电路分析典型习题与解答

中南民族大学电子信息工程学院

电路分析典型习题与解答

目 录

第一章：集总参数电路中电压、电流的约束关系 . ...................................................................... 1

1.1、本章主要内容： . ............................................................................................................ 1 1.2、注意： . ............................................................................................................................ 1 1.3、典型例题： . .................................................................................................................... 1 第二章 网孔分析与节点分析 . ........................................................................................................ 3

2.1、本章主要内容： . ............................................................................................................ 3 2.2、注意： . ............................................................................................................................ 3 2.3、典型例题： . .................................................................................................................... 4 第三章 叠加方法与网络函数 . ........................................................................................................ 6

3.1、本章主要内容： . ............................................................................................................ 6 3.2、注意： . ............................................................................................................................ 6 3.3、典型例题： . .................................................................................................................... 6 第四章 分解方法与单口网络 . ........................................................................................................ 8

4.1、本章主要内容： . ............................................................................................................ 8 4.2、注意： . ............................................................................................................................ 8 4.3、典型例题： . .................................................................................................................... 8 第五章 电容元件与电感元件 . ...................................................................................................... 10

5.1、本章主要内容： . .......................................................................................................... 10 5.2、注意： . .......................................................................................................................... 10 5.3、典型例题： . .................................................................................................................. 10 第六章 一阶电路 . .......................................................................................................................... 12

6.1、本章主要内容： . .......................................................................................................... 12 6.2、注意： . .......................................................................................................................... 12 6.3、典型例题： . .................................................................................................................. 12 第七章 二阶电路 . .......................................................................................................................... 16

7.1、本章主要内容： . .......................................................................................................... 16 7.2、注意: . ............................................................................................................................ 16 7.3、典型例题： . .................................................................................................................. 16 第八章 阻抗与导纳 . ...................................................................................................................... 17

8.1、本章主要内容： . .......................................................................................................... 17 8.2、注意: . ............................................................................................................................ 17 8.3、典型例题： . .................................................................................................................. 17 附录：常系数微分方程的求解方法 . ............................................................................................ 20 说明 ................................................................................................................................................ 21

第一章：集总参数电路中电压、电流的约束关系

1.1、本章主要内容：

本章主要讲解电路集总假设的条件，描述电路的变量及其参考方向，基尔霍夫定律、电路元件的性质以及支路电流法。 1.2、注意：

1、复杂电路中，电压和电流的真实方向往往很难确定，电路中只标出参考 方向，KCL,KVL 均是对参考方向列方程，根据求解方程的结果的正负与参考方向比较来确定实际方向.

2、若元件的电压参考方向和电流参考方向一致，为关联的参考方向， 此时元件的吸收功率P 吸=UI，或P 发=-UI

若元件的电压参考方向和电流参考方向不一致，为非关联的参考方向， 此时元件的吸收功率P 吸=-UI，或P 发=UI

3、独立电压源的端电压是给定的函数，端电流由外电路确定（一般不为0） 独立电流源的端电流是给定的函数，端电压由外电路确定（一般不为0） 4、受控源本质上不是电源，往往是一个元件或者一个电路的抽象化模型，

不关心如何控制，只关心控制关系，在求解电路时，把受控源当成独立源去列方程，带入控制关系即可.

5、支路电流法是以电路中b 条支路电流为变量，对n-1个独立节点列KCL

方程，由元件的VCR ，用支路电流表示支路电压再对m （b-n+1）个网孔列KVL 方程的分析方法. （特点：b 个方程，变量多，解方程麻烦）

1.3、典型例题：

例1：电路如图1所示，求解R 3 两端的电压U 以及独立电压源Us 的发出功率？

+U S -

+U =?－

分析：本题考查KCL,KVL, 元件的吸收功率以及受控源。

解：先标出节点和电流参考方向，由图可知Us 、R3的电压电流参考方向是非关联的，

所以有 U =-α I 1R 3

电压源的发出功率表达式为：P 发

=U S I 1

+U =?－

U

例2：电路如图1所示，列写支路电流法方程。

20V

分析：本题考查支路电流法中KCL,KVL 的列写步骤，含受控源的处理方法。

解：先标出独立节点和各支路电流的参考方向，然后对n-1个独立节点列KCL 方程，对m 个网孔列KVL 方程。把受控源当成独立源处理，然后将控制量用相关支路电流表示。

