0825等腰三角形的轴对称性
海豚教育个性化简案
学生姓名: 授课日期: 月 日 上课时间: 年级: 时 分 -----时 科目: 分 合计: 小时
1、知道等腰三角形的轴对称性及其相关性质; 2、经历“折纸、画图、观察、归纳”的活动过程,发展学生的空间观念和抽象概括能力,感受分类、转化等数 教学目标 学思想方法; 3、会用“因为„„所以„„理由是„„”等方式来进行说理,进一步发展有条理的思考和表达,提高演绎推理 的能力。 1、等腰三角形的轴对称性及其相关性质 重难点导航 2、如何探索等腰三角形的轴对称性及其相关性质与应用
教学简案:
1、 等腰三角形的轴对称性
2、 知识点总结
授课教师评价: (今日学生课堂表 现符合共 (大写) 项)
□ 准时上课:无迟到和早退现象 □ 今天所学知识点全部掌握:教师任意抽查一知识点,学生能完全掌握 □ 上课态度认真:上课期间认真听讲,无任何不配合老师的情况 □ 海豚作业完成达标:全部按时按量完成所布置的作业,无少做漏做现象
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学生签字:
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备注:请交至行政前台处登记、存档保留,隔日无效
(可另附教案内页)
大写:壹 贰 叁 肆
签章: 1
海豚教育个性化教案(真题演练) 真题演练: 1、下列图案是几种名车的标志,在这几个图案中不是轴对称图形的是( A: B: C: ) D: (2,-1) D: )
2、点 M(1,2)关于 x 轴对称的点的坐标为( A: (-1,-2) B: (-1,2) ) C:圆
C: (1,-2)
3、下列图形中对称轴最多的是( A:等腰三角形 B:正方形
D:线段 )
4、已知直角三角形中 30°角所对的直角边为 2 ㎝,则斜边的长为( A:2 ㎝ B:4 ㎝ ) C:6 ㎝ D: 8 ㎝
5、下列说法正确的是(
A:等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B:顶角相等的两个等腰三角形全等 C:等腰三角形的两个底角相等 D:等腰三角形一边不可以是另一边的二倍
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海豚教育个性化教案(内页)
等腰三角形的轴对称性(1)
【预习导航】 对于等腰三角形大家一定都不陌生。在前面三角形的学习中我们已经有所认识。 操作:准备好一个等腰三角形,安如图所示把等腰三角形沿顶角的平分线对折。
A
A
B
C D
B
C
思考:同学们有什么发现吗? ____________________________________________________________ 【合作探究】 一、 概念探究: 等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在直线是它的对称轴; 等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角” ) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”) 1、在△ABC 中,如果 AB=AC,那么∠______=∠_______. 2、在△ABC 中,AB=AC,
点 D 在 BC 上 如果∠BAD=∠CAD,那么 AD⊥BC,BD=CD 如果 BD=CD,那么∠______=∠_______,_______⊥_________; 如果 AD⊥BC,那么_________________,__________________. 二、例题分析: 例 1. 如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D 在 BC 上,且 AD=BD, (1)∠ADC=70°,求∠BAC 的度数. (2)找出图中相等的角并说明理由.
B
A
C D
3
例 2:如右图,在△ABC 中,AB=AC,点 D 为 BC 中点,DE⊥AB,垂足为 E,DF⊥AC,垂足为 F,试说明 DE=DF 的 道理 分析:本题可用角平分线的性质说明还可以利用△ABD 和△ACD 的面积相等来说明 DE=DF。
A
E B D
F C
三、展示交流: 1、⑴等腰三角形的周长为 10,一边长为 4,那么另外两边长为_________. ⑵等腰三角形的两边长分别为 3cm 和 6cm,则它的周长为______. ⑶等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为 12cm 和 21cm 两部分,则其底边长为_______cm. ⑷等腰三角形底边上的高是底边的一半,则它的顶角为_______.
2、如图,在△ABC 中,AC=BC,AC⊥BC,D 为 BC 的中点,CF⊥AD 于 E,BF∥AC, 求证:AB 垂直平分 DF. C
E
D
A
B
F
四、提炼总结: 1、探索并发现了等腰三角形的轴对称性,及相关性质:等边对等角,三线合一。 2、能应用其性质解决一些简单的问题
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【当堂达标】 1.⑴已知等腰三角形的一个底角是 70°,则其余两角为 . ⑵ 已知等腰三角形的一个角是 70°,则其余两角为 . ⑶ 已知等腰三角形一个角是 110°,则其余两角为 . (4)已知等腰三角形一个角是 n°,则其余两角为______________. 2. 在△ABC 中,AB=AC,∠A=70°, ∠OBC=∠OCA,则∠BOC 的度数为( ) A、140 B、110 C、125 D、115
A
O
B
C
3、下列说法: (1)等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合; (2)等腰三角形的两腰上的中线长相等; (3) 等腰三角形的腰一定大于其腰上的高; (4) 等腰三角形的一边长为 8, 一边长为 16, 那么它的周长是 32 或 40. 其 中不正确 的个数是 ... A.1 B.2 C.3 ( ) D.4
4、如图,AB = AC = AD,且 AD∥BC, ∠C =2∠D 吗?试说明理由。
A
D
B
C
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等腰三角形的轴对称性(2)
【预习导航】 前面探索了等腰三角形的一个重要性质:如果有两条边相等,那么这两条边所对的角相等。反过来,在一个三 角形中,如果有两个角相等,那么这两个角所对的边的大小有什么关系? 操作: 将一张长方形的纸条上任意画出一条截线 AB,所得的∠1 与∠2 相等吗?为什么?
