综合与实践教学内容分析与教学建议
★ 《初中数学课程标准与教学实施》专题内容之二
综合与实践教学内容分析及其教学建议
对于“综合与实践”，有些教师认为这一部分没有新增数学知识，设置这一部分纯属多余；有些教师认为这一部分教学活动要求每学期至少一次，次数有些偏少，对能否达到预期的教学目标持有怀疑的态度；有些教师对于这一部分究竟应该采取什么教学方式心中没底，感觉比较茫然。无疑，这些认识与困惑会影响综合与实践的教学实施效果，进而影响综合与实践课程目标的实现。目前教师比较关注的问题有如下几个：
◆什么是综合与实践？它有哪些具体的教学要求？
◆为什么要在数与代数、图形与几何、统计与概率之外设计综合与实践？它的教育价值有哪些具体的体现？
◆为了更好地帮助教师有效实施综合与实践的教学，能否提出一些好的建议供教师在教学时借鉴参考？
◆能否提供一些具体案例，以帮助教师对综合与实践的教学有一个直观地感知与认识？
关于“综合与实践”内容，以往教师对这部分内容的教学也很困惑，主要表现在以下几个方面：不清楚到底什么是综合实践，综合实践教学与其他三个学习领域有哪些区别，教学时的侧重点到底放在哪里，如何在课堂教学中有效完成等等。另外，教师普遍认为其教学过程的设计比较难，可借鉴的典型案例也很少，很难设计出可操作性强、
实效性明显的综合实践课。当然，这些可能也直接导致教师对综合实践课普遍不重视，致使综合与实践内容在某种意义上说形同虚设。
“综合与实践”内容的教学对教师确实是一个挑战。问题是“综合与实践”的内容主体，首先教师面临的最大挑战就是问题的设计与选择。因为学生的数学学习活动是“综合与实践”的主线，要使学生能充分地、自主地参与“综合与实践”活动，设计和选择恰当的问题是关键。教材上也设计了一些问题，但这还不够，教师应该发挥教研组的功能，集体讨论开发设计一些好的问题，另外开发出的问题共享也是一种比较便利的途径。当然，如果条件允许，也可以让学生自己选择一些好的综合与实践问题。只要有了足够多的综合与实践问题，在教学时就不会苦于没有问题而影响综合与实践的实施效果。
首先，我觉得老师必须明确综合与实践的含义，综合与实践不是指某一部分具体的知识，它主要是运用数与代数、图形与几何、统计与概率的知识解决问题。所以，问题是“综合与实践”的内容主体，它是教师通过问题引领、学生全程参与、实践过程相对完整的一种数学学习活动。我们知道，积累数学活动经验、培养学生应用意识和创新意识是数学课程的重要目标，应贯穿于整个数学课程实施之中。“综合与实践”是实现这些目标的重要的载体，是实现这些目标的有效途径。“综合与实践”的教学必须关注以下两点：重在实践、贵在综合。
我们先来看一下课程标准对综合与实践是怎样界定的：“综合与实践”是一类以问题为载体、师生共同参与的学习活动，是帮助学生积累数学活动经验、培养学生应用意识与创新意识的重要途径。针对
问题情境，学生综合所学的知识和生活经验，独立思考或与他人合作，经历发现和提出问题、分析和解决问题的全过程，感悟数学各部分内容之间、数学与生活实际之间、数学与其他学科之间的联系，加深对所学数学知识的理解。
这段论述实际上传达了以下三个方面的信息：
◆综合与实践没有新知识的学习，主要是以问题解决活动为载体，综合运用数与代数、图形与几何、统计与概率的知识解决问题。
◆对综合与实践的学习方式提出了明确要求：师生必须共同参与，尤其对学生的学习提出了以下具体要求：独立思考或与他人合作，经历发现和提出问题、分析和解决问题的过程。从中可以看出，综合与实践特别强调过程性的目标，强调过程性的体验。
◆综合与实践的课程目标:积累数学活动经验，培养学生的应用意识与创新意识，感悟数学的广泛的联系性，加深对数学知识的理解，促进对数学知识的掌握。
对于如何开展综合与实践的教学，课程标准对综合与实践的教学明确提出了以下三个要求：
◆通过对有关问题的探讨，了解所学过的数与代数、图形与几何、统计与概率知识之间的联系性，加深对有关知识的认识与理解。
◆进一步经历发现问题和提出问题的过程，并在这一过程中积累一定的数学活动经验。
◆结合实际背景，在给定目标下，自行设计解决问题的策略和方案，进一步体验分析问题和解决问题的过程，发展应用意识，形成应
