06-L.01 集合与元素
2017-11-19
•集合
−集合是由一些可相互区分的客观对象汇集在一起构成的一个整体。这些对象称为构成集合的元素。
−可选择的理解是：“将具有某种特征或满足一定性质的所有对象或事物视为一个整体时，这一整体就称为集合，而这些事物或对象就称为属于该集合的元素。”
−说明
»集合是一个描述性的原始概念
»对象是广义的，无性质、数量上的限制
»对象之间无必然联系，只需满足可区分性
–例1：这个人名叫张三，外号大牛，是个好人。–例2：那个人名叫李四，外号大牛，是个坏人。
–例3：用 a 表示“这个人”，用 x 或 y 表示“集合的某一个对象”。x =y 指出代数符号 x 和 y 描述的是同一个本体对象， x =a 更明确指明代数符号 x 描述的就是本体对象 a 。
»对象之间是无序的
»外延性原则：一个集合仅由组成它的元素所确定•成员关系
−构成集合的元素与该集合之间的关系。
−若 a 是构成集合 A 的元素之一，可记为 a ∈A ，否则记为 a ∉A 。−集合 A 确定之后，对任意事物 a ，a ∈A 或 a ∉A 两者必居其一。•集合的表示法
−外延原则：列举法和部分列举法
»列举法：将集合含有的全部元素罗列出来，写在一对大括号里面»例1：由 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 十个数字构成的集合写成 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
»例2：由 a, e, i, o, u 五个英语元音字母构成的集合 {a, e, i, o, u}»部分列举法：如果集合含有的部分元素足以说明构成集合的抽象原则，则把这部分元素罗列出来，加上省略号，写在一对大括号里面»例2：偶数集合可以写成 {0, 2, 4, 6, 8, 10, … }»例3：素数集合可以写成 {1, 3, 5, 7, 11, 13, … }
» 例4：小于100的自然数集合 {0, 1, 2, 3, 4, …, 99}
» 例5：集合 {0, ‐1, 1, ‐2, 2, ‐3, 3, ‐4, 4, … }
− 抽象原则：命题/谓词刻划法 {x |P (x )}
» 使用谓词合式公式描述对个体变量或变量组的约束，论域中符合约束条件的全部个体构成集合。
» 例6：用 N 表示所有自然数集合，完全平方数集合可写成 {x |x = n 2, n ∈N } » 例7：偶数集合可以写成 {x |x = 2n , n ∈N }
» 例8：正有理数集合 {x |x = p /q , p ∈N, q ∈N , q ≠0 }
− 归纳法（基本项+归纳项+极小化）
» 例9：设 N 是所有自然数的集合，A k 表示一个能被自然数 k 整除的自然数集合。如下对 A k 作归纳表示：
(1) 0∈A k ；
(2) 若 n ∈A k 则 (n +k ) ∈A k ，这里 n ∈N ；
(3) A k 只含有符合(1)(2)约定的元素。
• 一些常用的集合
− 自然数集合 N = {0, 1, 2, 3, …}
− 整数集合 Z = {…, ‐2, ‐1, 0, 1, 2, …}
− 正整数集合 Z + = {1, 2, 3, …}
− 有理数集合 Q = {p /q |p ∈Z , q ∈Z , q ≠ 0}
− 正有理数集合 Q +
− 实数集合 R
• 一些与集合有关的概念
− 基数 (阶)
» 集合 A 中元素的个数，记为 |A| 或 n(A) 或 Card(A)
− 空集 ∅ 与完全集合 E
» 空集 ∅ 中没有元素存在，即 |∅|=0。
» 空集 ∅ 也可以写成 {}。
» 空集 ∅ 可以通过构造得到，例：{x |x 2=‐1, x ∈R }
» 论域的全部对象构成完全集 E
− 有限集合
» 基数是一个自然数的集合称为有限集或有穷集。
– 有限集合 A ，|A|=n，这里 n ∈N 。
» 例1：由 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 十个数字构成的集合写成 A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ，|A|=10。
» 例2：由 a, e, i, o, u 五个英语元音字母构成的集合 写成 B = {a, e, i, o, u} ，|B|=5。
» 例4：小于100的自然数集合 |{x |x
− 无限集合
» 非有限集合称为无限集或无穷集。
– 例10：自然数集 N 是一个无限集，基数为ℵ0
» 可数无穷集：集合元素可与自然数集 N （或者正整数集 Z +）中元素建立一一对应关系的无穷集合，它们的基数都为 ℵ0 。
– 例11：自然数集 N 本身是一个可数无穷集合
– 例12：有理数集 Q 是一个可数无穷集合
– 例13：正有理数集 Q+ = {p/q|p∈Z+, q ∈Z+ } 是一个无限可数集合
对角线走法
» 不可数无穷集：非可数无穷集合称为不可数无穷集。
– 例14：实数集 R 是一个不可数无穷集，其基数记为 ℵ1
» 证明：实数集 R 是一个无限不可数集合。
– 假设实数集 R 是可数的，则连续区间 (0, 1) 作为其子集也是可数的。即可以给区间 (0, 1) 内的元素顺序编号成 r 1, r 2, …, r k , … 。设 d ij ∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，则有：
r 1=0.d11d 12d 13d 14...
r 2=0.d21d 22d 23d 24... r 3=0.d31d 32d 33d 34...
#
– 构造一个新的实数 r = 0.d 1d 2d 3d 4…
r 1=0.d 11d 12d 13d 14...
r 2=0.d21d 22d 23d 24... ⎧4r 3=0.d31d 32d 33d 34... d i =⎨⎩5r 4=0.d41d 42d 43d 44...
#if d ii ≠4 if d ii =4
– 如对应于
r 1=0.23794102...
r 2=0.44590138...
r 3=0.09118764...
r 4=0.80553900...
#
构造 r = 0.2415… ，其第 i 个小数位与 r i 的不同，故 r ≠ r i (i=1,2,3,…)，r 没有被列出，矛盾。
» 例15：实数轴上的连续区间 (0, 1) 是一个无限不可数集合，基数与 R 相同，也是 ℵ1 。
– 证：
– 函数 f (x) = (x – 1/2)π 建立了(0, 1) 和 (–π/2, π/2) 两个连续区间之间的一一对应关系。
– 函数 g (x ) = tan(x ) 建立了(–π/2, π/2) 和 R 之间的一一对应关系。所以 |(0, 1)| = |R| = ℵ1 。
g (x ) = tan(x ) 建立了(–π/2, π/2) 和 R 之间的一一对应关系
下一单元内容提示
− 集合的蕴含和等值