相似三角形总结
A 字形,A ’形,8字形,蝴蝶形,双垂直, 旋转形
a c a =b d ,可先证得b
=
e
f
(e , f 是两条线段)
e c e =
d ,这里把f 叫做中间比。 然后证f
①∠ABC=∠ADE .求证:AB ·AE=AC·AD
双垂直结论:射影定理:①直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项
⑴△ACD
∽△CDB →AD:CD=CD:BD→CD2=AD•BD
⑵△ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC→AC2=AD•AB
⑶△CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC→BC2=BD•AB
结论:⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD
结论:面积法得AB •CD=AC•BC →比例式 证明等积式(比例式) 策略
直接法:找同一三角形两条边
变化:等号同侧两边同一三角形 三点定形法 2、间接法: ⑴3种代换 ①等线段代换; ②等比代换; ③等积代换;
⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A ”字型、“8”字型
②先证其它三角形相似——创造边、角条件 相似判定条件:两边成比夹角等、两角对应三边比
相似终极策略:
遇等积,化比例,同侧三点找相似; 四共线,无等边,射影平行用等比; 四共线,有等边,必有一条可转换; 两共线,上下比,过端平行条件边。 彼相似,我角等,两边成比边代换。
(3)等比代换:若a , b , c , d 是四条线段,欲证
②△ABC 中,AB=AC,△DEF 是等边三角形 求证:
BD•CN=BM•CE.
③等边三角形ABC 中,P 为BC 上任一点,AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点。
求证:BP •PC=BM•CN
☞有射影,或平行,等比传递我看行
①在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC 于D ,E 为AC 的中点,求证:
AB •AF=AC•DF
F
斜边上面作高线,比例中项一大片 ②ABCD
③梯形ABCD 中,AD//BC,作BE//CD, 求证:OC2=OA.OE
☞四
1
共线,看条件,其中一条可转换;
①Rt △ABC 中四边形DEFG 为正方形。 求证:EF2=BE•FC
②△ABC 中,AB=AC,AD 是BC 边上的中线,CF ∥BA , 求证:BP2=PE·PF 。
③AD 是△ABC 的角
平分线,EF 垂直平分
AD ,
交BC 的延长线于E ,交AB
求证:
DE2=BE·CE.
☞两共线,上下比,过端平行条件边。 ①AD 是△ABC 的角平分线.
求证:AB:AC=BD:CD. ⑥△ABC 中,AC=BC,F 为
底边AB 上的一点,(m 、n >0),取CF
的中点D , 连结AD 并延长交BC 于E. (1)的值. (2)如果BE=2EC,那么CF 所在直线与边
AB 有怎样的位置关系?证明你的结论;(3)E 点能否为BC 中点?如果能,求出相应的的值;如果不能,证明你的结论。☞彼相似,我条件,创造边角再相似①AE2=AD·AB ,且∠ABE =∠BCE ,
试说明△EBC ∽△DEB
②在△ABC 中
,AB=AC,
求证:DF:FE=BD:CE.
③在△ABC 中,AB>AC,D 为AB
上一点,E 为
AC 上一点,直线DE 和BC 的延长线交于点求证:BP:CP=BD:CE. ④在△ABC 中,BF
交AD 于E. (1)若AE:ED=2:3,BD:DC=3:2,求AF:FC;
(2)若AF:FC=2:7,BD:DC=4:3,求AE:ED.
(3)BD:CD=2:3,AE:ED=3:4 求:AF:FC
⑤在△ABC 中,D 、E 分别为BC 的三等分点,AC 边上的中线BM 交AD 于P ,交AE 于Q ,若BM=10cm,试求BP 、PQ 、QM 的长.
②已知∆ABD ∽∆ACE ,求证:∆A BC ∽
∆ADE .
③D 为△ABC 内一点,连接BD 、AD ,以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ,∠BCE=∠BAD ,求证:△DBE ∽△ABC 。
④D 、E 分
别在△ABC 的AC 、AB 边上,
且AE •AB=AD•AC ,BD 、CE 交于点O. 求证:△BOE ∽△COD .