用能力。
正是因为综合与实践不涉及新的知识，而主要在于综合运用已经学过的数与代数、图形与几何、统计与概率的知识解决问题，是不是其中预示着综合与实践有其重要的、丰富的教育价值，而这些教育价值可能是数与代数、图形与几何、统计与概率任何一个知识领域都难以实现的，否则是否就没有设置综合与实践学习领域的必要了，这个道理其实很容易就想清楚乐。通过有关文献梳理，我将这些教育价值简要概括如下：
◆加深数学内容理解。
通过综合与实践活动可以促进学生对数学内容的理解。为了加深对所学知识的理解，可以采取很多的教学方式，其中一种主要的方式就是通过综合运用数学知识解决问题这一活动来加深对所学知识的理解。因为在解决问题的过程中，需要学生不断地从自己的认知结构中激活有关的知识、提取有关的知识，并将不同的知识予以有效组合，这一过程无疑会加快数学知识提取的速度，提高数学知识提取的准度，强化数学知识组合的效度，并建立起不同数学知识之间的纵横联系，而这些都是学生对知识理解加深的基本表现。
综合与实践中的解题活动，实际上是数与代数、图形与几何、统计与概率各个部分解题活动的拓展和延伸，它的要求实际上比后三者的解题要求要高，因为它要求学生综合运用所学的三个领域的知识解决问题，而不是某一个领域的知识解决问题。正是在这样的解题活动中，可以促进学生对所学知识的认识与理解。正如新兵博士刚刚讲到
的，它的这个作用是其他三个领域知识不能相比的。
◆培养数学应用意识。
通过综合与实践活动还可以培养学生的数学应用意识。传统数学课程设计对数学与实际生活的联系注意不够，对数学应用的处理有很强的人为痕迹。综合与实践的一个重要目标是让学生切实体会数学与生活实际的联系。所以，很多综合与实践的问题是有实际生活背景的，这就加强了数学知识与实际生活之间的联系，还能在一定程度上激发学生学习数学的兴趣和求知欲，促使学生树立正确的数学观念。通过运用数学知识分析与解决实际问题这一活动无疑是培养学生数学应用意识的有效途径。
正是以往数学课程设计对数学与实际生活的联系注意不够，对数学应用的处理比较牵强，所以导致学生的数学应用意识比较淡薄，表现为不能有意识地从数学的角度思考问题，不能自觉地运用数学知识解决一些实际问题。
数学应用意识是数学课程标准明确提出的课程目标之一，深入在各个领域内容处理时也考虑了数学应用意识培养的问题，教材在编写时也考虑了这个问题，但通过综合与实践活动，通过综合运用数学知识解决有实际背景的问题无疑是培养学生数学应用意识的一个必不可少的途径，或者说通过综合与实践培养学生的数学应用意识效果可能更加明显。
实际上，学生数学应用意识淡薄也是我国数学教育存在的一个不足，也是为很多研究者广为诟病的一个方面，我相信，通过对在数与
代数、图形与几何、统计与概率中加上一些数学应用意识培养的素材，再加上综合与实践活动的设计与开展，学生的数学应用意识一定会加强。
◆建立数学知识联系。
学生通过综合与实践活动，还可以感受并建立起数学的不同知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系性。以往数学内容在设计时，都是按着自己的学科模块单独设计的，如代数的设计代数的，几何的设计几何的，统计的设计统计的，彼此之间照应不够、联系不多，数学与其他学科的联系、数学与实际生活的联系就更少了。在数与代数、图形与几何、统计与概率的基础上设计综合与实践，可以让学生体验和感悟这些不同知识之间的内在联系，形成对数学的整体认识，而不是相互隔离的知识组块。
另外，也要让学生体会到数学与其他学科的联系，比如，与物理学科的联系，物理学中的很多公式可以从函数的角度去认识，可以让学生更好地把握物理量之间的依赖关系，对有些物理实验得出的数据图像也可以运用数学知识去分析，从数学的角度去解读，这对学生认识和理解数学知识、物理知识都是有好处的。
◆积累数学活动经验。
通过综合与实践活动，也可以使学生积累数学活动经验。综合与实践活动，强调学生综合运用所学的数学知识与方法解决问题，本质上是一种高水平的问题解决的活动。在解决问题过程中，教师应充分尊重学生的自主性，要求学生自主探索，独立思考，要求学生体验与
