第一讲行列式的定义逆序

§1.1全排列及逆序数

1、二阶与三阶行列式

由二元线性方程组引入二阶行列式

b 1a 22-b 2a 12⎧x =1⎪⎧a 11x 1+a 12x 2=b 1⎪a 11a 22-a 12a 21 利用消元法解得⎨ ⎨b a -b a a x +a x =b 211121⎩2112222⎪x 2=⎪a 11a 22-a 12a 21⎩

x 1, x 2的分母记作

b 1

b 2

a 11a 11a 21a 12a 22=a 11a 22-a 12a 21 （1）称为线性方程组的系数行列式D x 1的分子记作a 12a 22b 1=b 1a 22-a 12b 2=D 1 x 2的分子记作a 21b 2=a 11b 2-a 21b 1=D 2

D 1⎧x =⎪1D 若系数行列式D ≠0，则二元线性方程组有唯一解⎨ D 2⎪x 2=⎩D

⎧a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3=b 1⎪同样的，对于三元线性方程组⎨a 21x 1+a 22x 2+a 23x 3=b 2，当系数行列式D ≠0时有唯⎪a x +a x +a x =b 3223333⎩311

D 1⎧x =1⎪D ⎪D ⎪x 2=2一解⎨D ， 系数行列式

⎪D 3x =⎪3D ⎪⎩

a 11a

a

a 12a a a 13D =a 212223=a a a +a a a +a a a -a a a -a a a -a a a [***********][***********]

a 313233

D 1, D 2, D 3是分别用常数项b 1, b 2, b 3替换系数行列式的第一列，第二列，第三列得来

的。

2、排列：由1,2，…，n 组成的一个有序数组称为一个n 级全排列(简称为排列) 按照从小到大顺序排序的排列1,2，…，n ，称具有自然顺序

3、逆序：在一个排列中，如果某个较大的数排在一个较小的数前面(即不符合自然顺序) ，则称这两个数（或者叫数对）构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。

一个排列j 1j 2 j n 的逆序数，一般记为τ(j 1j 2 j n ) 。

4、奇偶排列：逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列.

下面介绍逆序数的计算方法

不妨设n 个元素为1至n 这n 个自然数, 并规定由小到大标准次序, 设p 1p 2 p n 为这n 个自然数的一个排列, 考虑元素p i (i =1, 2 n , ), 如果比p i 小的且排在p i 后面的元素有t i 个，就说p i 这个元素的逆序数是t i ，那么全体元素的逆序数之总和t =t 1+t 2+ +t n =∑t i 即是这个排列的逆序数.

i =1n

例1、计算以下各排列的逆序数，并指出它们的奇偶性.

（1） 42531 （2）135…（2n-1）246…(2n)

解：（1）在排列42531中,4排在首位, 逆序数为3;2的后面比2大小的数有一个, 故逆序数为1;5是最大数, 逆序数为2;3的后面比3小的数有1个，于是这个排列的逆序数为τ(42531) =7，因而是奇排列。

（2）同上，同理可得τ(135 (2n -1) 246 (2n ) n (n -1) 2

因而当n=4k或n=4k+1时为偶排列；当n=4k+2或n=4k++3时为奇排列。

§1.2 n阶行列式的定义 a 11a

a

a 12a a a 13通过三阶行列式中a 212223=a a a +a a a +a a a -a a a -a a a -a a a 的[***********][***********]

a 313233

正负号以及项数，可以看出，三阶行列式是所有不同行不同列元素乘积的代数和，其中正负号在行标按自然顺序排列时，由列标的逆序数的奇偶性决定，所

a 11a 12a 13

a 33有三阶行列式可写成a 21a 22a 31a 32a 23=∑(-1) τ(j 1j 2j 3) a 1j 1a 2j 2a 3j 3(j 1j 2j 3为三级排列）

5、定义： 由n 2个数构成n 行n 列的n 阶行列式a 11

D= a 12 a 1n =

j 1j 2 j n a 21a 22 a 2n ∑(-1) τ(j 1j 2 j n ) a 1j 1a 2j 2 a nj n ，共有n ! 项

a n 1a n 2 a nn

简记作det(a ij ) . 数a ij 称为行列式det(a ij ) 的元素. 第一个下标是行标，第二个下标是列标。

0001

例2、计算4阶行列式D =0020

0300

4000。

解：根据定义，该行列式展开式共有24项，只有一项不为零。通过分析得，D =1⨯2⨯3⨯4=24

a 11

例3、计算n 阶行列式 0 00a 21a 22

a n 1a n 2 a nn

我们称上述行列式为下三角行列式，它的特点是在主对角线以上的元素全为零。相同的可以定义上三角行列式。 a 11

解：利用定义 0 00=a 11a 22 a nn a 21a 22

a n 1a n 2 a nn

类似的还有上三角行列式与对角行列式，其结果都是主对角线元素的乘积。

§1.3 对换

6、定义： 在排列中, 将某两个数对调, 其余的数不动, 这种对排列的变换称为对

换. 将相邻两数对换, 称为相邻对换（或者邻换）.

7、定理1：一个排列中的任意两数对换, 排列改变奇偶性.

证明略

推论：n 级排列共有n ! 项，其中奇偶排列各占一半。

a 11

8、定理2：n 阶行列式的可写为 a 12 a 1n =

i 1i 2 i n a 21a 22 a 2n ∑(-1) τ(i 1i 2 i n ) a i 11a i 22 a i n n

a n 1a n 2 a nn

9、定理3：n 阶行列式的可写为

a 11

a 21

a 12 a 1n a 22 a 2n

=

i 1i 2 i n j 1j 2 j n ∑(-1) τ(i 1i 2 i n ) +τ(j 1j 2 j n ) a i 1j 1a i 2j 2 a i n j n a n 1a n 2 a nn

例6：试判断a 14a 23a 31a 42a 56a 65和-a 32a 43a 14a 51a 25a 66是否都是六阶行列式的项 解： τ(431256) =6, ∴a 14a 23a 31a 42a 56a 65是六阶行列式的项

而τ(341526) +τ(234156) =5+3=8, ∴-a 32a 43a 14a 51a 25a 66不是六阶行列式的项 小结与提问:

小结:本讲介绍了二、三阶行列式的计算以及n 阶行列式的定义、逆序数、对换等概念.

提问:行列式展开式的每一项由怎样的元素构成?

课外作业:

P 25 1.(3)(4) 2. 3. 5.(2)(3)