B 2 1 A
C 2 1 A
B
经过折叠后所得的△ABC,在所得的三角形中∠1=∠2。那么请同学们 度量边 AC,BC 的长度,你们有什么发现? __________________________________________________________. 【合作探究】 一、 概念探究: 1.通过上面的操作,发现了 AC =BC
。即 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。 (简称“等角对等边” ) 符号语言:如图,在△ABC 中,若∠B=∠C,则 AB=AC.
A
3、折直角三角形纸片 C B 按照课本上设计的步骤折直角三角形纸片 问题: (1)D 是斜边 AB 的中点吗?为什么? (2)图中相等的角有_______________________________________. 等腰三角形有______________________________________________. 相等的线段有_______________________________________________. 得出结论:直角三角形斜边上的中线等于______________________
符号语言: 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,因为 AD=BD
1 (或者 D 为 AB 中点) ,所以 CD AB 2
A D
C
B
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二、例题分析: 例 1、 如图,在△ABC 中,AB = AC,两条角平分线 BD、CE 相交于点 O。 OB 与 OC 相等吗?请说明理由。 分析:根据“等边对等角”得出∠ABC=∠ACB 再根据角平分线得出∠1=∠2 最后利用“等角对等边”得出结论
E
A
O 1 2
D
B
C
三、展示交流: 1、给出下面四个条件:①已知两腰;②已知底边和顶角;③已知顶角和底角;④已知底边和底边上的高.其 中能确定一个等腰三角形的大小、形状的条件有( ). A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个
2、一个三角形的三个外角的度数之比 5:4:5,那么这个三角形是( ) A.等腰三角形,但不是等边三角形,也不是等腰直角三角形 B.等边三角形 C.直角三角形,但不是等腰三角形 D.等腰直角三角形. 3、把两个都有一个锐角为 30°的一样大小的直角三角形拼成如图所示的图形,两条直角边在同一直线上,则 图中等腰三角形的个数是( ). A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 E B P Q A F R C D
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4、△ABC 中,角平分线 BO 与 CO 的相交点 O,OE∥AB, OF∥AC,BC=10,求△OEF 的周长.
A
O
B
E
F
C
四、提炼总结: 1、判定一个三角形是等腰三角形的条件是_____________________ 2、 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 这个性质, 在应用这些结论解决问题过程中进一步提高了说理、 分析、识图和归纳的能力。
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【当堂达标】 1、如图,在△ABC 中,∠ACB = 90°,CD 是
AB 边上的中线且 CD = 5cm,则 AB =
B D C A
。
2、一个三角形的一个外角为 130°,且它恰好等于一个不相邻的内角的二倍。这个三角形是( A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
)
3、如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,D 是 AB 的中点,CE⊥AB,且 AC=6,BC=8, EC=4.8,则 CD 的长度是 .
A
E D
C
B
4. 一个等腰三角形的周长为 15cm,一腰上的中线把周长分为两部分,这两部分的差为 6cm, 求腰长。
A
D
B
C
5. 如图,△ABC 中,AB=AC,D 是 BC 的中点,点 E 在 AD 上, 说明 BE=CE.
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等腰
三角形的轴对称性(3)
【预习导航】 1、等腰三角形有哪些性质? ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ 2、有一个等腰三角形,它的底边恰好与腰相等,这样的三角形具有什么性质? ___________________________________________________ 【合作探究】 概念探究: 1、等边三角形是轴对称图形,并且有三条对称轴. 2、等边三角形的每个内角都等于 60°。 如图,在△ABC 中,若 AB=AC=BC,则∠B=∠C=∠D=60° 思考 (1)3 个角相等的三角形是等边三角形吗?为什么?
A
B
C
(2)有两个角是 60°的三角形是等边三角形吗?为什么?
二、例题分析: 例1、如果一个等腰三角形中有一个角是 60°,那么这个三角形是等边三角形吗?为什么? 分析:在等腰三角形中,已知一个角的度数时,通常应该分类讨论,因为这个角可以是顶角,也可以是底角。 解:设等腰三角形 ABC 中,AB=AC (1)当顶角∠A=60°时 (2)当底角∠B=60°时
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例 2:⑴如图,在△BAC 中,∠BAC=90°, AB=AC,点 D 在 BC 上,且 BD=BA,点 E 在 BC 的延长线上,且 CE=CA. 试求∠DAE 的度数.
A
B
DC
E
⑵如果把第(1)题中“AB=AC”的条件去掉,其余条件不变,那么∠DAE 的度数会改变吗?
三、展示交流: 1、用 1~3 种不同的分割方法,将 1 个等边三角形分割成 4 个等腰三角形.
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2、图中△ABE 和△ACD 都是等边三角形,BD 与 CE 相交于点 O。 (1)EC=BD 吗?为什么?若 BD 与 CE 交于点 O,你能求出∠BOC 的度数是多少吗? (2)如果要△ABE 和△ACD 全等,则还需要什么条件?在此条件下,整个图形是轴对称图形吗?此时∠BOC 的 度数是多少? E D
A O B C
四、提炼总结: 1、等边三角形是腰和底都相等的等腰三角形,有三条对称轴,每个角都是 60° 反过来,有三个角相等的三角形是等边三角形,有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形. 2、在解决等腰三角形的边、角问题时,应当恰当运用分类讨论的思想方法.
