第5讲 图形的分割
第5讲 图形的分割
【专题精华】
在研究用直线、圆等图形分割平面时,我们一般从简单的情况入手分析。在研究怎样将一个图形分割成满足某种条件的若干块的问题时,要注意到图形的对称性。
【教材深化】
[题1] 5条直线最多将平面分成多少个部分?
首先考虑5条直线不太简单,我们先研究一些简单的情况,不难知道: 一条直线最多将平面分为2个部分;
二条直线最多将平面分为4个部分;
三条直线最多将平面分为7个部分;
四条直线最多将平面分为11个部分;
五条直线最多将平面分为16个部分。
5条直线最多将平面分成16个部分。
针对上面一组数据,我们不难发现二条直线分平面的4部分是在一条直线分平面的2部分的基础上增添了2部分;三条直线分平面的7部分恰好是在二条直线分平面的4部分的基础上增添了3部分;类似地,四条直线分平面的11部分是在三条直线分平面的7部分的基础上增添了4部分„„仿照此分析法可以得出,n 条直线最多分平面的部分数为:
n +n +2 2+2+3+„„+(n-1)+n=。 2
[能力冲浪]
1、10条直线最多可以把平面分成多少部分?
2、20个三角形最多把平面分成多少部分?
3、在平面内画六条直线和一个圆,最多能把平面分成几个部分?
[题2] 把一个正方形分成形状相同,面积相等的四个图形。
本题是均分图形,答案有多种,既可以用线段分割,也可以用曲线分割,无论是用线段分割,还是用曲线分割,经过旋转,每一种又可以得到很多种分法。
1、分割线是线段的
2
⑧
2、分割线是曲线的。
⑨ ⑩
3、如果选择其中一种,把它的分割线想象成风车的叶轮,让它们旋转起来,还可以得到更多的方法。如:旋转图⑤可得到下面的图。
如:旋转图⑨,可得到下面的图
像这类题目,可以凭直觉,先找出部分分法,然后借出想象,“旋”出无数分法。
[能力冲浪]
1、将如下图所示的三角形,分成面积相等的4块,你有几种分法?请把各种分法画A 出来(每种不同的分法思路,用一个图表示)。
C
2、请在下图中画出三条线段,将等腰梯形分成四个面积相等,形状相同的图形。
3、将一个边长为6厘米的正方形分成面积相等的6块,要求每一块都通过正方形的中心。(画出示意图)。
【生活数学】
[题3] 智力卡片上有一幅点子图,如下图的20个点,每相邻三点“∴”或“∵”所成三角形都是等边三角形,面积是1平方厘米,试求三角形ABC 的面积。
所有这些小等边三角形的边组成了“格线”,沿某些格线把三角形ABC 分割开,如图中把三角形ABC 分割成三角形ABR 、BCQ 、CAP 及PQR 。
把三角形ABR 补成平行四边形ARBD ,把三角形BCQ 补成平行四边形BQCE ,把三角形CAP 补成平行四边形APCF ,由于这三个平行四边形的边都是格线,从而它们的面积数都是整数。
平行四边形ARBD 含有四个小等边三角形,故它的面积是4平方厘米,于是三角形ABR 的面积=4÷2=2(平方厘米)。
平行四边形BQCE 含有8个小等边三角形,故它的面积是8平方厘米,于是三角形BCQ 的面积=8÷2=4(平方厘米)。
平行四边形APCF 含有6个小等边三角形,故它的面积是6平方厘米,于是三角形ACP 的面积=6÷2=3(平方厘米)。
三角形PQR 的面积是1。
三角形ABC 的面积=1+2+3+4=10(平方厘米)。
这些点子常常称为“格点”,以格点为顶点连成的三角形、四边形„„就称为格点三角形,格点四边形„„在求格点多边形面积时,常常利用“格线”把图形分割成若干块,分别求出每一块的面积,最后再求各块面积的和。
[能力冲浪]
1、计算下面三角形格点中的四边形的面积(其中相邻三点所围成的等边三角形的面积为1)。
2、计算下面三角形格点多边形的面积。(相邻三点所围成的等边三角形的面积为1)
3、求图中阴影部分图形的面积。(相邻三点所围成的三角形的面积为1)
[题4] 现有一张5厘米长,1厘米宽的长方形纸片,请你将它分成5块,使它能拼成一个正方形。
S 长=5平方厘米,则S 正=5平方厘米,即拼成的正方形边长的平方为5,
5,故可将长方形按此思路去分割。 先将长方形的长分割成2厘米、1厘米、2厘米
1厘米
再如下图所示去拼:
这道题分割以后,还需拼接图形。可先找出拼好后的图形的特征,再思考如何分割。
[能力冲浪]
10 5 7 10 4 2
2、把下图切割后拼成一个正方形,先画出切割示意图,再画出新拼成的正方形示意图。
A
3、将下图切成三块,拼成一个正方形。
【感受奥赛】
[题5] 有一位老人有一块正方形的土地,在土地上,他种下了四棵树,排成一排(如图),老人有四个儿子,老人在临终前对四个儿子说:“我死后,你们可以把这块地分成形状大小完全相同的四块,每人分一块土地耕种,但是这四棵树是我亲手种的,你们必须每人分一棵,而且这四棵树既不准砍掉也不准移走。”你知道四个儿子应该怎么做吗?