20V U =3I 1

+S -

对节点a 列KCL ：-I 1-α I 1+I 2=0对左网孔列KVL ：I 1R 1+I 2R 2-U S =0

I 1=-

U S

R 1+(1+α) R 2

αR 3U S

R 1+(1+α) R 2

U =-α I 1R 3=

U 2S

P 发=U S I 1=R 1+(1+α) R 2

5

1、 n –1个KCL 方程：

–I 1+I 2+I3=0 –I 3+I 4+I5=0

2、 b –( n –1) 个KVL 方程：

3I 1+2I 2-20=0 –2I 2+4I3+5I4+ 7U=0 –5I 4+8I 5 –7U =0

3、 控制量用支路电流表示

第二章 网孔分析与节点分析

2.1、本章主要内容：

由于电路中支路数往往是最多的，采用支路电流法方程多，变量多，方程中既有KCL 方程，又有KVL 方程，解方程麻烦。为方便电路方程的求解，本章主要讲解电阻电路的网孔电流分析法和节点电压分析法. 2.2、注意：

1、网孔电流法是以假想的沿网孔闭合连续流动的网孔电流为变量，对每个 节点而言，相关网孔电流流入一次，必然流出一次，网孔电流自动满足KCL 方程，只需对m 个网孔列KVL 方程求解电路的分析方法.

2、以网孔电流为变量，网孔电流的绕向统一取顺时针方向，用相关网孔电 流去表示支路电压后，对每个网孔列KVL 方程，然后将相同变量合并， 常数放另一边。得到方程的标准矩阵形式如下：

⎡R 11R 12 R 1m ⎤⎡i m 1⎤⎡u s 11⎤⎢R R R ⎥⎢i ⎥⎢u ⎥

2m ⎥⎢m 2⎥⎢2122=⎢s 22⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥R R R i u mm ⎦⎣mm ⎦⎣m 1m 2⎣s m m ⎦

i ≠j Rij −−→i 网孔与j 网孔的互阻（负号）

→i 网孔的自阻（正号） Rii −−

u S ii −−→i 网孔的所有等效电压源的代数和（同-异+）

3、节点电压法以n-1个独立节点对参考节点的电压为变量，节点电压自动 满足KVL ，只需要对n-1个独立节点列写KCL 方程求解电路的分析方法. 4、以节点电压为变量，用节点电压表示支路电流，对独立节点列KCL 方程， 将相同变量合并，常数放另一边，得到方程的标准矩阵形式如下：

⎡G 11G 12 G 1, n -1⎤⎡u n 1⎤⎡i s 11⎤⎢⎥⎢⎥⎢i ⎥G G G u 21222, n -1n 2s 22⎢⎥⎢⎥=⎢⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

u i ⎢⎣n , n -1⎥⎦⎢⎣sn -1, n -1⎥⎦⎣G n -1,1G n -1, 2 G n -1, n -1⎥⎦⎢

i ≠j

Gij −−→i 节点与j 节点的互导（负号）Gii −−→i 节点的自导（正号）

i S ii −−−→i 节点的所有等效电流源的代数和（入+出-）

5、平面电路才有网孔，网孔法只适用于平面电路，节点法不受此限制.