2
D
C
3
例10、已知A 、C 、E 和B 、F 、D 分别是∠O 的两边上的点,且AB ∥ED ,BC ∥FE ,求证:AF ∥CD
例11、直角三角形ABC 中,∠ACB=90°,BCDE 是正方形,AE 交BC 于F ,FG ∥AC 交AB 于G ,△DBE 和△ABC 中,∠CBE=∠ABD, ∠DBC 公用∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC ∴∠DBE=∠ABC 且
BC AB
=∴△DBE ∽△ABC BE BD
例4分析:本题要找出相似三角形,那么如何寻求证:FC=FG
例12、Rt △ABC 锐角C 的平分线交AB 于E ,交斜边上的高AD 于O ,过O 引BC 的平行线交AB 于F ,求证:AE=BF
相似三角形总结(答
案)
例1分析:关键在找“角相等”,除已知条件中已明确给出的以外,还应结合具体的图形,利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角∠G 外, 由BC ∥AD 可得∠1=∠2,所以△AGD ∽△EGC 。再∠1=∠2(对顶角),由AB ∥DG 可得∠4=∠G ,所以△EGC ∽△EAB 。
例2分析:证明相似三角形应先找相等的角,显然∠C 是公共角,而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。证明:∵∠A=36°,△ABC 是等腰三角形,∴∠ABC=∠C=72°又BD 平分∠ABC ,则∠DBC=36°
在△ABC 和△BCD 中,∠C 为公共角,∠A=∠DBC=36°∴△ABC ∽△BCD
例3分析: 由已知条件∠ABD=∠CBE ,∠DBC 公
用。所以∠DBE=∠ABC ,要证的△DBE 和△ABC ,有一对角相等,要证两个三角形相似,或者再找一对角相等,或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到△CBE ∽△ABD ,这样既有相等的角,又有成比例的线段,问题就可以得到解决。证明:在△CBE 和△ABD 中,∠CBE=∠ABD,
∠BCE=∠BAD ∴△CBE ∽△ABD ∴
BC AB =BE
BD
即:BC BE =AB
BD
找相似三角形呢?下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形:
(1) 如图:称为“平行线型”的相似三角形
(2)如图:其中∠1=∠2,则△ADE ∽△ABC 称为
“相交线型”的相似三角形。
A
A
D
E
1
4
E
D D B
C
2B
C
B
(3)如图:∠1=∠2,∠B=∠D ,则△ADE ∽△ABC ,称为“旋转型”的相似三角形。
观察本题的图形,如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形,及△EAF 与△ECA
解:设AB=a,则BE=EF=FC=3a, 由勾股定理可求得AE=2a , 在△EAF 与△ECA 中,∠AEF 为公共角,且
AE EC
EF =AE
=2所以△EAF ∽△ECA 例5 分析:证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF :FE=BC:AC ,再利
用相似三角形或平行线性质进
A
行证明:
D 证明:过D 点作DK ∥AB ,
交BC 于K ,
E ∵DK ∥AB ,∴DF :
FE=BK:BE
B C
又∵AD=BE,∴DF :FE=BK:AD ,而BK :AD=BC:AC
即DF :FE= BC:AC ,∴DF ∙AC=BC∙FE
例6 证明:(1)∵∠BAC=900
,M 是BC 的中点,∴MA=MC,∠1=∠C ,
∵DM ⊥BC ,∴∠C=∠D=900
-∠B ,∴
∠1=∠D ,
4
∵∠2=∠2,∴△MAE ∽△MDA ,∴证明:作FG ⊥BD ,垂足为G 。设AB=AD=3k则
BE=AF=k,AE=DF=2k,BD=32k
000
∵∠ADB=45,∠FGD=90∴∠DFG=45∴DG=FG=
MA ME 2
=,∴MA =MD∙ME , MD MA
AE MA
=,AD MD
AE 2MA ME ME AE ME
==∙=∴ 2AD MA MD MA MD AD
(2)∵△MAE ∽△MDA ,∴
评注:命题1 如图,如果∠1=∠2,那么△
DF
2
