高中数学知识点总结(集合,不等式,函数))

上海教材高中数学知识点总结

一、集合与常用逻辑

1．集合概念 元素：互异性、无序性 2．集合运算 全集U：如U=R 交集：AB{xxA且xB} 并集：AB{xxA或xB} 补集：CUA{xxU且xA} 3．集合关系 空集

A

子集AB:任意xA

xB

ABAAB

ABBAB

注：数形结合---文氏图、数轴 4．四种命题

原命题：若p则q 逆命题：若q则p 否命题：若p则q 逆否命题：若q则p 原命题逆否命题 否命题逆命题

5．充分必要条件

p是q的充分条件：Pq p是q的必要条件：Pq p是q的充要条件：p⇔q 6．复合命题的真值

①q真（假）⇔“q”假（真） ②p、q同真⇔“p∧q”真 ③p、q都假⇔“p∨q”假 7.全称命题、存在性命题的否定 M, p(x）否定为: M, p(X) M, p(x）否定为: M, p(X)

二、不等式

1．一元二次不等式解法

若a0，ax2

bxc0有两实根,()，则

ax2bxc0解集(,)

ax2bxc0解集(,)(,)

注：若a0，转化为a0情况 2．其它不等式解法—转化

xaaxax2a2

xaxa或xax2a2 f(x)

g(x)

0f(x)g(x)0 af(x)ag(x)f(x)g(x)（a1）

logg(x)f(x)0

af(x)loga

（0a1） f(x)g(x)

3．基本不等式 ①a2

b2

2ab ②若a,bR

，则

ab

2

ab 注：用均值不等式ab2ab、ab(ab2

2

) 求最值条件是“一正二定三相等”

三、函数概念与性质

1．奇偶性

f(x)偶函数f(x)f(x)f(x)图象关于y轴对称 f(x)奇函数f(x)f(x)f(x)图象关于原点对称 注：①f(x)有奇偶性定义域关于原点对称

②f(x)奇函数,在x=0有定义f(0)=0 ③“奇+奇=奇”（公共定义域内） 2．单调性

f(x)增函数：x1＜x2f(x1)＜f(x2)

或x1＞x2f(x1) ＞f(x2)

或

f(x1)f(x2)

x0

1x2

f(x)减函数：？

注：①判断单调性必须考虑定义域

②f(x)单调性判断

定义法、图象法、性质法“增+增=增” ③奇函数在对称区间上单调性相同 偶函数在对称区间上单调性相反 3．周期性

T是f(x)周期f(xT)f(x)恒成立（常数T0）

4．二次函数

解析式： f(x)=ax2+bx+c，f(x)=a(x-h)2

+k f(x)=a(x-x1)(x-x2)

对称轴：xb

b4acb22a 顶点：(

2a,4a

) 单调性：a>0，(,

b

2a

]递减，[b2a,)递增 当xb2a，f(x)4acb2

min4a

奇偶性：f(x)=ax2

+bx+c是偶函数b=0

闭区间上最值：

配方法、图象法、讨论法--- 注意对称轴与区间的位置关系

注：一次函数f(x)=ax+b奇函数b=0

四、基本初等函数

n

1．指数式 a0

1(a0) a

n

1

a

n aman 2．对数式 loga

NbabN（a>0,a≠1）

logaMNlogaMlogaN

logMaN

logaMlogaN

lognaMnlogaM

loglogmblgb

abloglga

ma lognablogan

b1log b

a

注：性质logaNa10 loga

a1 alogN

常用对数lgNlog10N，lg2lg51 自然对数lnNlogeN，lne1 3．指数与对数函数 y=ax

与y=logax

定义域、值域、过定点、单调性？

注：y=ax

与y=logax图象关于y=x对称（互为反函数） 14．幂函数 yx2

,yx3

,yx2

,yx1

yx在第一象限图象如下：

五、函数图像与方程

1．描点法

函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调） 取特殊点如零点、最值点等 2．图象变换 平移：“左加右减，上正下负”

yf(x)yf(xh)

伸缩：yf(x)每一点的横坐标变为原来的

倍

yf(1



x)

对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”

yf(x)x轴

yf(x)yf(x)y轴yf(x)

yf(x)原点yf(x)

注：

yf(x)

直线xa

yf(2ax)

翻折：yf(x)y|f(x)|保留x轴上方部分，

并将下方部分沿x轴翻折到上方

yf(x)yf(|x|)保留y轴右边部分，

并将右边部分沿y轴翻折到左边

3．零点定理

若f(a)f(b)0，则yf(x)在(a,b)内有零点 （条件：f(x)在[a,b]上图象连续不间断）

注：①

f(x)零点：f(x)0的实根

②在[a,b]上连续的单调函数f(x)，f(a)f(b)0 则f(x)在(a,b)上有且仅有一个零点 ③二分法判断函数零点---f(a)f(b)0？

六、三角函数

1．概念 第二象限角(2k

2

,2k)(kZ)

2．弧长 l

r 扇形面积S1

2

lr

3．定义 sin

yr cosxyr tanx

其中P(x,y)是终边上一点，POr

4．符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦” 5．诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”

如Sin(2)sin，cos(/2)sin

6．特殊角的三角函数值

7．同角sin2cos2

1

sin

cos

tan 和差sinsincoscossin

coscoscossin

sin

tan

tantan

1tantan

倍角 sin22sincos

cos2cos2sin22cos2112sin2 tan2

2tan

1tan2



降幂cos2

α=

1cos212 sin2

α=cos22

叠加 sincos

2sin(

4)

3sincos2sin(

6

)

asinbcosa2b2sin() (tana

b

)

8．三角函数的图象性质

单调性： (,)增 (0,)减 (,2222

)增

注：kZ 9．解三角形

基本关系：sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC tan(A+B)=-tanC sin

AB2cosC

2

正弦定理：

abc

sinA=sinB=sinC

a2RsinA a:b:csinA:sinB:sinC

余弦定理：a2=b2+c2－2bccosA（求边）

cosA=b2 c2a2

2bc

（求角）

面积公式：S△＝

1

2

absinC 注：ABC中，A+B+C=？ ABsinAsinB

a2＞b2+c2 ⇔ ∠A＞2