2012年吉林省数学中考试题

吉林省2012年中考数学试题（解析版）

一．单项选择题（每小题2分，共12分）

1.在四个数0，-2，-1，2中，最小的数是 （A）0. （B）-2. (C) -1 (D)2

[答案]B。

[考点]有理数大小的比较。

[解析] 根据正数大于负数，负数都小于

0，两个负数之间，绝对值大的这个数反而小可得正确答案。所以选B

2. 如图，由5个完全相同的小正方形组合成一个立体图形，它的俯视图是

[答案]A。 [考点]三视图

[解析]俯视图是在水平面上由上向下观察物理的图形，所以选A。

3.下列计算正确的是

222222236 (A)3aa2； (B)a2a3a； (C)aaa； (D) (ab)ab．

[答案] B.

[考点] 整式的加减：合并同类项；整式的乘法：同底数幂的乘法；乘法公式：完全平方公式.

[解析] 合并同类项：只把同类项的系数相加，所得的结果作为系数字母和字母的指数不变.

222所以a2a3a是正确的，故选B.

23235 验证：3aa2a；同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，所以，aaaa；

完全平方公式：两数和的平方，等于它们的平方和加它们积的2倍，即：(ab)2a22abb2.所以，A,C,D都是错的.

A80，B40，4.如图，在ABC中，且DE∥BC,

D、E分别是AB、AC上的点，

则AED的度数为

(A)40° (B)60° (C) 80° (D)120°

[答案] B.

[考点] 平行线的性质；三角形的内角和.

[解析] 由三角形的三个内角和为180，可得C60 ；

又两直线平行，同位角相等，所以，由DE∥BC，可得，AEDC，所以AED60

解：在ABC中，C180AB180804060

又DE∥BC，AEDC，所以AED60，故选B.

5.如图，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为（-3，2）．若反比例函数y（x0）的图像经过点A，则k的值为

(A) -6. (B) -3. (C) 3. (D) 6.

[答案] D.

[考点] 菱形的性质.直角坐标系内点的点与曲线方程的关系，

求反比例函数中的待定系数.

[解析] 如图，因为菱形OABC的两条对角线互相垂直平分，又OB在y轴上，所以顶点C、 kxA关于y轴对称，已知C的坐标为（-3，2），所以A的坐标为（3，2）

反比例函数yk（x0）的图像经过点A，则k326，故选D. x

6. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划每天生产x台机器，则可列方程为 (A)[***********]600450. (B). (C). (D) xx50xx50x50xx50x

[答案] C.

[考点] 分式方程运用：列分式方程.

[解析] 因为原计划每天生产x台机器，现在平均每天比原计划多生产50台，所以，现在生产600台机器所需时间是600450天，原计划生产450台机器所需时间是天，故选C. x50x

二．填空题（每小题3分，共24分）

7.

=_ ____.

[答案

[考点] 二次根式：最简二次根式，根式的运算

.

[解析] 根式的运算顺序：先把各根式化为最简根式，然后合并同类根式.

解：原式8.不等式2x1x的解集为__________.

[答案] x1.

[考点] 不等式：解一元一次不等式.

[解析] 解一元一次不等式类似解一元一次方程，即把含未知数的项移到一边，数字项移到另一边，然后系数化1，但注意如果在不等式两边同时乘或除以一个负数，要把不等号改变方向.

解：移项得：2xx1

合并得： x1

所以原不等式的解集为x1.

9.若方程x2x0，的两个根为x1,x2(x1x2)，则x2x1=______.

[答案]1.

[考点] 一元二次方程：解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）.

[解析] 本题给出的一元二次方程较为简单，可直接求解，再求其差；也可利用根与系数的关系求出所需.常用的关系式有：x1x2cb，x1x2，学习中还可由求根公式总结

aa

出：x2x1x1x2) 解：[方法一]x2x0x(x1)0x10,x21，x2x1101.

[方法二]

由根与系数的关系得：x2x11 10. 若甲，乙两个芭蕾舞团参加演出的女演员人数相同，平均身高相同，身高的方差分别为22=1.5，S乙=2.5，则______芭蕾舞团参加演出的女演员身高更整齐（填“甲”或“乙”）． S甲

[答案] 甲.

[考点] 数据的分析：数据的波动：方差.

[解析] 方差越大，数据的波动性越大；方差越小，数据的波动性越小.两组平均数相同的数据，方差小的说明身高的整齐度高，所以甲芭蕾舞团参加演出的女演员身高更整齐.

CAO25．BCO35，11.如图，A,B,C是O上的三点，则AOB度．

[答案] 120.

