保持矩阵迹的乘法映射

Vol. 24(2004)

No. 1数学杂志J. of Math. (PRC )

保持矩阵迹的乘法映射

程美玉1, 李兴华2

(1. 黑龙江大学理学院, 黑龙江哈尔滨150080) X

(2. 哈尔滨理工大学应用科学院, 黑龙江哈尔滨150080)

　　摘要:设F 是一个域, A n , 是一个乘法半群且满足{aE ij |i , j =1, 2…, n , a ∈F }A A n A (F ) , 其中M n (F ) 定义F 上所有n ×n 矩阵组成的乘法半群, 本文证明了一个结果:若f :A n v F 是一个保迹映射, 则存在一个可逆阵P ∈M n (F ) 使得

f (A ) =P AP -1, P A ∈A n

由此推广了[1]的一个结果.

　　关键词:乘法映射; 半群; 迹

　　MR (2000) 主题分类号:20M15　　　　中图分类号:O152

　　文献标识码:A 　　　　文章编号:025527797(2004) 0120004203

1　介绍

设F 是一个域, M n (F ) 定义F 上所有的n ×n 矩阵组成的乘法半群. Γn 定义乘法半群{aE ij |i , j =1, 2…, n , a ∈F }, 其中aE ij 表示(i , j ) 位置是a , 其余位置是0的矩阵. 设A n 是一个乘法半群且满足ΓA A n A M n (F ) . 对于任意的A ∈A n , S pec (A ) 和tr A 分别定义A 的所有特征值集合和A 的迹. 我们称M n (F ) 中两个矩阵X 和Y 是正交的, 如果XY =YX =0.

一个映射

H ochwald [1]证明了下面的结果:

定理A 　若

本文采用不同于[1]的方法, 将定理A 中“保谱”的条件减弱到“保迹”, 并且得到了如下定理:

定理B 　若f :A n →M n (F ) 是一个保迹的乘法映射, 则存在一个可逆阵P ∈M n (F ) 使得

-1f (A ) =P A P , 　　P A ∈A n

因而本文是定理A 的推广.

收稿日期:2000212218　　　　接收日期:2001209230

X

　N o. 1　　　　　　　　　　　　程美玉等　保持矩阵迹的乘法映射52　引理和定理证明

引理1　[2, 引理2. 1]若A 2=A ∈M n (F ) , 则存在可逆阵P ∈M n (F ) 使得

P -1A P =I r O , 　　其中0≤r ≤n.

) 若t >n 且{A 1, A 2…, A t }是M n (F ) 中t 个彼此正交的幂等阵, 则存在某引理2　(ⅰ

个k 使得A k =O.

(ⅱ) 若{A 1, A 2, …, A n }是M n (F ) 中n 个彼此正交的非零幂等阵, 则存在可逆阵P ∈M n (F ) 使得

P -1A i P =E ii , 　　i =1. 2…, n.

) 对阶数n 应用数学归纳法. 当n =1时显然, 假设n

时, 由引理1不妨设A 1=I r O 其中1≤r ≤S (否则A 1=O , 得证) 由A 1, A 2, …A t 彼此正交得

(1) A i =O B i 　　i =2, …, t

显然,{B 2, …, B t }是M s -r (F ) 中t -1个彼此正交的幂等阵, 由归纳假设, 存在某个k 使得B k =O , 从而A k =O. 得证.

(ⅱ) 对阶数n 应用数学归纳法. 当n =1时显然, 假设n =s -1时结论成立. 当n =s 时, 类似于(1) , 不妨设

A 1=I r O

A i =O B i , 　　i =1, 2, …, s

其中1≤r ≤s 且{B 2, …, B s }是M s -r (F ) 中s -1个非零的彼此正交的幂等阵.

) 知, 存在某个k 使得B k =O , 从而A k =O , 矛盾; 若r =1, 由归纳假设, 若r >1, 由(ⅰ

存在可逆阵P 1∈M s -r (F ) 使得

-1P 1B i P 1=E ii , 　　i =2, …, s

令P =1P 1, 得证.

引理3　f (O ) =O.

证　用反证法. 假设f (O ) ≠O. 由引理1和f (O ) 2=f (O 2) =f (O ) 得P -1f (O ) P =I r O , 其中1≤r ≤n 且P ∈M n (F ) . 再由E ii O =OE ii =O 得f (E ii ) f (O ) =f (O ) f (E ii ) =f (O ) , 于是

-1P f (E ii ) P =I r B i , 　　i =1, 2, …, n

其中B i ∈M n (F ) .