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【当堂达标】 1、等边三角形是一个轴对称图形,它有________条对称轴。 2、等边三角形的三条边都相等,三个角都等于________。 3、一个三角形的三个外角的度数之比 5:4:5,那么这个三角形是( ) A、等腰三角形,但不是等边三角形,也不是等腰直角三角形 B、等边三角形 C、直角三角形,但不是等腰三角形 D、等腰直角三角形. 4、如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,AD 是 BC 边上的中线,且 BD=BE,CD 的垂直平分线 MF 交 AC 于 F,交 BC 于 M,MF 的长为 2. (1)求∠ADE 的度数. (2)△ADF 是正三角形吗?为什么?
A E F
B
D
M
C
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海豚教育错题汇编 等腰三
角形的性质 例 1、等腰三角形的周长为 20 厘米,其中一边长为 8 厘米,则腰长为( ) A、6 厘米 B、8 厘米 C、6 厘米或 8 厘米 D、以上都不对 考点:等腰三角形的性质。 分析:等腰三角形的一边长为 8,但没有明确指明是底边还是腰,因此要分两种情况,分类讨论. 解答:解:∵等腰三角形的一边长为 8,周长为 20, ∴当 8 为底时,其它两边都为 6、6,8、6、6 可以构成三角形; 当 8 为腰时,其它两边为 8 和 4,8、8、4 可以构成三角形. ∴腰长是 6cm 或 8cm. 故应选 C. 点评:本题考查了等腰三角形的性质;解题中涉及分类讨论的思想方法.求三角形的周长,不能盲目地将三边 长相加起来,而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯,把不符合题意的舍去.
例 2、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40° ,则这个等腰三角形的一个底角的度数为 65° 或 25° . 考点:等腰三角形的性质;三角形内角和定理。 分析:本题已知没有明确三角形的类型,所以应分这个等腰三角形是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论. 解答:解:当这个三角形是锐角三角形时:高与另一腰的夹角为 40,则顶角是 50° ,因而底角是 65° ; 当这个三角形是钝角三角形时:高与另一腰的夹角为 40° ,则顶角的外角是 50° ,则底角是 25° . 因此这个等腰三角形的一个底角的度数为 25° 或 65° . 故填 25° 或 65° . 点评:本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理;等腰三角形的高线,可能在三角形的内部,边上、 外部几种不同情况,因而,遇到与等腰三角形的高有关的计算时应分类讨论.
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海豚教育个性化作业
等腰三角形的轴对称性(1)
1 . 已 知 等 腰 △ ABC 的 底 边 BC=8cm , |AC-BC|=2cm , 则 腰 AC 的 长 为 ( ) A.10cm 或 6cm B.10cm C.6cm D.8cm 或 6cm 2 . 如图,△ABC 中,AB=AC,D 是 BC 中点,下列结论中不正确的是( ) A.∠B=∠C B.AD⊥BC C.AD 平分∠BAC D.AB=2BD
( 第2题 ) ( 第5题 ) ( 第 13 题 ) 3.已知等腰三角形的一个底角等于 30°,则这个等腰三角形的顶角等于( ) A.150° B.120° C.75° D.30° 4. 已知△ABC 的周长是 24, 且 AB=AC, 又 AD⊥BC, D 为垂足, 若△ABD 的周长是 20, 则 AD 的长为 ( ) A.6 B.8 C.10 D.12 5.如图,C、E 和 B、D、F 分别在∠GAH 的两边上,且 AB=BC=CD=DE=EF,若∠A=18°,则∠GEF 的度数是( ) A.108° B.100° C.90° D.80° 6.已知等腰三角形一边长为 4,一边的长为 6,则等腰三角形的周长为( ) A.14 B.16 C.10 D.14 或 16 7.已知一个等腰三角形有一个角为 50°,则顶角是( ) A.50° B.80° C.50°或 80° D.不能确
定 8.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则此三角形的底角等于( ) A.75° B.15° C.75°或 15° D.30° 9.已知等腰三角形的一个外角等于 100°,则它的顶角是( ) A.80° B.20° C.80°或 20° D.不能确定 10.已知等腰三角形的一个角为 75°,则其顶角为( ) A.30° B.75° C.105° D.30°或 75° 11.已知等腰三角形的一个外角为 80°,则它的底角为( ) A.40° B.50° C.60° D.100° 12.如果一个等腰三角形的两边长分别为 2cm 和 5cm,那么它的周长是( ) A.9cm B.12cm C.9cm 或 12cm D.以上答案都不对 13.如图,五角星的五个角都是顶角为 36°的等腰三角形,则∠AMB 的度数为( ) A.144° B.120° C.108° D.100° 14.下列说法中正确的有多少个( ) ①等边三角形有三条对称轴; ②四边形有四条对称轴;③等腰三角形的一边长为 4,另一边长为 9,则它的周 长是 17 或 22;④一个三角形中至少有两个锐角. A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 15.已知等腰三角形的一个内角为 40°,则这个等腰三角形的顶角为( ) A.40° B.100° C.40°或 100° D.70°或 50° 16.等腰三角形的两边长分别为 2 和 7,则它的周长是( ) A.9 B.11 C.16 D.11 或 16
