三角函数求最值问题
三角函数求最值问题
知识目标：能熟练掌握求三角函数最值的几种类型及方法，进一步深
化求三角函数最值时的一些变换，掌握三角函数有界性在
求三角函数最值时的作用；
能力目标：培养对三角函数基本知识的综合应用能力，培养对换元、
数形结合思想的应用能力，培养独立归纳、思考的自学能
力；
情感目标：在体验教学活动的过程中，激发学习数学知识的积极性，
树立学好数学的信心。
重点：求三角函数最值的几种常见类型
难点：三角知识在求最值时的综合应用
三角函数是高中数学中重要的内容之一，而最值问题的求解是三角函数的重要题型，在近几年的高考题中经常出现，极具灵活性。现举例说明解决这种题型的若干方法，供大家参考。
一：利用三角函数的有界性
例1、函数y =sin x +1的最大值为__________；
变式、函数y =a sin x +1的最大值为____________；
小结：对于“一次类型”可利用正弦函数和余弦函数的有界性求三角函数的最值。
二：利用配方法
例2. 求函数的最值。
解：将函数化为， 配方得
当
当 变式1、求函数y =cos 2x -cos x +2的最小值；
变式2、求函数y =cos 2x -2a cos x -a 的最大值；
变式3、sin 2x +cos x +a =0有实数解，求a 的取值范围；
小结：y =a sin 2x +b cos x +c 型的函数，用角的变换“化二为一”，则问题转化为闭区间上的二次函数的值域问题。
三： 化为一个角的三角函数
例3： 如何求函数y =sin x +cos(x -) 的最大值和最小值？
6π
解：y =sin x +cos x cos +sin x sin 6ππ3π=sin x x =x +) 626
2π(k ∈
Z ) ，y min =． 3当x =2k π+π
3(k ∈
Z ) ，y max x =2k π-
变式1、函数y =sin x +cos x 的最大值为____________；
⎫变式2
、函数f (x ) =2sin 2⎛+x ⎪2x ，求f (x ) 的最大值_____； 4⎝⎭π
小结： y=asinx+bcosx型函数的特点是含有正余弦函数。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种形式的三角函数。 应用公式：asinx+bcosx=a 2+b 2sin(x+φ), （a,b ≠0, 其中tan φ=） 拓展引申： b a
求函数y =sin x -cos x +sin x cos x 的最大值和最小值。
分析：表达式含sinx –cosx 和sinxcosx ，应考虑到其内在关系，考虑用换元法
1-t 2
解：设t =sin x -cos x =2sin(x -) ，则-2≤t ≤2，且s i n x c o s x =。 42π
1-t 21=-(t -1) 2+1，由于y =t +故当t=1时，y max =1；当t =-2时，22
y min =-2-1。 2
sin α-cos α，sin αcos α这三者之间有着相互制约，小结：sin α+cos α，不可
分割的密切联系。sin αcos α是纽带，三者之间知其一，可求其二。若表达式中出现sinx ＋cosx ，sinxcosx 函数，属与
y =sin x ±cos x ±b sin x cos x 型函数；应考虑到其内在关系, 利用换元来求函数最值.
四：利用数形结合
例4. 求函数的最值。 解：原函数可变形为线的斜率，而A 是单位圆这可看作点上的动点。由下图可知，过的直作圆的切线时，斜率有最值。由几何性质，
变式 求函数y =sin α+2
cos α-3的最值。
五. 利用换元法
例5. 求函数的最值。 解：令，则
由于，故
变式：
求函数y =