AF FG 1
== ∴
AE BG 2
=2k ∴BG=32k -2k =22k
又∠A=∠FGB=90∴△AEF ∽△GBF ∴∠0
ABD ∽△ACB ,AB 2
=AD∙AC 。
命题2 如图,如果AB 2
=AD∙AC ,那么△ABD ∽△ACB ,∠1=∠2。
例7 分析:图中没有现成的相似形,也不能直接得到任何比例式,于是可以考虑作平行线构造相似形。怎样作?观察要证明的结论,紧紧扣住结论中“AE :ED ”的特征,作DG ∥BA 交CF 于G ,
得△AEF ∽△DEG ,
AE DE =AF
DG
。与结论AE 2AF AF
ED =FB
=相比较,显然问题转化为2BF 证DG =1
2
FB 。
证明:过D 点作DG ∥AB 交FC 于G 则△AEF ∽△DEG 。(平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似)AE AF (1) DE
=
DG
∵D 为BC 的中点,且DG ∥BF ∴G 为FC 的中点则DG 为△CBF 的中位线,DG =1BF (2)将(2)
2
代入(1)得:AE =AF =2AF
DE 1FB
2
BF 例8 分析:要证角相等,一般来说可通过全等
三角形、相似三角形,等边对等角等方法来实现,本题要证的两个角分别在两个三角形中,可考虑用相似三角形来证,但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似(一个在直角三角形中,另一个在斜三角形中),所以证明本题的关键是构造相似三角形,
AEF=∠FBD
例9 分析:要证明两线平行较多采用平行线的判定定理,但本例不具备这样的条件,故可考虑用比例线段去证明。利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标,选择适当的比例线段。要证明SQ ∥AB ,只需证明AR :AS=BR:DS 。
证明:在△ADS 和△ARB 中。
∵∠DAR=∠RAB=1
2
∠DAB ,∠DCP=∠PCB=
1
2∠ABC ∴△ADS ∽△ABR AR BR
AS =DS
但△ADS ≌△CBQ ,∴DS=BQ,则
AR BR
AS =
BQ
,∴SQ ∥AB ,同理可证,RP ∥BC 例10分析:要证明AF ∥CD ,已知条件中有平行的条件,因而有好多的比例线段可供利用,这就要进行正确的选择。其实要证明AF ∥CD ,只要证明
OA OC =OF
OD
即可,因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。
证明:∵AB ∥ED ,BC ∥FE ∴
OA OE =OB
OD
,OE OF OA OC =OB ∴两式相乘可得:OC =OF
OD
例11 分析:要证明FC=FG,从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等,但存在较多的平行线的条件,因而可用比例线段来证明。要证明FC=FG,首先要找出与FC 、FG 相关的比例线段,图中与FC 、FG 相关的比例式较多,则应选择与FC 、FG 都有联系的比作为过渡,最终必须得到
FC ? =FG
?
(“?”代表相同的线段或相等的线段),便可完成。
5
证明:∵ FG ∥AC ∥BE ,∴△ABE ∽△AGF 则有GF BE =AF
AE
而FC ∥DE ∴△AED ∽△AFC
则有
CF DE =AF AE ∴GF BE =CF DE =AF
AE
又∵BE=DE(正方形的边长相等)∴DF GF
BE =BE
,即GF=CF。
例12 证明:∵CO 平分∠C ,∠2=∠3,故Rt
△CAE ∽Rt △CDO ,∴
AE OD =AC
CD 又OF ∥BC ,∴BF OD =AB
AD 又∵Rt △ABD ∽Rt △CAD ,∴AC CD =AB AE AD ,即OD =BF
OD
∴AE=BF。
评注:应用比例线段证明两直线平行或两线段
相等时,(1)要注意如果相关的比例式较多,一时难以作出选择,应将所有相关的比例式都写出来,然后再仔细对比、分析选出有用的。(2)要注意比例性质的灵活运用,善于总结比例式变换时的方法和技巧。变化时,要头脑清醒,思路清晰,一个字母也不放过,并且每一步都要有根有据,切不可无根据的乱变,或者相当然地硬变。
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