2.3、典型例题：

例1：列出如下电路的网孔分析法的方程。

10V

5V

分析：本题考察含有受控源和电流源的网孔电流法的分析思路：把受控源当成独立源列方程，然后增加控制量用相关网孔电流去表示的方程，由于网孔法本质上是列的KVL 方程，所以需要知道每个元件的电压才能够列方程，对电流源其端电压由外电路决定，需假设其端电压再列方程，然后增加电流源相关的网孔电流的关系方程。

解：首先标出网孔电流并确定其绕行方向，并假设电流源端电压，然后对每个网孔按标准方程形式列写网孔KVL 方程。

10V

5V

(8+20) I m 1-20I m 2=10

-20I m 1+(5+20) I m 2-5I m 3=-U -r U 1

-5I m 2+(5+9) I m 3=U -2

U 1=20(I m 1-I m 3)

-I m 2+I m 3=2

例2：列出如下电路的节点分析法的方程。

分析：节点分析法以节点电压为变量，对n-1个独立节点，列KCL 方程的分析方法。本题考察含有受控源和无伴电压源的节点电压法的分析思路：把受控源当成独立源列方程，然后增加控制量用相关节点电压表示的方程，对无伴电压源，选择无伴电压源一端为参考节点，可以使方程更简单，否则需要假设无伴电压源的电流，再列方程。

解：首先选定参考节点，并标出n-1个独立节点，然后对每个独立节点按标准方程形式列写节点的KCL 方程。

1节点：(+

111114I

+) u n1-u n2-u n3=-5+ 123+2215

11111-u +(++) u -u n3=0 2节点：n1n222353

3节点：u n3

=4

U n1-U n2

2

增加受控源控制量用节点电压表示：I =

例3：电路如图所示，试用节点分析法求解输出与输入电压的关系。

u i 分析：本题考察含集成运算放大器的分析思路：

1、集成运放工作在线性区时满足“虚短”“虚断”，应用“虚短”“虚断”求解。 2、采用节点分析法求解。

节点N ：(

u 111

+) U N -U M =i R 1R 2R 2R 1

u 节点M ：-1U N +(1+1+1) U M -o =0 R 2R 2R 3R 4R 4

“虚短”“虚断” U N

=U P =0

A u =

u o R +R 4R //R 4=-2(1+2) u i R 1R 3

第三章 叠加方法与网络函数

3.1、本章主要内容：

本章主要讲解线性电路的叠加原理，叠加原理包括齐次性和可加性. 3.2、注意：

1、叠加原理描述线性电路中各支路电压或支路电流与各独立源的关系. 2、功率为支路电压或电流的二次函数不能够用叠加方法求解. 3、考虑单个独立源作用时，其他独立源置0.

考虑独立电流源作用时，独立电压源短路（电压为零） 考虑独立电压源作用时，独立电流源开路（电流为零） 4、叠加原理也适用于含受控源的电路，保留受控源的控制关系. * 不能够将受控源置零. 3.3、典型例题：

例1、线性电路如图, 根据叠加原理填表。

rI U

1

+-

U

分析：本题考察叠加原理的应用，线性电路中各支路电压或支路电流与各独立源的成线性关系，与受控源无关。

解：根据电路与已知表格数据，由叠加原理的齐次性和可加性可设： I 1=k1I S +k2U S ----------（式1）

U 1=k3I S +k4U S ----------（式2）

带入表格中1、2行的实验数据，得：

4=2k1+1k2 3=k1+k2 5=2k3+k4 3=k3+k4

求出：k 1=1, k2=2, k3=2, k4=1

然后将表格中3、4行数据带入式（1）、式（2）可求得表中未知数据。

例2、利用叠加原理计算电流i 和受控源的吸收功率。

10V

分析：本题考查叠加原理的应用。电路中支路电压或支路电流的响应为每个独立源单独作用时响应的叠加。画出每个独立源单独作用时的电路，分别求出每个独立源作用的响应i 1，i 2，然后叠加求得i 。最后根据KCL 求得受控源的电流，再根据P=UI得到受控源的吸收功率。注意： 功率不满足叠加定理，不能够求出每个独立源作用时受控源的功率然后叠加。

1、考虑10V 电压源作用时，对回路列KVL 方程有：

2i 1+4i 1+3i 1-10=0 i 1=

10A 9

2A

2、考虑2A 电流源作用时，a 节点列KCL 方程，对左边网孔列KVL 方程：

-i 2-2+i 3=0 2i 2+4i 3+3i 2=0 i 2=-A

2A 9

89

由叠加原理：i =i 1+i 2=

受控源采用关联参考方向，其电流为 i +2= 从而得到受控源吸收功率为 3i (i +2) =

20A 9

120

W 81

第四章 分解方法与单口网络

4.1、本章主要内容：

本章主要讲解电阻电路中单口网络的分解方法，置换定理，戴维南定理和诺顿定理. 4.2、注意：

1、戴维南等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压U oc . 2、诺顿等效电路中电流源电流等于将外电路短路时的短路电流Isc .