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17.如图,△ABC 中,AB=AC,AD 平分∠BAC,DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F,则下列五个结论:①AD 上任意一点 到 AB、AC 两边的距离相等;②AD 上任意一点到 B、C 两点的距离相等;③AD⊥BC,且 BD=CD;④∠BDE=∠CDF; ⑤AE=AF.其中,正确的有( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
( 第 17 题 ) ( 第 22 题 ) ( 第 27 题 ) 18.△ABC 中,AB=AC,外角∠CAD=100°,则∠B 的度数为( ) A.80° B.50° C.40° D.30° 19.已知等腰三角形的一个内角是 30°,那么这个等腰三角形顶角的度数是( ) A.75° B.120° C.30° D.30°或 120° 20.下列说法正确的是( ) A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B.顶角相等的两个等腰三角形全等 C.等腰三角形一边不可以是另一边的二倍 D.等腰三角形的两个底角相等 21.等腰三角形的腰长是 4cm,则它的底边长不可能是( ) A.1cm B.3cm C.6cm D.9cm 22 . 如图,已知 AD=AE,BE=CD,∠1=∠2=110°,∠BAC=80°,则∠CAE 的度数是( ) A.20° B.30° C.40° D.50° 23.等腰三角形的两边分别长 7cm 和 13cm,则它的周长是( ) A.27cm B.33cm C.27cm 或 33cm D.以上结论都不对 24.若等腰三角形腰长为 4,面积是 4,则这个等腰三角形顶角的度数为( ) A.30° B.30°或 150° C.60° D.60°或 120° 25.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为 20°,则顶角的度数是( ) A.70° B.110° C.70°或 110° D.20°或 160° 26.等
腰三角形的两边长分别为 2cm、4cm,则周长为( ) A.8cm B.10cm C.8cm 或 10cm D.6cm 27 . 如图,已知△ABC 的周长是 34,其中 AB=10,AO、BO 分别是角平分线,且 MN∥BA,分别交 AC 于 N、BC 于 M,则△CMN 的周长为( ) A.12 B.24 C.34 D.44 28.已知等腰三角形的周长为 20cm,将底边长 y(cm)表示成腰长 x(cm)的函数关系式是 y=20-2x,则其自 变量 x 的取值范围是( ) A.0<x<10 B.5<x<10 C.一切实数 D.x>0
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29 . 如图,AD=BC=BA,那么∠1 与∠2 之间的关系是( ) A.∠1=2∠2 B.2∠1+∠2=180° C.∠1+3∠2=180°
D.3∠1-∠2=180°
( 第 29 题 ) ( 第 30 题 ) 30 . 如图,∠AOB 是一钢架,∠AOB=15°,为使钢架更加牢固,需在其内部添加一些钢管 EF、FG、GH„添的 钢管长度都与 OE 相等,则最多能添加这样的钢管( )根. A.2 B.4 C.5 D.无数
ADBBC DCCCD ABCCC CDBDD DACBC BBBBC
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等腰三角形的轴对称性(2)
1 . 如图,△ABC 中,已知∠B 和∠C 的平分线相交于点 F,经过点 F 作 DE∥BC,交 AB 于 D,交 AC 于点 E,若 BD+CE=9,则线段 DE 的长为( ) A.9 B.8 C.7 D.6
( 第1题 ) ( 第2题 ) ( 第3题 ) 2 . 如图,D、E 为△ABC 两边 AB、AC 的中点,将△ABC 沿线段 DE 折叠,使点 A 落在点 F 处,若∠B=55°,则 ∠BDF 等于( ) A.55° B.60° C.70° D.90° 3 .已知:如图,△ABD 和△ACE 均为等边三角形,且∠DAB=∠CAE=60°,那么△ADC≌△AEB 的根据是( ) A.边边边 B.边角边 C.角边角 D.角角边 4.下列两个三角形中,一定全等的是( ) A.有一个角是 40°,腰相等的两个等腰三角形 B.两个等边三角形 C.有一个角是 100°,底相等的两个等腰三角形 D.有一条边相等,有一个内角相等的两个等腰三角形 5 . 如图,已知等边△ABC 中,BD=CE,AD 与 BE 相交于点 P,则∠APE 的度数为( ) A.45° B.60° C.55° D.75°
( 第5题 ) ( 第6题 ) ( 第7题 ) 6 . 如图,C 为线段 AE 上一动点(不与点 A,E 重合) ,在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形 CDE,AD 与 BE 交于点 O,AD 与 BC 交于点 P,BE 与 CD 交于点 Q,连接 PQ.以下结论错误的是( ) A.PQ∥AE B.AP=BQ C.DE=DP D.∠AOB=60° 7 . 如图,AB=AC,BD=BC,若∠A=40°,则∠ABD 的度数是( ) A.20° B.30° C.35° D.40°
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8 . 如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D 在 AC 上,且 BD=BC=AD,则∠A 等于( A.30° B.40° C.45° D.36°
)
( 第8题 ) ( 第 15 题 ) ( 第 17 题 ) ( 第 22 题 ) 9.已知等腰三角形的两边长分别为 2 和 5,则它的周长为( ) A.12 或 9 B.12 C.9 D.7 10.某等腰三角形的两条边长分别为 3cm 和 6cm,则它的周长为( ) A.9cm B.12cm C