[考点] 等腰三角形的性质；圆：圆内同弧所对的圆周角与圆心角

的关系（圆周角定理）.

[解析] 利用等腰三角形两底角相等，圆内同弧所对的圆周角都等

于这条弧所对的圆心角的一半，即可求解.

解：如图，在AOC中，AOCO，CAOACO25，

CAOACO25.ACB253560

又ACB是AC对的圆周角，AOB是AC对的圆心角 AOB2ACB260120

12. 如图，在RtABC中，ACB90，AC3，BC4,以点A为圆心，AC长为半

径画弧，交AB于点D，则BD______.

[答案] 2.

[考点] 圆：圆内半径外外相等；直角三角形：勾股定理.

[解析] 如图，AC、AD为半径，ACAD3.再由勾股

定理：勾三股四弦五得AB5，BDABAD532.

ACB40，13.如图，AB是O的直径，BC是O的切线，点P在边BC上，则PAB

的度数可能为 （写出一个符合条件的度数即可）．

[答案] 30.

[考点] 圆：圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点半径

（或直径），直角三角形：直角三角形的两个锐角互余 .

[解析] 由圆的切线垂直于过切点半径（或直径），

ABC90，再由直角三角形的两个锐角互余，

ACB40，所以 CAB50，故只要写出在0到50间

的一个角即可.

14.如图，在等边ABC中，D是边AC上的一点，连接BD,将BCD绕点B逆时针旋转

60，得到BAE，连接ED，若BC10，BD9，则AED的周长是______.

[答案] 19.

[考点] 图形的旋转：旋转前、后的图形全等；正三角形，

三角形周长

.

[解析] 由BCDBAECDAE.

AEADACBC10.

又，BDBE9，DBE60， DBE是正三角形DE9.

ADE的周长：DEEAADDEAD91019

三．解答题（每小题5分，共20分）

15.先化简，再求值：(ab)(ab)2a2，其中a

1,b

[答案] 1.

[考点] 化简求值. .

[解析] 利用平方差公式，先作整式乘法运算，合并同类项，将原式化简，然后求值. 解：(ab)(ab)2a2a2b22a23a2b2，

a

1,b

31221.

16.如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的2倍，高跷与腿重合部分的长度是28cm，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为224cm．设演员的身高为xcm，高跷的长度为ycm，求x,y的值．

[答案] x的值为168，y的值为84.

[考点] 实际问题与二元一次方程组 .

[解析] 找出能够表示应用题全部题意的两个相等关系，列出代数

式，从而列出两个方程并组成方程组求解 .

x168x2y解：依题意得方程组：，解得： y84xy22428

所以，x的值为168，y的值为84.

17.如图，有一游戏棋盘和一个质地均匀的正四面体骰子（各面依次标有1,2,3,4，四个数字）．游戏规则是游戏者每投掷一次骰子，棋子按骰子着地一面所示的数字前进相应的格数．例如；若棋子位于A处，游戏者所投掷骰子着地一面所示数字为3，则棋子由A处前进3个方格到达B处．请用画树形图法

（或列表法）求投掷骰子两次后，棋子恰

好由A处前进6个方格到达C处的概率．

[答案] 3. 16

[考点] 概率初步：随机事件与概率：用列举法（列表法或画树形图法）求概率.

[解析] 为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法或用画树形图法求随机事件发生的概率.在一次试验n次所有可能的结果中，事件A件出现m次的概率为P(A)m n

[列表法] 在这次游戏中，投掷骰子两次，棋子恰好由A处前进6个方格到达C处，即，

由表容易看出：投掷骰子两次，所有可能的结果有16种，而棋子恰好由A处前进6个方格到达C处的结果为3种，所以：P（棋子恰好由A处前进6个方格到达C处）3. 16

[画树形图法] 在这次游戏中，投掷骰子两次，棋子恰好由A处前进6个方格到达C处，即，两次投掷骰子着地一面所示数字和为6.而所有可能的结果画树图如下：

由图容易看出：投掷骰子两次，所有可能的结果有16种，而棋子恰好由A处前进6个方格到达C处的结果为3种，所以：P（棋子恰好由A处前进6个方格到达C处）3. 16

18.在如图所示的三个函数图像中，有两个函数图像能近似地刻画如下a、b两个情境：

情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回家里找到了作业本再去学校； 情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．

（1）情境a，b所对应的函数图像分别为 , .(填写序号)；

（2）请你为剩下的函数图像写出一个适合的情境．

[答案]（1）③,①；（2）小芳从家出发，到学校上学，放学回到了家.

[考点] 函数的图象表示法.