3、等效电阻为将单口网络内部独立电源全部置零(电压源短路，电流源开路) 后，所得无源单口网络的输入电阻. 4、输入电阻常用下列方法计算：

A 、网络内部不含受控源时可用电阻串并联和△－Y 互换计算等效电阻. B 、外加电源法（独立源置零，加压求流或加流求压）. C 、开路电压，短路电流法(独立源不置零、实验法) . 4.3、典型例题：

例1、利用戴维南定理求负载R L 消耗的功率。

5040V

Ω

分析：本题考查灵活应用戴维南定理可以简化运算。 解：先按如下图将本电路化为2个单口网络。

Ω

先求出左边的单口网络的戴维南等效电路，然后求解R L 的消耗功率。 对左边的单口网络可以先进行电源变换，会减小计算量。

1、先求开路电压U oc

100I 1+200I 1+100I 1=40

I 1=0.1A

U oc =100I 1=10V

2、采用开路电压、短路电流法求Req

sc

I sc

I sc =40/100=0.4A

R U oc

eq =I =10/0.4=25Ω sc

3、得到等效电路

R U Ω

I L =

10+5025+5=60

30

=2A

P 2

L =5I L =5⨯4=20W

第五章 电容元件与电感元件

5.1、本章主要内容：

本章主要讲解动态元件（电容与电感）的VCR ，记忆性与连续性，为动态电路的时域分析打基础. 5.2、注意：

1、在关联参考方向下： 电容VCR 微分表达式：i (t ) =C

d u (t )

d t 电感VCR 微分表达式：u (t ) =L d i (t )

d t

由VCR 的微分表达式可以看出：

在直流电路中，电容相当于开路（I C =0），电感相当于短路（U L =0）

2、电容VCR 积分表达式：u t 1t

C (t ) =u C (0) +C ⎰t i (τ)d τ

0电感VCR 积分表达式：i 1t

L (t ) =i L (t 0) +L ⎰t u (τ)d τ

由VCR 的积分表达式可以看出：

电容电压不突变、电感电流不突变. 电容和电感均为记忆元件. 5.3、典型例题：

例1：电路如图所示，求电流电容的i 、功率P(t)和储能W(t).

0.5F

解： 根据电容VCR 微分表达式：i (t ) =C

d u (t )

d t

可以得到： ⎧0 t

s ⎪1 0≤t

dt =⎨

⎪-1 1≤t

2s

⎪⎩0 t ≥2s

s

p (

t ) =u (t ) i (t ) =⎧0 t ≤0⎪2t 0≤t ≤1s ⎪=⎨

⎪2t -4 1≤t ≤2s ⎪⎩0 t ≥2s

1

W C (t ) =Cu 2(t ) =

2

⎧0 t ≤0⎪2

⎪t 0≤t ≤1s =⎨2

⎪(t -2) 1≤t ≤2s ⎪0 t ≥2s ⎩

可以看出理想电容储存和释放能量，不消耗能量.

例2：电路中开关S 原来处于闭合状态，经过很长时间后，打开开关S, 求开关

断开瞬间电流i 的值？

C +u C -

解：由电容VCR 微分表达式：i (t ) =C

d u (t )

可知，开关闭合的很长一段时间里，电容相d t

当于开路，电容两端的电压为4K 电阻上的压降U C =8V.