.15cm D.12cm 或 15cm 11.已知等腰三角形中有一个角等于 50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为( ) A.50° B.80° C.50°或 80° D.40°或 65° 12.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1:4,则这个等腰三角形顶角的度数为( ) A.20°或 100° B.120° C.20°或 120° D.36° 13.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°,则顶角的度数为( ) A.60° B.120° C.60°或 150° D.60°或 120° 14.若等腰三角形底角为 72°,则顶角为( ) A.108° B.72° C.54° D.36° 15 . 如图射线 BA、CA 交于点 A.连接 BC,己知 AB=AC,∠B=40 度.那么 x 的值是( ) A.80 B.60 C.40 D.100 16. 已知等腰△ABC 的周长为 18cm, BC=8cm, 若△ABC≌△A′B′C′, 则△A′B′C′中一定有一条边等于 ( A.7cm B.2cm 或 7cm C.5cm D.2cm 或 5cm 17 . 如图,等腰三角形 ABC 中,AB=AC,∠A=44°,CD⊥AB 于 D,则∠DCB 等于( ) A.44° B.68° C.46° D.22° 18.等腰三角形的一个内角是 50°,则另外两个角的度数分别是( ) A.65°,65° B.50°,80° C.65°,65°或 50°,80° D.50°,50° 19.等腰三角形的一个角是 50°,则它一腰上的高与底边的夹角是( ) A.25° B.40° C.25°或 40° D.不能确定 20.等腰三角形的周长为 13cm,其中一边长为 3cm,则该等腰三角形的底边为( ) A.7cm B.3cm C.7cm 或 3cm D.8cm 21.等腰三角形的一个角是 80°,则它的底角是( ) A.50° B.80° C.50°或 80° D.20°或 80° 22 . 如图,已知 AC∥BD,OA=OC,则下列结论不一定成立的是( ) A.∠B=∠D B.∠A=∠B C.OA=OB D.AD=BC 23.等腰三角形一边长为 4,一边长 9,它的周长是( ) A.17 B.22 C.17 或 22 D.13 24.若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角是( ) A.75°或 30° B.75° C.15° D.75°和 15° 25.等腰三角形的顶角等于 70°,则它的底角是( ) A.70° B.55° C.60° D.70°或 55°
)
22
26.等腰三角形的一个内角是 50°,则这个三角形的底角的大小是( ) A.65°或 50° B.80°或 40° C.65°或 80° D.50°或 80° 27.等腰三角形的一边长为 3,另一边长为 7,则它的周长为( ) A.10 B.13 C.17 D.13 或 17 28.如果等腰三角形两边长是 6cm 和 3cm,那么它的周长是( ) A.9cm B.12cm C.15cm 或 12cm D.15cm 29.等腰三角形的一个外角为 110°,它的底角为( ) A.55° B.70° C.55°或 70° D.以上均有可能 30.已知等腰三角形的一边长为 4,另一边长为 8,则它的周长是( ) A.12 B.16 C.20 D.16 或 20
ACBCB
CBDBC
CCDDA
DDCCB
CCBDB
ACDCC
23
24
等腰三角形的轴对称性(3)
1 . 等腰三角形的一个外角是 100°,则它的顶角是( ) A.20
° B.80° C.20°或 80° D.40°或 80° 2 . 如图:D,E 分别是△ABC 的边 BC、AC 上的点,若 AB=AC,AD=AE,则( ) A.当∠B 为定值时,∠CDE 为定值 B.当∠α 为定值时,∠CDE 为定值 C.当∠β 为定值时,∠CDE 为定值 D.当∠γ 为定值时,∠CDE 为定值
( 第2题 ) ( 第3题 ) ( 第4题 ) 3 . 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE 分别为∠ABC,∠ACB 的角平分线,则图中等腰三角形共有 ( ) A.5 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个 4 . 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB=2BC,在直线 BC 或 AC 上取一点 P,使得△PAB 为等腰三角形,则 符合条件的点 P 共有( ) A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个 5 .如图,在△ABC 中,AC=BC>AB,点 P 为△ABC 所在平面内一点,且点 P 与△ABC 的任意两个顶点构成△PAB, △PBC,△PAC 均是等腰三角形,则满足上述条件的所有点 P 的个数为( ) A.3 B.4 C.6 D.7
( 第5题 ) ( 第6题 ) ( 第9题 ) 6. 小明将两个全等且有一个角为 60°的直角三角形拼成如图所示的图形, 其中两条较长直角边在同一直线上, 则图中等腰三角形的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1
25
7 . 如图,在下列三角形中,若 AB=AC,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(
)
A. (1) (2) (3) B. (1) (2) (4) C. (2) (3) (4) D. (1) (3) (4) 8.若△ABC 的三边 a,b,c 满足(a-b) (b-c) (c-a)=0,那么△ABC 的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.锐角三角形 9 . △ABC 中 AB=AC,∠A=36°,BD 平分∠ABC 交 AC 于 D,则图中的等腰三角形有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