[解析] 从函数的图象能形象直观、清晰地呈现函数的一些性质.（1）情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回家里找到了作业本再去学校，对应的函数图像为③；情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进，对应的函数图像为①；（2）函数图像②能近似地刻画为：小芳从家出发，到学校上学，放学回到了家.此问答案不为一，只要注意到是从家里出发，出去后有停留，然后返回到家，满足了这三条就行。

四．解答题（每小题7分，共28分）

19.在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为B，点A关于原点O的对称点为点C．

（1）若点A的坐标为(1,2)，请你在给出的坐标系中画出

ABC.设AB与y轴的交点为D， 则

S△ADO=________; S△ABC

（2）若点A的坐标为(a,b)ab0,则ABC的形状为_______.

[答案] （1）图形如图191，S△ADO1；（2）ABC为直角三角形. S△ABC4

[考点] 轴对称：用坐标表示轴对称，关于原点对称，相似

三角形的判定、性质.勾股定理的逆定理

[解析] （1）点A的坐标为(1,2)，关于y轴的对称点B的

坐标为(1,2)，点A关于原点O的对称点C的坐标为

(1,2)，作出点A、B、C、连得ABC如图191.

又AB与y轴的交点为D，所以D的坐标为(0,2)，图中

ADAO1S△ADO1ADOABC； ABAC2，S4△ABCAA

（2）由点A的坐标为(a,b)，关于y轴的对称点B的

坐标为(a,b)，点A关于原点O的对称点C的坐标为

(a,b)，如图192，图中： AB2a、BC

2b、AC

22222， ABBC4(ab)AC

ABC为直角三角形。

20.如图，沿AC方向开山修一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E同时施工．从AC上的一点B取ABD127，沿BD方向前进，取BDE37，测得BD520m，并且AC、BD和DE在同一平面内．

(1)施工点E离D多远正好能使A,C,E成一直线（结果保留整数）；

(2)在(1)的条件下，若BC80m,求公路CE段的长（结果保留整数） （参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）

[答案] （1）416m；（2）232m.

[考点] 锐角三角函数：已知一边及一锐角解直角三角形

.

[解析]（1）B在AC上，ABD127，ABD53，

要使A,C,E成一直线.只要BED90.即BED.为直角

三角形即可，此时，施工点E离D的距离为

BDcos375200.80416(m).

（2）已知一边及一锐角解直角三角形BED，得

CEBEBCBDsin37BC5200.6080232(m)

21.为宣传节约用水，小明随机调查了某小区部分家庭5月份的用水情况，并将收集的数据整理成如下统计图．

（1）小明一共调查了多少户家庭？

（2）求所调查家庭5月份用水量的众数、

平均数；

（3）若该小区有400户居民，请你估计这

个小区5月份的用水量．

[答案]（1）20户.（2）4、4.5.（3）1800吨.

[考点] 数据的分析：数据的代表：平均数、从数；数据的收集、整理与描述：统计调查，直方图：条形图：.

[解析] （1）小明调查的家庭5月份用水量1吨、2吨、8吨的各有1户，6吨、7吨的各有

312234620（户）2户，3吨的有3户，5吨的有4户，4吨的有6户，总户数：

（2）用水量4吨的有6户家庭，居最多，故众数为4吨. 平均数数1112336445262718904.5（吨）. 2020

（3）400户居民在5月份用水量约为：4004.51800（吨）.

22.如图，在ABC中，ABAC，D为边BC上一点，以AB、BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．

（1）求证：ADCECD；

（2）若BDCD,求证四边形ADCE是矩形．

[考点] 等腰三角形:等腰三角形两底解相等；四边形：

平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等；特

殊平行四边形的判定：矩形的判定；全等三角形：全等三角形的判定（SAS）.

[解析] （1）如图（第22题（1））

由AB∥EDD为边BC上一点ABDEABED

BEDC

又，在ABC中，ABACBACD，

所以，ACED，ACDEDC，

在和ADC和ECD中，

AC=ED(已证)

ACDEDC(已证)ADCECD(SAS).

DCCD(公共边)

（2）如图（第22题（2））

由AE∥BD， ABDEAEBD

又，在ABC中，ABAC、BDCD

所以，AECD，ADDC，

故，四边形ADCE是矩形．（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）

五．解答题（每小题8分，共16分）

23.如图，在扇形OAB中，AOB90，半径OA6．将扇形OAB沿过点B的直线折

AB上点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积． 叠．点O恰好落在

[答案] 周长：12

3；面积：9[考点] 图形的折叠：折叠前、后的图形全等；全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等；圆：nRnR2

弧长和扇形面积：弧长，S扇形.正三角形的180360

判定：三边相等的三角形是正三角形.正三角形的性质.锐角

三角函数：解直角三角形.