+8V -

+u C -

10V -

S 闭合时的等效电路 S断开瞬间的等效电路

开关S 断开的瞬间，由电容VCR 积分表达式：u C (t ) =u C (t 0) +

1t

i (τ)d τ，可知电⎰t 0C

容电压不突变，根据替代定理，在S 闭合的瞬间电容用8V 的电压源替代。

则断开瞬间 i =

10-8

=2mA 1K

第六章 一阶电路

6.1、本章主要内容：

本章主要讲解一阶电路的时序分析法：包括零输入响应，零状态响应，全响应的三要素法. 6.2、注意：

1、零输入响应的物理意义：动态元件初始能量的释放过程（放电过程）. 2、零状态响应的物理意义：动态元件吸收能量的过程（充电过程）. 3、一阶RC 、LC 电路时间常数τ 的意义和表达式.

4、一阶电路的全响应=零输入响应+零状态响应. （从物理意义去记忆公式） 5、一阶电路三要素法的公式.

6、换路前后电路的结构发生了变化，画电路时要特别注意. 6.3、典型例题：

例1：电路如图所示，换路前电路已稳定，t=0时刻K 闭合，求i C (t)、u C (t)

32Ω

分析：本题考查三要素法分析一阶RC 动态电路中的全响应的分析方法. 先求初值、稳态值，后求时间常数τ，然后带入三要素法的公式即可.

1、求初始值u （0+）

先画出0-时刻电路，开关K 断开，电路处于稳定直流状态，C 相当于开路.

3+

u C -

0-时刻等效电路

u C (0-)=12V

由电容电压不突变可知，u C (0+)=u C (0-)=12V

2、求稳态值u C (∞)

3

2Ω

t =∞时刻等效电路

特别注意：经过一段过渡时间，电路会达到一个新的稳定直流状态，C 相当于开路，但是由于开关已经闭合，电路结构已经发生改变。

2⨯4

=4V u C (∞)=3⨯2+4

3、求时间常数τ

R eq =

2⨯44

=Ω 2+43

R eq 是从动态元件看进去的戴维宁等效电路的内阻

电路中不含受控源，将独立源置零后，从动态元件看进去的等效电阻R 就是2个电阻并联

τ =R eq C =0.4S

4、根据三要素法公式，带入数据即可得解.

-t

uC (t) =u C (∞)+[ uC (0+)-u C (∞)]eτ

t ≥0

uC (t) =4+8e-2.5t ；

i C (t ) =C

du (t )

; dt

t ≥0

t ≥0

i C (t ) =-6e -2.5t ;

t ≥0

思考：本题如将3A 电流源的方向该为向下，其他不变，求解之

提示：注意参考方向

例2：电路如图所示，换路前电路已稳定，t=0时刻K 闭合，求i(t)、i L (t).

2Ω

-

分析：本题考查三要素法分析一阶RL 动态电路中的全响应的分析方法. 先求初值、稳态值，后求时间常数τ，然后带入三要素法的公式即可.

特别注意：当开关闭合的瞬间（闭合时电路已发生变化），要求解0+时动态元件以外

的电量的初置，先利用替代定理将动态元件用相应的独立源替代再求解。

电容用电压源替代, 电感用电流源替代. （注意大小和方向）

1、求初始值i （0+）

先画出0-时刻电路，开关K 断开，电路处于稳定直流状态，L 相当于短路.

2Ω

V -

0-时刻等效电路

2Ω电阻被电感短路

由此得到 i L (0-) =10=2A

5

由电感电流不突变可知，i L (0+) =i L (0-) =2A

用2 A的电流源替代(替代的时候注意电流源方向与电感中0+时刻的电流方向一直

, 大小相等).

i (0+2Ω

i (0V 2Ω-

V

0+时刻等效电路

采用节点分析法求解:

111116++）u n1-（+）u n2=-2251051010u n2=10

解方程得: u n1=2V i (0+) =u n 1=1A

2

2、求稳态值i (∞)

开关闭合后，经过一段过渡时间，会达到一个新的稳定直流状态，L 相当于短路

.

i (∞

2

Ω

V -

V -

t =∞时刻等效电路

i (∞) =0 ，i L (∞) =3.6A 由电路可知，t =∞时，

3、求时间常数τ

2

Ω

V

R e q 是从动态元件看进去的戴维宁等效电路的内阻

电路中不含受控源，将独立源置零后，从动态元件看进去的等效电阻R 就是3个电阻并联

R e q =2//5//10=1. 25Ω

τ =

L 0.25

==0.2S R e q 1.25

4、根据三要素法公式，带入数据即可得解.