( 第9题 ) 10.在等边△ABC 所在的平面内求一点 P,使△PAB,△PBC,△PAC 都是等腰三角形,具有这样性质的点 P 有( ) A.1 B.4 C.7 D.10 11.如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高,那么这个三角形一定是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 12 . 在四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 E,若 AC 平分∠DAB,AB=AE,AC=AD.那么在下列四个结论 1 中: (1)AC⊥BD; (2)BC=DE; (3)∠DBC= ∠ DAB( 4 ) △ ABE 是 正 三 角 形 , 其 中 正 确 的 是 ( ) 2 A. ( 1) 和 ( 2) B. ( 2) 和 ( 3) C. ( 3) 和 ( 4) D. ( 1) 和 ( 4) 13 . 如图,A、C、B 三点在同一条直线上,△DAC 和△EBC 都是等边三角形,AE、BD 分别与 CD、CE 交于点 M、 N,有如下结论:①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN.其中,正确结论的个数是( ) A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个
( 第 13 题 ) ( 第 14 题 ) ( 第 15 题 ) 14 . 如图是一个等边三角形木
框,甲虫 P 在边框 AC 上爬行(A,C 端点除外) ,设甲虫 P 到另外两边的距离之 和为 d,等边三角形 ABC 的高为 h,则 d 与 h 的大小关系是( ) A.d>h B.d<h C.d=h D.无法确定 15 . 如图, 木工师傅从边长为 90cm 的正三角形木板上锯出一正六边形木块, 那么正六边形木板的边长为 ( ) A.34cm B.32cm C.30cm D.28cm
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16.已知∠AOB=30°,点 P 在∠AOB 内部,P1 与 P 关于 OB 对称,P2 与 P 关于 OA 对称,则 P1,O,P2 三点所构成的三角形是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 17.一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线,则对这个三角形最准确的判断是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 18.P 为∠AOB 内一点,∠AOB=30°,P 关于 OA、OB 的对称点分别为 M、N,则△MON 定是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 19 . 一艘轮船由海平面上 A 地出发向南偏西 40°的方向行驶 40 海里到达 B 地,再由 B 地向北偏西 20°的方 向行驶 40 海里到达 C 地,则 A、C 两地相距( ) A.30 海里 B.40 海里 C.50 海里 D.60 海里
( 第 19 题 ) ( 第 20 题 ) ( 第 21 题 ) 20 . 如图, CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高, 将△BCD 沿 CD 折叠, B 点恰好落在 AB 的中点 E 处, 则∠A 等于 ( ) A.25° B.30° C.45° D.60° 21 . 如图所示, △ABP 与△CDP 是两个全等的等边三角形, 且 PA⊥PD, 有下列四个结论: ①∠PBC=15°, ②AD∥BC, ③PC⊥AB,④四边形 ABCD 是轴对称图形,其中正确的个数为( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 22.等边三角形的对称轴有( ) A.一条 B.二条 C.三条 D.九条 23 . 如图:在 Rt△ABC 中,∠C=90°,直线 BD 交 AC 于 D,把直角三角形沿着直线 BD 翻折,使点 C 落在斜边 AB 上,如果△ABD 是等腰三角形,那么∠A 等于( ) A.60° B.45° C.30° D.22.5°
( 第 23 题 ) ( 第 24 题 ) ( 第 25 题 ) ( 第 27 题 ) 24 . 如图, 将边长为 2 个单位的等边△ABC 沿边 BC 向右平移 1 个单位得到△DEF, 则四边形 ABFD 的周长为 ( ) A.6 B.8 C.10 D.12 25 . 如图:AD∥BC,AB=AC,∠BAC=80°,则∠DAC= 度. 26 . 已知等腰△ABC 中,AB=AC,D 是 BC 边上一点,连接 AD,若△ACD 和△ABD 都是等腰三角形,则∠C 的度 数是 . 27 . 如图,已知△ABC 和△BDE 均为等边三角形,连接 AD、CE,若∠BAD=39°,那么∠BCE= 度. 28 . 在△ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得到锐角为 50°,则∠B 等于 . 29 . 在△ABC 中,AB=AC,∠A=58°,AB 的垂直平分线交 AC 于 N,则∠NBC= 度. 30 . 在△ABC 中,AB=AC,BC=5
cm,作 AB 的垂直平分线交另一腰 AC 于 D,连 BD,若△BCD 周长是 17cm,则腰 长是 cm. CBDCC BDACD CBBCC DCABB DCC B 25 . 50°. 26 . 36°或 45°. 27 . 39. 28 . 70°或 20°. 29 . 3. 30 . 12.
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28
等腰三角形的轴对称性(4)
1 . 如图,△ABC 的周长为 32,且 AB=AC,AD⊥BC 于 D,△ACD 的周长为 24,那么 AD 的长为 .