[解析] 如图（第23题），由折叠前、后的图形全等.所以，BOCBDC，DBBO，DCCO.又在扇形OAB中，AOB90，半径OA6．所以，DBBO

6，

906DCCAOCCAOA6，3.所以， AB的长180

整个阴影部分的周长AB的长BD(DCCD)366123.

如图（第23题-1），连接扇形OAB的半径OD，

由ODOBBD6正三角形BODOBC30，

在Rt

BOC中，OCOBtan306

1S四边形BOCD2SBOC2OCOB6

2

所以，整个阴影部分的面积S扇形OABS四边形BOCD90629360

24.如图1，A,B,C为三个超市，在A通往C的道路（粗实线部分）上有一D点，D与B

10km，有道路（细实线部分）相通．A与D，D与C，D与B之间的路程分别为25km，

5km．现计划在A通往C的道路上建一个配货中心H,每天有一辆货车只为这三个超市送货．该货车每天从H出发，单独为A送货1次，

为B送货1次，为C送货2次．货车每次仅能给

一家超市送货，每次送货后均返回配货中心H.

设H到A的路程为xkm．这辆货车每天行驶的路程为ykm.

(1)用含x的代数式填空：

当0≤x≤25时，货车从H到A往返1次的路程为2xkm. 货车从H到B往返1次的路程为_______km.

货车从H到C往返2次的路程为_______km.

这辆货车每天行驶的路程y__________.

当25x≤35时，

这辆货车每天行驶的路程y_________;

(2)请在图2中画出y与x（0≤x≤35）的函数

图2x/h图象；

(3)配货中心H建在哪段，这辆货车每天行驶的路程最短？

[答案]（1）602x，1404x，(2004x)km，100km；（2）如图2-1；（3）100km.

[考点] 一次函数：一次函数的运用：根据题意列出

一次函数，确定自变量的取舍范围；作一次函数图象.

[解析] 因为A与D之间的路程为25km，当

0≤x≤25时，H在A与D路段上，如图（第24

题图1-1），又，D与B之间的路程为5km，此时，

货车从H到A往返1次的路程为2xkm，从H到B往返1次的路程为：(255)22x602x(km).

货车从D与C之间的路程为10km，H到C往返2次的路程为：

2[(2510)22x]2(702x)1404x(km)；

这辆货车每天行驶的路程：y2x(602x)(1404x)2004x(km).

当25x≤35时，H在D与C路段上，如图（第

24题图1-2），此时，货车从H到B往返1次的路程

为：(x255)22x40(km)，从H到C往返

这辆货车每天行驶的2次的路程还是(1404x)km；

路程为：y2x(2x40)(1404x)100(km).

（2）由（1）得y与x（0≤x≤35）的解析式为：

2004x(0≤x≤25)y(25x≤35) 100

描点作出相应图象如图（第24题图2-1）.；

（3）由(1)(2)得知，当25≤x≤35时，

y100km，所以，只要配货中心H建在D与C之间

（包括D、C）的路段上，这辆货车每天行驶的路程都是100km，为最短路程.

六．解答题（每小题10分,共20分）．

25.如图，在ABC中，A90，AB2cm,AC4cm,动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s

的速度

向点A运动．当点P到达点B时，P,Q 两点同时停止运动．以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交

AC于点F.设点P的运动时间为ts,正

方形APDE和梯形BCFQ重合部分的

面积为Scm．

(1)当t_____s时，点P与点Q重合；

(2)当t_____s时，点D在QF上；

(3)当点P在Q,B两点之间（不包括Q,B两点）时，求S与t之间的函数关系式．

29

t2t4[答案] (1) 1; (2) . (3)S3524t10t82(1t4)(t3)(3t2) .

[考点] 动点问题，一次函数、二次函数综合运用，数学分类讨论思想.

[解析] (1) 因为动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．P,Q同时出发，运动速度都是

111cm/s，所以P,Q运动到AB的中点时重合，AB2cm，AB1cm，此时t1 . 12

(2) 如图（第25题-1），以A为直角坐标系的原点，AB方

向为x轴的正方向，AC方向为y轴的正方向，建立直角坐标系，

则A(0,0)、B(2,0)、C(0,4).

