）根据已知条件求bn，再求数列{bn}的前10项和.

试题解析：(Ⅰ)设数列{an}的公差为d，学.科网由题意有2a1-5d=4,a1-5d=3，解得a1=1,d=所以{an}的通项公式为an=（Ⅱ）由(Ⅰ)知bn=⎢当n=1,2,3时，1≤

2n+3

；（Ⅱ）24. 5

2， 5

2n+3

. 5

⎡2n+3⎤

， ⎥⎣5⎦

2n+3

所以数列{bn}的前10项和为1⨯3+2⨯2+3⨯3+4⨯2=24. 考点：等茶数列的性质，数列的求和. 【结束】

（18）(本小题满分12分) 【答案】（Ⅰ）由式求解. 【解析】 试题分析：

试题解析：(Ⅰ)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为

60+5030+30

求P(A)的估计值；（Ⅱ）由求P(B)的估计值；（III）根据平均值得计算公200200

60+50

=0.55， 200

故P(A)的估计值为0.55.

（Ⅱ）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，学.科网一年内出险次数大于1且小于4的频率为

30+30

=0.3， 200

故P(B)的估计值为0.3. (Ⅲ)由题所求分布列为：

调查200名续保人的平均保费为

0.85a⨯0.30+a⨯0.25+1.25a⨯0.15+1.5a⨯0.15+1.75a⨯0.30+2a⨯0.10=1.1925a，

因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a. 考点：样本的频率、平均值的计算. 【结束】

（19）（本小题满分12分） 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）【解析】

试题分析：（Ⅰ）证AC//EF.再证AC//HD'.（Ⅱ）证明OD'⊥OH.再证OD'⊥平面ABC.最后呢五棱锥D'-ABCEF体积.

试题解析：（

I）由已知得，AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得

69

. 4

AECF

=，故AC//EF. ADCD

由此得

EF⊥HD,EF⊥HD'，所以AC//HD'.. （II）由EF//AC得

OHAE1

==. DOAD4

由AB=5,AC=6得DO=BO=所以OH=1,D'H=DH=3.

=4.

于是OD'+OH=+1=9=D'H,故OD'⊥OH.由（I）知AC⊥HD'，又AC⊥BD,BD HD'=H，

22222

所以AC⊥平面BHD',于是AC⊥OD'.

又由OD'⊥OH,AC OH=O，所以，OD'⊥平面ABC.

9EFDH

=得EF=.

2ACDO

11969

. 五边形ABCFE的面积S=⨯6⨯8-⨯⨯3=

2224

又由

所以五棱锥D'-

ABCEF体积V=

169⨯⨯ 34考点：空间中的线面关系判断，几何体的体积. 【结束】

（20）（本小题满分12分）

【答案】（Ⅰ）2x+y-2=0.；（Ⅱ）(-∞,2].. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求定义域，再求f'(x)，f'(1)，f(1)，由直线方程得点斜式可求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x+y-2=0.（Ⅱ）构造新函数g(x)=lnx-数法求解.

试题解析：（I）f(x)的定义域为(0,+∞).当a=4时，

a(x-1)

，学.科网对实数a分类讨论，用导x+1

f(x)=(x+1)lnx-4(x-1),f'(x)=lnx+

切线方程为2x+y-2=0.

1

-3，f'(1)=-2,f(1)=0.曲线y=f(x)在(1,f(1))处的x

（II）当x∈(1,+∞)时，f(x)>0等价于lnx-

令g(x)=lnx-

a(x-1)

>0. x+1

a(x-1)

，则 x+1

12ax2+2(1-a)x+1

g'(x)=-=,g(1)=0， 22

x(x+1)x(x+1)

（i）当a≤2，x∈(1,+∞)时，x+2(1-a)x+1≥x-2x+1>0，故g'(x)>0,g(x)在x∈(1,+∞)上单调递增，因此g(x)>0； （ii）当a>2时，令g'(x)=0得

2

2

x1=a-1x2=a-1+

由x2>1和x1x2=1得x1

g(x)

综上，a的取值范围是(-∞,2]. 考点：导数的几何意义，函数的单调性. 【结束】

（21）（本小题满分12分） 【答案】（Ⅰ）【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求直线AM的方程，再求点M的纵坐标，最后求∆AMN的面积；（Ⅱ）设M(x1,y1)，，将直线AM的方程与椭圆方程组成方程组，消去y，用k表示x1，从而表示|AM|，同理用k表示|AN|，再由2AM=AN求k.