(第 1 题) (第 7 题) (第 9 题) 3 . 若等腰三角形的一个底角为 50°,则它的顶角为 度. 4 . 一个等腰三角形的两边长分别是 2cm、5cm,则它的周长为 cm. 5 . 等腰三角形的两边长分别是 3 和 7,则其周长为 . 6 . 若等腰三角形的一个外角为 70°,则它的底角为 度. 7.如图,有一底角为 35°的等腰三角形纸片,现过底边上一点,沿与底边垂直的方向将其剪开,分成三角形 和四边形两部分,则四边形中,最大角的度数是 度. 8.已知等腰三角形的两边长分别为 4cm 和 8cm,则此三角形的周长为 cm. 9.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=50°,BD 为∠ABC 的平分线,则∠BDC= 度. 10 . 如图,在△ABC 中,AB=AC.M、N 分别是 AB、AC 的中点,D、E 为 BC 上的点,连接 DN、EM.若 AB=13cm, BC=10cm,DE=5cm,则图中阴影部分的面积为 cm2
(第 10 题) (第 12 题) (第 18 题) (第 19 题) 11 .在活动课上,小红已有两根长为 4cm,8cm 的小木棒,现打算拼一个等腰三角形,则小红应取的第三根小 木棒长是 cm. 12.如图,一个顶角为 40°的等腰三角形纸片,剪去顶角后,得到一个四边形,则∠1+∠2= 度. 13 . 在等腰△ABC 中,若顶角 A 等于 150°,则∠B= 度. 14 . 如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半,那么这个等腰三角形的顶角等于 度. 15 .等腰△ABC 的底边 BC=8cm,腰长 AB=5cm,一动点 P 在底边上从点 B 开始向点 C 以 0.25cm/秒的速度运动, 当点 P 运动到 PA 与腰垂直的位置时,点 P 运动的时间应为 秒. 16 . 已知等腰三角形两边长为 7 和 3,则它的周长为 . 17 . 己知等腰三角形的一边等于 5cm,一边等于 11cm.则它的周长是 cm. 18 . 已知在△ABC 中,AB=AC,点 D 在 AC 上,且 BD=BC=AD,则∠A= 度. 19 .如图所示,AOB 是一钢架,且∠AOB=10°,为了使钢架更加坚固,需在其内部添加一些钢管 EF,FG,GH„, 添加的钢管长度都与 OE 相等,则最多能添加这样的钢管 根. 20 . 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1:4,则这个等腰三角形顶角的度数为 . 21 . 一个等腰三角形的一个外角等于 110°,则这个三角形的顶角应该为 . 22 . 若等腰三角形的边长分别为 5 和 7,则它的周长为 .
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23 . 小丽有两根长度分别为 4cm 和 9cm 的木棒,她想以这两根木棒为边做一个等腰
三角形,还需再选用一根 长度为 cm 的木棒. 24 . 等腰三角形中,已知两边的长分别是 9 和 4,则周长为 . 25 . 等腰三角形一边长为 4,另一边长为 9,则它的周长是 . 26 . 若等腰三角形的顶角为 100°,则它腰上的高与底边的夹角是 度. 27 . 等腰三角形的一个内角为 140°,则它的底角的度数为 度. 28.等腰三角形的一个角为 30°,则底角为 度. 29 . 等腰三角形的对称轴最多有 条.
1 . 8. 3 . 80. 4 . 12. 5 . 17. 6 . 35. 7.125. 8.20. 9.82.5. 10 . 30. 11 . 8. 12.220. 13 . 15. 14 . 120. 15 . 7 或 25 16 . 17. 17 . 27. 18 . 36. 19 :8. 20 . 120°或 20°. 21 . 70°或 40°. 22 . 17 或 19. 23 . 9. 24 . 22. 25 . 22. 26 . 50. 27 . 20. 28.30 或 75. 29 . 3.
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等腰三角形的轴对称性(5)
1 . 如图,在直线 m 上摆放着三个正三角形:△ABC、△HFG、△DCE,已知 BC= 1 CE,F、G 分别 2
是 BC、 CE 的中点, FM∥AC, GN∥DC. 设图中三个平行四边形的面积依次是 S1 , S, S3 , 若 S1 +S3 =10, 则 S= .
(第 1 题) (第 3 题) 2 . 等边三角形的边长为 a,则它的周长为 . 3 . 如图,D 为等边三角形 ABC 内一点,AD=BD,BP=AB,∠DBP=∠DBC,则∠BPD= 4 . 如图,△ABD,△ACE 都是正三角形,BE 和 CD 交于 O 点,则∠BOC= 度.
度.
(第 4 题) (第 5 题) (第 6 题) 5 . 如图,正六边形 DEFGHI 的顶点都在边长为 6cm 的正三角形 ABC 的边上,则这个正六边形的 边长是 cm. 6 . 如图,P、Q 是△ABC 的边 BC 上的两点,且 BP=PQ=QC=AP=AQ,则∠ABC 的大小等于 度. 7 . 如图,在△ABC 中,AB=AC,AD 是 BC 边上的高,点 E、F 是 AD 的三等分点,若△ABC 的面积 为 12cm2 ,则图中阴影部分的面积是 cm.
(第 7 题) (第 9 题) (第 11 题) 8 . 等边三角形是轴对称图形,它的对称轴共有 条. 9 .如图,矩形纸片 ABCD,AB=2,∠ADB=30°,沿对角线 BD 折叠(使△ABD 和△EBD 落在同一平 面内) ,则 A、E 两点间的距离为 .
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10.请阅读,完成证明和填空. 九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果,内容如 下:
(1)如图 1,正三角形 ABC 中,在 AB、AC 边上分别取点 M、N,使 BM=AN,连接 BN、CM,发现 BN=CM,且∠NOC=60 度.请证明:∠NOC=60 度.
(2) 如图 2, 正方形 ABCD 中, 在 AB、 BC 边上分别取点 M、 N, 使 AM=BN, 连接 AN、 DM, 那么 AN= , 且∠DON= 度. (3)如图 3,正五边形 ABCDE 中,在 AB、BC 边上分别取点 M、N,使 AM=BN,连接 AN、EM,那么 AN= ,且∠EON= 度. (4)在正 n 边形中,对相邻的三边实施同样的操作过程,也会有类似的结论
. 请大胆猜测,用一句话概括你的发现: .
