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用矩阵的初等变换求逆矩阵

11-08

用矩阵的初等变换求逆矩阵

一、问题提出

1*

在前面我们以学习了用公式 A  A 求逆矩阵，但当矩阵A的阶数较大时，求

A

A*单的方法呢？

二、求逆矩阵方法的推导

三、我们已学习了矩阵初等变换的性质，如

1.定理2.4 对mxn矩阵A，施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。 2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。

3.定理2.5的推论 A可逆的充要条件为A可表为若干初等矩阵之积。即

PsP2P1AQ1Q2QtE

111111111P2Ps1PsEQtQt1Q2Q1R1R2Rm AP

4.推论 A可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。 111

RmR2R1AE

1111 R m R 2 R 1  A （1）

由矩阵初等变换的这些性质可知，若A可逆，构造分块矩阵(A︱E)，其中E为与A同阶的单位矩阵，那么

1111AAEAAAEEA （2）

111

由（1）式 A  R m R 2 1 R 1 代入（2）式左边，  1111

RRRAEEAm21

上式说明分块矩阵(A︱E)经过初等行变换，原来A的位置变换为单位阵E，原来E的位置





变换为我们所要求的A,即

AEn2n

三，讲解例题

1. 求逆矩阵方法的应用之一 例

112

1

设A120,求A。

113

112100



（AE）120010解： 

113001 

1



EA1

n2n

110302030312

001101

0

0

112100r2r1032110r3r1

0011011

r31103023

1

0111



1

r2r13

r22r3

22 r1r21001 0101A1 010011101 



四，知识拓展

2．求逆矩阵方法的应用之二

利用矩阵的初等行变换也可以判断一个矩阵是否可逆，即分块矩阵(A︱E)经过初等行变换，原来A的位置不能变换为单位阵E，那么A不可逆。

1212

例 

2145,求A1。 设A

4121

1111 

解：

1212100012121000

2[1**********]2100 （AE）

4121001009694010

11110001 01231001

12121000 

00001103 09694010

01231001 

而上面分块矩阵的第一块第二行全为零，它不可能变换为单位矩阵，所以A不可逆。

3．求逆矩阵方法的应用之三 利用矩阵初等行变换解矩阵方程

对一般的矩阵方程 AX  B 求解，我们可以先求A ，然后求X＝AB。 现在我们介绍另外一种方法求矩阵方程。

其实在推导求逆矩阵方法的过程就是求解矩阵方程的过程，因为求A就是求解矩阵方

1

1

1

B 只要将 A程 AX  E 的解，而对一般的矩阵方程 AX  E 中的E换成B，然后利用初等行变换，即

ABn2nEA1B n2n







其中的AB即为所求矩阵方程 AX  B 的X。

1

例

123251232510214

解： AB）（221310251902519

3434302621200113

12325

设A221，B31，若AXB，求X。

34343

 100320204610030102 001130011

五、小结

1.矩阵初等行变换：求逆、判断矩阵是否可逆、

2.思考：若XA=B，如何用初等变换法求X?

2

33XA1B231解矩阵方程 233




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