观察4棵树的位置,我们将大正方形分成64个(8行8列)相等的小正方形,那么四棵树分别在四个小正方形内,可以考虑把64个正方形,在每人分一个栽了树的小正方形的前提下进行分割。
最外圈共有28个小正方形,平均每人分7个,最外圈分成1×7的四个小长条,每人得一条。
第2圈共有20个小正方形,平均每人分5个,把这圈分成1×5的四个长条,每人又各分得一条。
第3圈共有12个小正方形,平均每人分得3个,各得一个1×3的长条,第4圈的4个小正方形则每人各得1个。
于是每人都分得了16个小正方形,每人的土地连成一片,且四人分得的土地形状也完全相同,而且每人都分得了一棵树。
图形按某种要求进行切拼时,有时候要经过认真计算才行。
[能力冲浪]
1、图中有四个圆圈,试把方格图案分成大小、形状完全相同的非正方形图形,且使每一部分都有一个圆圈。
2、如图,将图形分成大小、形状相同的三块,并且每块带一个☆。
☆
☆
☆
3、一块地上种植了4棵大樟树,如图中“◎”所示,房地产商要在如图的这块地上造4幢别墅,要求大小、形状都相同,并且每幢别墅里都要有一棵大樟树,请你帮助划分。
◎
◎◎
◎
5、图形的分割提高篇
1、60条直线最多可以把平面分成多少个部分?
2、将一个边长为10厘米的正方形分成面积相等的5块,要求使每一块都通过正方形中心?
3、一个正方形可以剪成4个正方形,一个正方形能否剪成11个正方形(大小不一定相同),如果能,应如何剪?
4、有一块剩余的方格布料(如图),有两个缺角。请你把它剪成两块,然后拼成一个正方形。
5、张阿姨家搬新居,她想把一块长4.8米,宽3米的长方形地毯,放到一个长4米,宽3.6米的房间中,为使铺设美观,地毯需要剪成形状、大小都相同的两块,你能帮帮张阿姨吗?
6、有一块梯形田地,形状如图,已知BC=2CD,试将它分割成大小相等、形状相同
的四块。
B
7、怎样把图中的正方形分成形状相同的四块,使每块恰好有奥林匹克四个字? 匹奥克林
林林匹克
克匹匹奥
奥奥克林
8、将下图中的正方形分割成形状和大小一样的四块,并且每一块恰好都有1、2、3、4四个数字。
2 1 1 1 2 4 4 1 3 3 3 3 4 4 2 2
9、村里一片土地上有3棵树和4口井,如图,用▲表示树,用○表示井)。
(1)要将这片土地分成形状大小相同的三片,让三户承包经营,每片都有一棵树,该怎么分?
(2)若分成形状大小相同的四片,让四户承包经营,要求每片有一口井,又该怎么办?
10、王老汉别无财产,只有一块薄田,临终前想把它均匀地(面积相等)分给两个儿子要求只能在中间筑一道直直的田埂。(2005年仙桃实验初中理科班招生试题)
(1)请你在下图中直接画出分割线表示你设计的方案,并加以必要的文字说明。
(2)按你设计的方案,哪块地的周长较长些?