否命题与命题的否定

嵩县一高 王少敏

学生们在学习四种命题（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）时，对于否命题的认识不会有什么疑问，但在学习了或、且、非命题之后，常有学生这样问:“命题的否定”和“否命题”有什么区别？

这说明很多同学混淆了这两个概念，其根本原因是对于“否命题”和“命题的否定”认识不够全面，理解不够深刻，没有准确理解这两个概念。遗憾的是，很多学习参考资料上、部分教师轻率地告诉同学们说：“否命题”是既否定条件又否定结论，而“命题的否定”是只否定结论。这是一种不严谨不负责的说法，误导了学生们。

本文希望就此问题做一些分析，帮同学们认清否命题与命题的否定。

一、否命题：一个命题是“如果p,那么q”的形式时，它的否命题是既否定条件又否定结论，即“如果p,那么q”。原命题和其否命题的真假关系不确定，可能同真可能同假也可能一真一假。

1．要想写出否命题，需先把原命题改写成“如果（若）„„那么（则）„„”的形式。 例1：（1）原命题：若三角形中有两边相等，则其对角相等。（真）

否命题：若三角形中有两边不等，则其对角也不相等。（真）

（2）原命题：若两角为对顶角，则此二角相等。（真）

否命题：若两角不是对顶角，则此二角不相等。（假）

（3）原命题：若四边形的四边相等，则为正方形。（假）

否命题：若四边形四边不等，则不是正方形。（真）

（4）原命题：若|x+1|=2，则x=10。（假）

否命题：若|x+1|≠2，则x≠10。（假）

例2：（1）原命题：正方形的四条边相等。

改写为：如果一个四边形为正方形，那么这个四边形的四条边相等。（真） 否命题：如果一个四边形不是正方形，那么这个四边形的四条边不相等。（假）

（2）原命题：负数的绝对值等于它的相反数。

改写为：如果x1；

（2）2+i是复数；

（3）人是生物；

（4）太阳比地球大。

这些命题很难找出条件和结论，无法快捷地写成“如果（若）„„那么（则）„„”的形式，所以，我们将不再要求写它们的否命题。

有人说这些简单命题前添上任意一个真命题当条件，而把这些命题当结论就能写否命题了。于是就会出现“如果2>1，那么太阳比地球大。”这样令人哭笑不得的命题，也太无聊了。

其实这些命题不是不能改写成“若„„则„„”的形式，只是这些命题的条件会用到相应学科的原始概念，是我们不能简单表述的，故不要求同学们在这上面投入无意义的精力。

二、命题的否定：一般地，对于一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作 “p”，叫做命题p的否定。一个命题与它的否定形式是完全对立的，两者之间有且只有一个成立。

命题与其否定的关系，本质上等同于集合与其补集的关系。

对于命题的否定，从以下几种情况进行逐步理解：

1．简单命题的否定：

不含“或”“ 且”“ 非”“ 如果那么”等词语的简单命题，写其否定形式的关键，是否定其中的 “谓语部分”，即用来表示判断的词语。下面写出一些常用词语和它的否定词语（前面为原词语，后面为否定词语）：

等于， 不等于；

大于， 不大于（小于或等于）；

小于， 不小于（大于或等于）；

都是， 不都是；

至多有一个， 至少有两个；

至多有n个， 至少有n＋1个；至

少有一个， 一个也没有；

任意的， 某一个；等等。

例4：（1）命题p：2>1（真）；命题p：2≤1（假）；

（2）命题p：2+i是复数（真）；命题p：2+i不是复数（假）；

（3）命题p：1+1≠2（假）；命题p：1+1=2（真）；

（4）命题p：空集是任何集合的真子集（假）；命题p：空集是某些集合的真子集（真）。

2．含有一个逻辑联结词“或（）”“且（）”的命题的否定：

“p且q”的否定是“p或q”； “p或q”的否定是“p且q”。

例5：（1）命题p：2是6的约数且2是4的约数（真）；

命题p：2不是6的约数或2不是4的约数（假）；

（2）命题p：|x-1|=2的实数根是-1或者3；

命题p：|x-1|=2的实数根不是-1而且不是3（假）。

3．全称命题和特称命题命题的否定：

全称量词（）的否定为特称量词()，特称量词的否定为全称量词。写含全称量词或特称量词的命题的否定时，既要否定结论，还要否定相应的量词。

例6：（1）命题p：x∈R，x2>0（假）；

命题p：x∈R，x2≤0（真）；

（2）命题p：有的菱形是正方形（存在）（真）；

命题p：所有的菱形都不是正方形（任意）（假）。

三、条件或结论中含有“或”“ 且”等逻辑联结词的命题的否命题：在否定条件和结论时，注意同时否定联结词。如：

原命题：如果p q，那么st；否命题：如果p q，那么st。（其他情况雷同）

例7：（1）命题p：若x2=1，则x=1或x=-1（真）；

命题p：若x2≠1，则x≠1且x≠-1（真）；

（2）命题p：各内角相等且各边相等的多边形为正多边形，（真）；

命题p：（若）内角不全相等或者各边不全相等的（则）多边形不是正多边形（真）；

（3）命题p：圆内垂直平分弦的直线过圆心且平分该弦所对的弧；（真）

命题p：（若）圆内与弦不垂直或者不平分弦的直线，（则该弦）不过圆心或者

不平分线索对的弧。（真）；

（4）命题p：若x=1或者x=2，则x（x-1）=0或者x（x-2）=0（真）；

命题p：若x≠1且x≠2，则x（x-1）≠0且x（x-2）≠0（假）。

四、“如果A，那么B”的否定：这些命题其实可以看做是全称命题“只要A成立，就有B成立”，而全称命题的否定应该是特称命题，故其否定应该是“存在A成立，使B不成立”。这也说明命题的否定并不是简单地只否定结论。

例8：（1）命题p：若x2>4，则x>2（假）；

如果我们认为只需否定结论就能得到p，就会出现这样的情况：

命题p：若x2>4，则x≤2（假）；

p与p竟然都是假命题，这与它们真值相反是矛盾的。

我们换个方法理解命题p：对x2>4，总有x>2（假），则其否定显然是：

命题p：x2>4，满足x≤2（真）；

（2）命题p：若x2=4，则x=2（假）；

2命题p：x满足x=4，使x=2（真）；

如果我们用集合的观点理解命题，每个命题实质上对应的都是集合。为了便于表述，不妨把命题A与B对应的集合还用A、B表示，这个时候很容易理解：“若A，则B”等价于“x∈Ax∈B”，那么其否定应该为“x∈AxB”。

五、小结：

否命题注重的是形式结构，需先把原命题改写成“如果A，那么B”的形式，再否定条件和结论，得到否命题：“如果A，那么B”；不能改写成“如果„„那么„„”的命题就不要写否命题。

命题的否定（p）注重本质，必须是相互排斥、对立、互补的，用集合的观点理解，命题的否定就是求补集。写含全称量词或特称量词的命题的否定时，既要否定结论，还要否定相应的量词。“若A，则B”等价于“x∈Ax∈B”，那么其否定应该为“x∈AxB”。