拉普拉斯变换部分作业
拉普拉斯变换部分作业
1、求下列函数的拉普拉斯变换的象函数
（1）e -5t sin 4t （2）t (cos ωt +sin ωt )
（3）⎰t (cos 4t +sin 3t )dt （4）⎰e -2t cos 3t +e -4t t 3d t 00t t ()
sin t e bt -e at
（5） a ，b 为实常数 （6） t t
答案：（1）4
p +52+16
⎡12p 2+2p ω⎤（2）-⎢2 -2222⎥p +ωp +ω⎣⎦1⎡12p 26p ++（3）⎢-222p ⎢p +16p +16p 2+9⎣4⎤ 2⎥⎥⎦（4）p p +2+92p +2+6
p p +4
（5）ln
（6）p -a p -b -arctan p 2
2、求下列拉普拉斯变换象函数的原函数 π
（1）1
p -2p -32 （2）p p -2p -32
（3）p +8p （4）p 2+4p +5p 2+a 22a >0 答案：（1）-e 2t -te 2t +e 3t
（2）-3e 2t -2te 2t +3e 3t
（3）37e -2t cos [t +arctan (-6)]
1t sin at 2a
3、解下列常微分方程 （4）
d 2y (t )3t ()-y t -1-e =02dt （1） dy 1y (0)=0=t =0dt 2
d 3y (t )d 2y (t )dy (t )-t ()+3+3+y t =6e dt dt 3dt 2
（2） 2dy d y y (0)==2=0dt t =0dt t =0
d 2y (t )dy (t )2t ()-2+y t =t e 2dt dt （3） dy y (0)==0dt t =0
71答案：（1）y (t )=-1+e -t +e 3t 88
（2）y (t )=t 3e -t
（3）y (t )=14t t e 12
4、求解下列微分方程组
⎧dx (t )-t ()()+5x t +2y t =e ⎪⎪dt （1）⎨
⎪dy (t )+2x (t )+2y (t )=0⎪⎩dt
（2）x (0)=y (0)=1⎧d 2z (t )-z (t )=0⎪x (t )+y (t )+2dt ⎪⎪d 2x (t )-x (t )+y (t )+z (t )=0⎨2dt ⎪⎪d 2y (t )-y (t )+z (t )=0⎪x (t )+2dt ⎩z (0)=0
dx (t )dy (t )dz (t )===0dt t =0dt t =0dt t =0
4-t 1-t 4-6t e +te -e 25525答案：（1） 2-t 2-t 2-6t y (t )=e -te -e 25525x (t )=
12x (t )=ch 2t +cos t 33
12（2） y (t )=ch 2t +cos t 33
22z (t )=-ch 2t +cos t 33)))