向量与三角形的心
02-15
如何利用向量的几何表示三角形的各种心
向量的几何表示是高考的热点问题,特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材,常见的结论如下:
① 重心:PG =(PA +PB +PC ) ⇔G 为∆ABC 的重心, 3
特别地PA +PB +PC =0⇔P 为∆ABC 的重心λ(AB +AC ), λ∈[0,+∞) 是BC 边上的中线AD 上的任意向量,过重心;
AD =1AB +AC ,则AD 是∆ABC 中BC 边的中线. 2()
② 垂心:PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ⇔P 为∆ABC 的垂心;λ(AB AC +) λ∈[0,+∞) 是△ABC 的边BC 的高AD 上的任意向量,过垂心. |AB |cos B |AC |cos C
③内心:|AB |PC +|BC |PA +|CA |PB =0⇔P 为∆ABC 的内心;向量λ(AB +AC )(λ≠0) 所在直|AB ||AC |
线过∆ABC 的内心(是∠BAC 的角平分线所在直线).
④外心:(OA +OB ) ⋅AB =(OB +OC ) ⋅BC =(OC +OA ) ⋅CA =0 ⇔OA =OB =OC ⇔OA 2=OB 2=OC 2⇔O 为∆ABC 的外心.