设t时刻时，点D在QF上，因为正方形APDE，所以

P(t,0)、D(t,t)、Q(2t,0)、又在ABC中，A90，

AB2cm,AC4cm,tanABCAC2. AB

又QF∥BC，tanAQFtanABC2,在

RtAQF中，QFAQtanAQF(2t)242t,F(0,42t),得过Q(2

t,0)、

F(0,42t)的一次函数的解析式为：y2x42t(0≤x≤2)，由D在QF上，所以D的坐标满足QF的解析式，即：t2t42tt4. 5

(3)因为由(1)知P,Q在t1时相遇，所以，只有当1t2时，点P在Q,B两点之间（不包括Q,B两点），正方形APDE和梯形BCFQ重合部分随D的位置变化有三种情况：①D在QF与BC之间；②D在BC上；③D在QF与BC之外.

①D在QF与BC之间；如图（第25题-2），此时，正方形APDE和梯形BCFQ重合部分为直角梯形，由(2)得：

P(t,0)、D(t,t)、Q(2t,0)、过QF的一次函数的解析式为：

y2x42t(0≤x≤2)、设DE与QF的交点为G，

yt3 解，得：G(2t,t). 2y2x42t

所以，QPAPAQt(2t)2t2， 35GDEDEGt(2t)t2， 22

115922此时：S(QPGD)PD(2t2t2)tt2t(cm). 2224

②D在BC上；如图（第25题-3），D(t,t)满足过BC的

一次函数的解析式：y2x4(0≤x≤2)，

即：t2t4t 把t444，D(,)， 3334代入QF的一次函数的解析式得： 3

44(0≤x≤2)，F(0,)， 33 y2x

QP所以E,F,G为同一点，所以：

此时：S4442GD，(2)，3333112444(QPGD)PD()(cm2) 223333

，ED与BC

相 ③D在QF与BC之外.如图（第25题-4），设PD与BC相交于M

交于N，

解y2x4得：M(t,2t4)；

xt

y2x41解得：N(t2,t). 2yt

所以，MDPDPMt(2t4)3t4 13NDEDENt(t2)t2 22

此时：

11AQAFMDND 22

1133922222t(2t)(42t)(3t4)(t2)t(2t)(t2)t10t8 22224SS正方形APDESAQFSMDNt2

综合①、②、③，得点P在Q,B两点之间（不包括Q,B两点），正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面积为Scm与t之间的函数关系式为：

2(1t3)4t2tS(t33)924t10t8(t2) 2

26.问题情境 如图，在x轴上有两点A(m,0),B(n,0)（nm0）.分别过点A，点B作x轴

的垂线，交抛物线yx于点C、点D.直线OC交直线BD于点E，直线OD交直线2

AC于点F,点E、点F的纵坐标分别记为yE.、yF.

特例探究

填空：

当m1,n2时，yE.=____,yF=______.当m3,n5时，yE.=____,yF=______.

归纳证明

对任意m,n（nm0）,猜想yE.与yF的大小关系，并证明你的猜想

拓展应用.

（1） 若将“抛物线yx2”改为“抛物线yax2(a0)”,其它条件不变，请直接写

出yE.与yF的大小关系.

（2） 连接EF，AE．当S四边形BOEF

的形状． 时，直接写出m和n的关系及四边形OFEA3S△OEF.

15,15.归纳证明 猜想yEyF.证明[答案] 特例探究2,2；（略）拓展应用(1)yEyF.(2)

四边形OFEA是平行四边形．

[考点] 一次函数、二次函数综合运用，函数图象上的点与函数

解析式的关系，平行四边形的判定.

[解析] 特例探究 当m1,n2时，C(1,1)，D(2,4)，所以直线OC的解

析式为：yx；直线OD的解析式为：y2x；此时

解x2x1，得E(2,2)yE2.解，得F(1,2)yF2. yxy2x

所以，此时yEyF122

当m3,n5时，C(3,9)，D(5,25)，所以直线OC的解析式为：y3x；直线OD的解析式为：y5x；此时

解x5x3，得E(5,15)yE15.解，得F(3,15)yF

15. y3xy5x

所以，此时yEyF3515

归纳证明 猜想：对任意m,n（nm0）,都有：yEyF. 证明：对任意m,n（nm0）时，C(m,m2)，D(n,n2)，所以直线OC的解析式为：ymx；直线OD的解析式为：ynx；此时

解xnxm，得E(n,mn)yEmn.解，得F(n,mn)yFmn. ynxymx

所以，此时yEyFmn.

拓展应用

(1)若将“抛物线yx”改为“抛物线yax2(a0)”,其它条件不变，仍然有：2

yEyF.

此时，C(m,am2)，D(n,an2)，所以直线OC的解析式为：yamx；直线OD的解析式为：yanx；此时

解xnxm，得E(n,amn)yEamn.解，得F(n,amn)yF

amn. yamxyanx