试题解析：（Ⅰ）设M(x1,y1)，则由题意知y1>0. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为又A(-2,0)，因此直线AM的方程为y=x+2.

144

；

（Ⅱ）49

2.

)

π， 4

x2y2

+=1得7y2-12y=0， 将x=y-2代入431212，所以y1=. 77

11212144

=因此∆AMN的面积S∆AMN=2⨯⨯⨯.

27749

解得y=0或y=

x2y2

+=1得 （2）将直线AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入43

(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.

16k2-122(3-4k2)由x1⋅(-2)=得x1=，故|AM|=x1+2|=3+4k23+

4k2

1

由题设，直线AN的方程为y=-(x+

2)，故同理可得|AN|=. k由2|AM|=|AN|得

2k=，即4k3-6k2+3k-8=0. 22

3+4k4+3k

设f(t)=4t3-6t2+3t-8，则k是f(t)的零点，f'(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0， 所以f(t)在(0,+∞

)单调递增，又f=260， 因此f(t)在(0,+∞)有唯一的零点，且零点k

在

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）【解析】

试题分析：（Ⅰ）证∆DGF~∆CBF,再证B,C,G,F四点共圆；（Ⅱ）证明Rt∆BCG~Rt∆BFG,四边形

1

. 2

BCGF的面积S是∆GCB面积S∆GCB的2倍.

试题解析：（I）因为DF⊥EC,所以∆DEF~∆CDF,

则有∠GDF=∠DEF=∠FCB,

DFDEDG

==, CFCDCB

所以∆DGF~∆CBF,由此可得∠DGF=∠CBF, 由此∠CGF+∠CBF=180,所以B,C,G,F四点共圆.

（II）由B,C,G,F四点共圆，CG⊥CB知FG⊥FB，连结GB， 由G为Rt∆DFC斜边CD的中点，知GF=GC,故Rt∆BCG~Rt∆BFG, 因此四边形BCGF的面积S是∆GCB面积S∆GCB的2倍，即

111

S=2S∆GCB=2⨯⨯⨯1=.

222

考点：三角形相似、全等，四点共圆

【结束】

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

【答案】（Ⅰ）ρ2+12ρcosθ+11=0；

（Ⅱ）【解析】

试题分析：（I）利用ρ=x+y，x=ρcosθ可得C的极坐标方程；（II）先将直线l的参数方程化为普通方程，学.科网再利用弦长公式可得l的斜率．

试题解析：（I）由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得C的极坐标方程ρ+12ρcosθ+11=0.

（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)

由A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得 2222. ρ2+12ρcosα+11=0.

于是ρ1+ρ2=-12cosα,ρ1ρ2=

11,

|AB|=|ρ1-ρ2|==

由|AB|=

得cos2α=3， ,tanα=8所以l

考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式.

【结束】

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

【答案】（Ⅰ）M={x|-1

11

【解析】

试题分析：（I）先去掉绝对值，再分x三种情况解不等式，即可得M；（II）2222

采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a，b∈M时，a+b

⎧⎪-2x,x≤-1,

⎪2

试题解析：（I）f(x)=⎪⎨1,-1

⎪22 ⎪⎪⎩2x,x≥1

2.

当x≤-1

2时，由f(x)-1； 当-1

2

2时，f(x)

2时，学.科网由f(x)

所以f(x)

（II）由（I）知，当a,b∈M时，-1

(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)

因此|a+b|

考点：绝对值不等式，不等式的证明.

【结束】

12