人合作，学会与人合作。具体来说，学生拿到一个问题，如何分析问题，题目都提供了哪些信息，看到问题之后如何提取自己认知结构中的信息，题目的信息与提取的信息如何交互作用，如何寻求问题解决思路，如何具体实施问题解决思路，能否提供多种问题解决思路，如何与人沟通，如何听取他人意见，如何表达自己意见等，这些经验都应该是在数学活动中积累起来的。
积累数学活动经验是新课程提出的一个新的目标，它对于学生的后继数学学习活动特别重要，学生在碰到一个新的、陌生的问题时，总会调用已有的处理问题的经验来处理，这就是数学活动经验在起作用，由此可见积累数学活动经验对数学学习的重要性。
◆培养数学创新意识。
通过综合与实践活动，还可以培养学生的数学创新意识。近期有研究者认为，创新有不同的层次，对于学生而言，打通不同数学知识之间的联系，建立数学与其他学科之间的联系，沟通数学与实际生活之间的联系，本质上就是一种创新。
另外，在综合与实践活动中，有些问题有不同的解决思路和解决方法，学生可以根据自己的知识基础和思维特征给出相应的解法，当然也应该鼓励学生提供尽可能多的思路和解法，鼓励学生不要满足于找出问题解答，继续寻找更多的解法，继续寻找更简的解法，这些做法都可以有效地培养学生的数学创新意识。
通过以上介绍，我们了解了综合与实践所具有的丰富的教育价值，由此看来，只有在教学中组织好综合与实践的教学，才能从根本
上保证教育价值的有效实现。当然，有些教师可能对如何开展综合与实践的教学仍然存在一定的疑惑，在这里给教师提供一些好的教学建议。
实际上，课程标准已经就综合与实践的教学提出了一些建议：（1）综合与实践的教学活动应当保证每学期至少一次，可以在课堂上完成，也可以课内外相结合。（2）每一册教材至少应当设计一个适用于“综合与实践”学习活动的题材，这样的题材可以以“长作业”的形式出现，将课堂内的数学活动延伸到课堂外，经历收集数据、查阅资料、独立思考、合作交流、实践检验、推理论证等多种形式的活动。
这些建议都是原则性的建议，可能显得有些抽象，教师理解起来也有一些困难，在教学实践中可能也不容易把握，能否提出一些具体性的建议？
◆关注学生主体地位。
第一个建议是关注学生主体地位。综合与实践的活动过程包括确定具体活动内容、探索实践、解释讨论、得出结论、陈述交流等环节，在这些环节中，教师应给学生提供一定的探索空间，给学生留下足够的思考时间。
虽然教师确定了具体活动，但最好只停留在推荐的程度，至于选择什么活动、如何实施活动，要让学生自己决定。总之，包括活动内容、活动组织、具体环节都尽可能地发挥学生的主动性和积极性。在综合与实践学习过程中，尽可能让学生自己去做主，尽量发挥学生自己的主动性，教师只是在学生自主活动的基础上进行有针对性的指
导。整个过程最好让学生自己亲自去经历、去体验，这样才会有更大的收获。
◆关注学生学习过程。
第二个建议是关注学生学习过程。前面提及，综合与实践没有新知识的学习，而是综合运用知识去分析问题、解决问题，学生在解决问题中的表现更为重要，或者说，综合与实践更应该关注过程性的目标。
关注过程性的目标主要就是看学生过程表现，比如：看学生是否把握问题本质？看学生是否及时激活有关知识？是否有效调动有关知识？看学生思维反应是否敏捷？看学生探索是否有效？看学生讨论是否积极？看学生表述是否清晰？看学生是否愿意与人合作？所有的这些表现只有在学习的过程中才能展现出来。
◆鼓励学生多维思考。
第三个建议是鼓励学生多维思考。在综合与实践活动中，学生往往会根据自己的知识基础、认知特点、生活经验，对同一个问题产生不同的认识与理解，给出不同的策略和方法。教师首先应当鼓励学生独立思考，并尽可能从不同的角度思考，同时尊重学生思考结果，引导学生对思考的结果进行讨论与交流，在此基础上寻求问题的解决方法，深化对问题的认识，获得对知识的理解，同时培养学生的思维习惯、交流能力和合作意识。
鼓励学生多维思考，也是培养学生创新意识和创新思维的有效途径。另外还有两点，一是学生在讨论与交流时，一定要在深思熟虑的
