不用法向量求二面角的简单方法
不用平面法向量求二面角的简单方法
上海市七宝中学文卫星(201101)
内容提要:求二面角的平面角,综合法作二面角较难,求平面法向量的方法较繁,
还要根据图形判断是锐二面角还是钝二面角.本文给出不依赖于求两个半平面法向量的方法,且计算量也不大.
关键词:求二面角大小作棱垂直的向量
立体几何较难的是求二面角的平面角,传统的综合法作二面角较难,空间向量的方法写起来繁,同时求二面角的大小需要判断是锐二面角还是钝二面角,有时要依赖观察,但在复杂的立体图中,要准确判断有时是困难的.在本文结合2013年高考题,给出一种不依赖于求两个半平面法向量的方法,且计算量相对于求法向量来说也不大.
设二面角A,C分别是二面角l的棱l的两点,点B,D
分别在半平面,内,且ABl,CDl,则AB与CD(或BA与
DC)所成的角就是二面角的平面角.
这种方法就是要分别过两个半平面内的点(两点在棱上时可以重合)作与棱垂直的向量,这两个向量所成的角就是二面角的平面角.现举例说明应用.
例1(2013年山东理科)如图所示,在三棱锥P-ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH.
(Ⅰ)求证:AB//GH;
(Ⅱ)求二面角D-GH-E的余弦值. 解(Ⅰ)证明:因为D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,所以EF∥AB,DC∥AB,所以EF∥DC,
又EF平面PCD,DC平面PCD,所以EF∥平面PCD.
又EF平面EFQ,平面EFQ平面PCDGH,
所以EF∥GH,又EF∥AB,所以AB∥GH.
(Ⅱ)在△ABQ中,AQ2BD,ADDQ,, 所以ABQ
2
,又PB平面ABQ,所以BA,BQ,BP两两垂直,
以B为坐标原点,分别以BA,BQ,BP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设BABQBP2,则F(0,0,1),C(0,1,0).
由(Ⅰ)知AB平面PBQ,因AB∥GH,所以GH平面PBQ,所以
CHF就是
二面角D-GH-E的平面角,设CHF.
zy
1,直线FQ的方程为z1,222222112
解得yz,即H(0,,).HF(0,,),HC(0,,),则
3333333
22
HFHC4
cos.
5|HF||HC|
94
即二面角D-GH-E的余弦值.
5
在直角坐标系yBz中,直线PC的方程为y
本例正好作出二面角的平面角,相比较求两个平面法向量的方法要简单的多.
BC2AD,例2 (2013年大纲版理)如图,四棱锥PABCD中,ABCBAD90,PAB与PAD都是等边三角形.
(I)证明:PBCD;(II)求二面角APDC的大小.
解连BD,取BD中点O,连AO并延长交BC于E,则ABED是
正方形.因PB=PD,所以POBD,同理,POAE,所以PO平面ABED.
以O为原点,以OE,OB,OP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设AB
2,则A(
,D(0,PC
,
B.
(I)
因CD(PB,所以CDPB0,所以PBCD.
FPD(II)设PD中点F,则A
,
且F(0,
,22
AF.
22
设G(x,y,z)为PD上一点,设PGPD,
则(xyz,,即x0,y,z.
0(,2,,
令CGPD,则CG与AF所成的角就是二面角APDC的平面角,设为.
因CG(),PD,由CGPD0解得
CGAF
1.CG(AF,
,cos22|CG||AF|
即二面角APD
C的大小为arccos
3
注 本题要设PD上一点G,使CGPD,在实际解题时,并不要在图形中画出G.
确定G(x,y,z)还可以用三点共线的充要条件来求.设CGCP(1)CD,即
CG((1)(().
又PD(0,,
由CGPD(22,得2)
0,所以CG(.
比较而言,这种方法计算量可能会小一点.
例3 (2013年四川理)如图,在三棱柱ABCA1B1C中,侧棱AA1底面ABC,
ABAC2AA1,BAC120,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD的中
点.
(Ⅰ)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l平面ADD1A1;
(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l交AB于点M,交AC于点N,求二面角AAMN的余弦值. 1
解
1
外,BC在平如图,在平面ABC内,过点P做直线l//BC,因为l在平面ABC1
面ABC内,由直线与平面平行的判定定理可知, l//平面ABC. 11
由已知,ABAC,D是BC的中点,所以,BCAD,则直线lAD.
因为AA1A1内,且AD1平面ABC,所以AA1直线l.又因为AD,AA1在平面ADD与AA1相交,所以直线l平面ADD1A1.
设AA11.如图,过A1作A1E平行于B1C1,以A1为坐标原点,分别以AE1,AD11,
A1A的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系A1xyz.
P为AD的中点,所以则A10,0,0,A0,0,1.因为
M,N
分别为
A,BA的C中
点,
故
111
M2,1,N2,1,所
以A1M2,1,
A1A0,0,1,NM
.
1
设E(x,y,z)为A1M上一点,设AE,(x,y,z)AM112,1,
即
x
111
,
,y,z
,NE,122222
133111
由NEA1M得,. ,1,10NE28,4422
设A1M中点为F,因AA,所以AF与NE所成的角就是1AM,所以AFAM1
二面角AAMN的平面角,设为.
1
1111AFNE. 因F,
所以AF,
所以cos,,4242|AF||NE|
二面角AAM
N1
3
. , 2
第中,如果F不是A1M中点,可设F(x,y,z),由求E
坐标的方法知x
1
,z,也就是说,此时E,F的坐标是共用的,再由AEAM,AFAM分112
别求出的值,这样计算量就会小一些. y
总之,本文介绍的方法既不用判断是锐二面角,也不用判断是钝二面角,且计算量也不超过求两个平面法向量的方法,读者不妨一试.
参考文献
文卫星.挑战高考数学压轴题,华东师大出版社,2013.8 .
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作者简介:文卫星,上海市特级教师,发表文章280多篇,出版专著《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》(2009年上海社科院出版社)、《文卫星数学课赏析》(2012年华东师大出版社)等6本。