对于任意互异的i 和j , 则E ii 和E jj 正交得f (E ii ) f (E jj ) =f (E jj ) f (E i i ) =f (O ) , 于是{B 1,

) 得, 存在某个k 使得B 2, …B n }是M n (F ) 中n 个彼此正交的幂等阵. 由引理2之(ⅰ

B k =O , 从而f (E kk ) =f (O ) , 故tr f (E kk ) =tr f (O ) , 再由f 保迹得1=tr E kk =tr O =0, 矛盾. 故f (O ) =O.

引理4　存在可逆阵P ∈M n (F ) 使得

P -1f (aE ij ) P =aE ij , 　　ij =1, 2, …, n , 　　P a ∈F

证　由引理3及f 是保迹的乘法映射得{f (E 11) , f (E 22) , …f (E nn ) }是M n (F ) 中n 个

) , 存在可逆阵P 1, 使得彼此正文交的非零幂等阵. 应用引理2之(ⅱ

(2) P 1-1f (E ii ) P 1=E ii 　　i =1, 2, …, n

对任意的i 和j , 由aE ij =(aE ij ) E jj =E ii (aE ij ) 得f (aE ij ) =f (aE ij ) f (E jj ) =f (E ii ) f (aE ij ) 　再由(2) 得

6

-1数　　学　　杂　　志V ol. 24　P 1f (aE ij ) P 1=r ij (a ) E ij , 　i , j =1, 2…, n , 　　P a ∈F (3)

(4) 其中r ij ∈F 且

r ii (1) =1　　i =1, 2, …, n.

对于任意的i , j 和k , 由aE ik =(aE ij ) E jk =E ij (aE jk ) 得

f (aE ik ) =f (aE ij ) f (E jk ) =f (E ij ) f (aE jk ) . 再由(3) ,

r ik (a ) =r ij (a ) r jk (1) =r ij (1) r jk (a ) , 　　i , j , k =1, 2, …, n , 　　P a ∈F

其中r ij (a ) ∈F . 在(5) 中选择i =k =1, j ≥2且a =1得

r 1j (1) r j 1(1) =1, 　　P j ≥2

令P =P 1diag ((1) , r 21(1) , …, r n 1(1) ) , 由(3) , (5) 和(6) 得

-1P f (aE ij ) P =r 11(a ) E ij , 　　i , j =1, 2, …, n , 　　P a ∈F .

再由tr f (aE 11) =tr (aE 11) =a 得

r 11(a ) =a.

得证.

定理B 　的证明对于任意的A ∈A n , 令A =(a ij ) 且

-1P f (A ) P =B =(b ij )

由a ij E ij =E ii A E jj (P i , j ) 得f (a ij E ij ) =f (E ii ) f (A ) f (E jj ) . 再由引理4和(9) 得

a ij PE ij P -1=(PE ii P -1) (P B P -1) (PE jj P -1) , 　P i , j.

即a ij E jj =E ii B E jj 　P i , j

故b ij =a ij 　P i , j. 得证. (5) (6) (7) (8) (9)

参考文献:

[1]　S. W. H ochwald ,Multiplicative maps on matrices that preserve the spectrum[J].Lin. Alg. Appl. ,1994,212/213:

3392351.

[2]　L. B. Beasley and N. S. Pullman ,Linear operators preserving idempotent matrices over field [J].Lin. Alg. Appl. ,

1991,146:7220.

MU LTIPLICATIVE MAPS ON MATRICES

THAT PRESERVE THE TRACE

CHE NG Mei 2yu (程美玉) 1, LI X ing 2hua (李兴华) 2

(1. College o f Science , Heilongjiang Univer sity , Harbin 150080, China )

(1. College o f Applied Science , Harbin Univer sity o f Science and Technology ,

Harbin 150080, China )

Abstract :Suppose F is a field. Let A n be a multiplicative semigroup which satis fies {aE ij i , j =1, 2, …, n , a ∈(F ) }A A n A M n (F ) ,where M n (F ) denotes the semigroup of all n ×n matrices over F . In this paper we prove a result :Supposef :A n →M n (F ) is a multiplicative map that preserves trace. Then there exists an invertible P ∈M n (F ) such that

f (A ) =P AP -1, 　　P A ∈A n ,

which generalizes a result in [1].

K eyw ords :multiplicative map ,semigroup ,trace.

2000MR Subject Classification :20M15