基础上表达自己的观点，而不是随意表达自己不成熟的想法；二是要求学生学会倾听，而不是急于表达自己的观点，而置别人的观点于不顾，这也是尊重他人的表现。
◆注重过程质性评价。
第四个建议是注重过程质性评价。综合与实践开展的效果是必须要考虑的，也就是对综合与实践的学习的评价。刚才在第二个建议中也间接提到了评价的问题，即一是要强调过程性的评价，二是评价结果应以质性评价为主。具体来说，在评价时，不仅局限于教师对学生的评价，也可以让学生对自己的表现进行评价，还可以让学生对同伴的表现进行评价。
我觉得在评价时应主要关注以下几个方面：能否主动运用数学知识描述、解决实际问题？是否运用了不同的方法？对自己的结果有没有进行有效地反思？是否积极参与小组学习、讨论交流？
刚才提及了综合与实践活动内容选取的问题，我们感觉这是一个比较重要的问题，因为它直接关系着学生在综合与实践中的具体表现，能否提供一些案例作出具体说明？
先举出一个例子进行说明：有一张8cm8cm的正方形的纸片，面积是64cm2。把这张纸片按下面左图所示剪开，把剪出的4个小块按右图所示重新拼合，这样就得到了一个长为13cm，宽为5cm的长方形，面积是65cm2。这可能吗？这个问题一定会引发学生的认知冲突？面积是64cm2的纸片通过重新拼接后怎么会变成面积是65cm2的纸片？进一步一定会激发学生探究其中的原因？而这就将学生引向
了理性思维之路，将学生带入了逻辑推理之路。
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这是一个经验与逻辑不符的例子，是几何直观与严谨推理不符的例子，要让学生应体会到：对于数学结论，完全凭借直观判断是靠不住的，必须要通过演绎推理进行验证。
一般来说，学生是不会相信上面右图中纸片的面积是65cm2的，但又无法说明自己观察的结果是错误的。教师可以引导学生思考：如果观察是错误的，那么错误可能出在哪里呢？学生通过逻辑思考，可以推断只有一个可能：上面拼成的图形不是长方形，因此不能用长方形的面积计算公式来计算面积。然后，可以引导学生思考：为什么不是长方形？怎么证明不是长方形？实际测量图形左上角或者右下角，发现确实不像是直角。可以告诉学生，这个想法是正确的，但最好能够给出证明，引导学生经历一个由合情推理到演绎推理的过程。
当然，对于这个问题可以鼓励学生给出严格证明，在证明过程中加深对相似图形的理解。
教学中还可以鼓励学生运用不同的方法对此
问题进行解释和比较。这一问题解决过程比较好地调动了学生的数与代数、图形与几何的有关知识，促进了学生对有关知识的理解与掌握，同时可以培养学生质疑的意识，说理的意识。
其实，上述案例比较好地体现了“综合”的特性，我们也可以组织学生探讨一些具有认知挑战性的“实践”问题，发展应用数学知识解决问题的意识和能力；同时，进一步加深对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系。例如，如用一张正方形的纸制作一个无盖的长方体，怎样制作才能使得体积较大？
这是一个综合性的问题，学生可能会从以下几个方面进行思考： ①无盖长方体展开后是什么样？
②用一张正方形的纸怎样才能制作一个无盖长方体？基本的操作步骤是什么？
③制成的无盖长方体的体积应当怎样去表达？
④什么情况下无盖长方体的体积会较大？
⑤如果是用一张正方形的纸制作一个有盖的长方体，怎样去制作？制作过程中的主要困难可能是什么？
上述案例就是综合与实践的经典案例，通过这些实践课题的探究与学习，学生进一步丰富了自己的空间观念，体会到函数思想以及符号表示在实际问题中的应用，进而体验从实际问题抽象出数学问题、建立数学模型、综合应用已有的知识解决问题的过程，并从中加深对相关知识的理解、发展自己的思维能力。
综合与实践作为与数与代数、图形与几何、统计与概率并行的一
个学习领域，尤其特有的教育价值，另外由于它主要在于综合运用数学知识解决问题，也标示了它的教学方式与数与代数、图形与几何、统计与概率的教学方式是不同的。今天各位老师围绕综合与实践展开的分析和讨论，对于教师真正领会综合与实践课程设置意图，有效开展综合与实践的课堂教学，一定会有很大的帮助。