-t

i (t ) =i (∞)+[ i (0+) -i (∞)]e

τ

-t

t ≥0

τ

i L (t ) =i L (∞)+[ i L (0+) -i L (∞)]e

t ≥0

i (t ) =e -5t ;

t ≥0

i L (t ) =3.6-1.6e -5t ;

t ≥0

第七章 二阶电路

7.1、本章主要内容：

本章主要讲解二阶电路的时序分析法：包括零输入响应，零状态响应，全响应的求解方法. 7.2、注意:

1、描述二阶电路的方程为二阶常系数微分方程.

2、求解方法就是先利用换路定理, 求解动态元件的初始值, 然后列电路方程, 在利用二阶常系数微分方程的求解方法（祥见附录）, 求解电路变量. 3、二阶电路的全响应=零输入响应+零状态响应.

7.3、典型例题：

例1、二阶RLC 串联电路如图所示，其中C=0.1F,L=0.9H,若要使该电路工作在

过阻尼状态，求R 的取值范围？

C

L

分析：该题考查二阶RLC 串联电路零输入响应的三种工作情况 解： 先求出其阻尼电阻Rd

R d 然后根据RLC 电路中R 与Rd 的大小判断电路零输入响应的工作状态

二个不等负实根------

过阻尼R =二个相等负实根------

临界阻尼

R >R

R d Ω 因此要使该电路工作在过阻尼状态R > 6 Ω

第八章 阻抗与导纳

8.1、本章主要内容：

本章主要讲解正弦稳态电路的分析方法. 8.2、注意:

1、复数计算：加减法采用代数表示，乘除法采用指数或极坐标表示.

2、正弦信号的相量表示方法及其二者的联系. 3、正弦电路中元件性质、电路定律的相量表示. 4、正弦稳态电路的相量模型与相量图法.

8.3、典型例题：

例1:如下RC 串并联选频网络，输入正弦电压信号频率为多少时u i 和u 0同相位.

解:先画出电路的正弦的相量模型, 求出输出U O 与输入U i 关系表达式

R //

=U O

R +

1j ωC

U i

11

+R //j ωC j ωC

假设输入信号幅度不变, 只是频率改变, 那么由于存在电容, 其容抗随输入信

号的频率变化而变化, 导致输出信号幅度和相位都会随输入信号的频率变化而变化. 使得只有部分特定的频率信号能够在输出端得到较大的幅度(通过), 而其他频率的信号在输出端均只有微小的幅度(不能够通过), 这种性质叫选频或滤波. 通过化简可以得到:

U 1O

=U i 3+j(ωRC -

) ωRC

------------ * 式

U U 1O

要使u i 和u 0同相位, 即虚部为零, 由*式可知, 当ωRC -=0时O 虚部为0

ωRC U U i i

u i 和u 0同相位条件为:

ω=

11

即f =

R C 2πR C

思考:此时输出电压与输入电压的幅度是何关系?

如果要使输出相位超前输入信号30o , 那么输入信号的频率又该是多少? 此时的输入信号与输出信号的幅度关系又如何?

例2: 已知 U AB =50V, U AC =78V, U BC =?

A

B

C

分析:本题适合使用相量图法分析, 给定条件是有效值, 相量采用有效值相量方便, 串联电路电流相同, 故以电流相量（并联电路电压相同，亦以电压相量）为参考相量作相量图。

+

A

U AB

-+

U BC

U BC

B

C

-设电流相量为I , 则

j40I A

=j X I =30I +j 40I U U B C L AB

=U +U =30I +j 40I +j X I U A C AB B C L

画出各电压相量图 ，由相量图可知：

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U AB ==50I I =1A, U R =

30V

U AC =78=

U BC =40=32V 3: 列写电路的网孔电流方程和节点电压方程.

分析:引人相量模型后, 电阻电路的方法都适合正弦稳态分析.

n 3

节点分析法方程:

U n 1=U S

-1

R U (111

n 1+ 1 L +R +) U n 2-U n 3=0

2j ω2R 3R 3

-j ωCU n 1-1

R U n 2+(1+1+j ωC ) U n 3=-I S

3R 1R 3

__

网孔分析法方程:

(R 2+j ωL ) I m1-j ωLI m2-R 2I m3=U S

-j ωLI m1+(R 1+R 3+j ωL ) I m 2-R 3I m 3=0

-R 2I m 1-R 3I m 2+(R 2+R 3+1

j ωC ) I m 3-1

j ωC I m 4=0

I m 4=-I S

例

中南民族大学电子信息工程学院

附录：常系数微分方程的求解方法

线性常系数微分方程的经典解法

d u C

d t +1

RC u 1

C =RC u S (t )

d 2u C

d t 2+R d u C L d t +1

LC u 1

C =LC u S (t )

u C 用 y(t) 表示, u S 用 f(t) 表示

d y (t )

d t +a 0y (t ) =b 0f (t )

d 2y (t ) d y (

d t 2+a t ) 1d t +a 0y (t ) =b 0f (t )

线性常系数微分方程的系数取决于电路元件的参数

微分方程解的结构

d y (t )

d t +a 0y (t ) =b 0f (t )

d 2y (t )

d t 2+a d y (t ) 1d t +a 0y (t ) =b 0f (t )

根据微分方程理论可知：线性常系数微分方程的全解由两部分构成：

y (t ) =y h (t ) +y p (t )

y h (t ) :齐次解y P (t ) :特解 一阶线性常系数微分方程的齐次解

d y (t )

d t +a 0y (t ) =b 0f (t )

齐次解y h (t ) 由微分方程的特征方程决定

λ+a 0=0

特征方程的特征根 λ=-a 0

y t

h (t ) =Ke λ=Ke -a 0t

线性常系数微分方程的特解

特 解y P (t ) 由激励信号f (t ) 决定

常用激励信号 f(t ) 所对应的特 解 y P (t) 的形式

1、常数C →常数A 0

2、t m →A m t m +A m -1t m -1+.... . +A 1t +A 0

3、sin(βt +ϕ) →A 1sin(βt +A 0)

4、e αt →Ae αt

αt e αt →(At 1+A 0) e , 当α不等于特征根时, 当α等于特征单根时

αt e αt →(A 2t 2+At 1+A 0) e , 当α等于特征重根时

二阶线性常系数微分方程的齐次解

d 2y (t ) d y (t ) +a 1+a 0y (t ) =b 0f (t ) 2d t d t

齐次解y h (t ) 由微分方程的特征方程决定

λ2+a 1λ+a 0=0

特征方程的特征根 λ1, λ2

λ1≠λ1(不等实根) :y h (t ) =K 1e λt +K 2e λt 12

λ1=λ1(相等实根) :y h (t ) =(K 1+K 2t ) e λt

λ1,2=α±j β(共轭虚根) :y h (t ) =e αt (K 1cos βt +K 2sin βt )

说明

本典型习题的设计参考了如下教材，在此对原作者一并表示感谢！

1. 张永瑞, 电路基础教程, 北京:科学出版社.2005

2. 李瀚荪, 电路分析基础(第4版), 北京:高等教育出版社.2005

3. 邹玲，姚齐国, 电路理论, 武汉：华中科技大学出版社.2006

4. 孙立山, 电路名师大课堂, 北京:科学出版社.2006

5. 四川大学电路理论基础电子课件

6. 同济大学，高等数学（下册），北京：高等教育出版社.1996

本习题解答的初衷是通过适当练习巩固知识点，由于时间关系，习题还不够全面，希望能够起到抛砖引玉的作用，如有需要今后再增加补充。欢迎大家提宝贵意见！

因水平有限, 本典型习题解答中难免有错误之处, 欢迎批评指正！

E-mail ：[email protected]

2009.3