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1 . 故答案为 4. 2 . 故答案为 3a. 3 . 故应填 30°. 4 . 故填 120. 5 . 故填 2. 6 . 故答案为 30°. 7 . 故填 6. 8 . 故填 3. 9 . 故填 2. 10 . 考 点 : 全 等 三 角 形 的 判 定 ;等 边 三 角 形 的 性 质 ;正 多 边 形 和 圆 . 专 题 : 压 轴 题 ;阅 读 型 . 分析: (1) 利用△ABC 是正三角形, 可得∠A=∠ABC=60°, AB=BC, 又因 BM=AN, 所以△ABN≌△BCM, ∠ABN=∠BCM,所以∠NOC=∠BCM+∠OBC=∠ABN+∠OBC=60°; (2)同(1)利用三角形全等,可知在正方形中,AN=DM,∠DON=90°; (3)同(1) ,利用三角形全等可知在正五边形中,AN=EM,∠EON=108°; (n −2)•180° (4)以上所求的角恰好等于正 n 边形的内角 . (10 分) n 解答: (1)证明:∵△ABC 是正三角形, ∴∠A=∠ABC=60°,AB=BC, AB =BC 在△ABN 和△BCM 中,∠A =∠ABC , AN =BM ∴△ABN≌△BCM, (2 分) ∴∠ABN=∠BCM, 又∵∠ABN+∠OBC=60°, ∴∠BCM+∠OBC=60°, ∴∠NOC=60°; (2)解:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠DAM=∠ABN=90°,AD=AB, 又∵AM=BN, ∴△ABN≌△DAM, ∴AN=DM,∠ADM=∠BAN, 又∵∠ADM+∠AMD=90°, ∴∠BAN+∠AMD=90° ∴∠AOM=90°;即∠DON=90°. (3)解:∵五边形 ABCDE 是正五边形, ∴∠A=∠B,AB=AE, 又∵AM=BN, ∴△ABN≌△EAM, ∴AN=ME, ∴∠AEM=∠BAN, ∴∠NOE=∠NAE+∠AEM=∠NAE+∠BAN=∠BAE=108°; (n −2)•180° (4)解:以上所求的角恰好等于正 n 边形的内角 . (10 分) n 注: 学生的表述只要合理或有其它等价且正确的结论, 均给分. 本题结论着重强调角和角的度数.
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等腰三角形的轴对称性(6)
1 . 等腰三角形的一个外角是 80°,则其底角是 度. 2 . 等腰三角形的两边长为 6 和 3,则它周长是 . 3 . 若一个等腰三角形的两边长分别是 3cm 和 5cm,则它的周长是 . 4 . 如图,△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,AD 是 BC 边上的中线,BD=BE,则∠AED 是
度.
(第 4 题) (第 15 题) (第 16 题) 5 . 等腰三角形一边长为 8cm,另一边长为 4cm,则它的周长为 cm. 6 . 已知等腰三角形的一个内角是 100°,则其余两个角的度数分别是 度, 7.一个等腰三角形周长为 5,它的三边长都是整数,则底边长为 . 8 . 等腰三角形的两边分别为 4cm 和 5cm,则它的周长为 . 9 . 一个等腰三角形有两边分别为 4 和 8,则周长是 . 10 . 等腰三角形有一个角是 60°,其中一边的长为 a,其周长为 . 11 . 如果等腰三角形的一个底角是 80°,那么顶角是 度. 12 . 等腰△ABC 中,AB=AC=10,∠A=30°,则腰 AB 上的高等于 . 13 . 等腰三角形一边的长是 4,另一边的长
是 8,则它的周长是 . 14 . 若一个等腰三角形的两边长分别是 4cm 和 9cm,则其周长是 cm. 15 . 如图,△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC,BD=5,则 CD= . 16 . 如图,已知 AB=A1 B,A1 C=A1 A2 ,A2 D=A2 A3 ,A3 E=A3 A4 ,∠B=20°,则∠A4 = 17.已知等腰三角形的两边长分别是 1cm 和 2cm,则这个等腰三角形的周长为 18 . 等腰三角形的两边长分别为 2cm 和 4cm,则这个三角形的周长为 cm. 19 . 一个等腰三角形的一个角为 50°,则它的顶角的度数是 . 20 . 如图,AB=AC,∠1=∠2,BD=3cm,那么 BC 的长为 cm.
度.
度. cm.
(第 20 题) (第 21 题) (第 22 题) 21 . 如图,在△ABC 中,D 为 BC 上的一点,AB=AC=DC,AD=BD,则∠BAC= 度. 22 . 如图所示,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA 交 OB 于 C,PD⊥OA 于 D,若 PC=4,则 PD 等于
.
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23 . 如图,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,则图中等腰三角形有
个.
(第 23 题) (第 25 题) (第 26 题) 24 . △ABC 中,AD⊥BC 于 D,且 BD=CD,若 AB=3,则 AC= . 25 . 如图,△ABC 中,∠A=36°,AB=AC,BD 平分∠ABC,DE∥BC,则图中等腰三角形 有 个. 26.如图,在△ABC 中,BC=5cm,BP、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线,且 PD∥AB,PE∥AC,则△PDE 的 周长是 cm. 27 . 已知等边三角形 ABC 的边长为 3+ 3 ,则△ABC 的周长是 . 28 . 如图所示,等边△ABC 的边长为 2,△BDC 是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以 D 为顶点作一个 60°的 角,角的两边分别交 AB 于 M,交 AC 于 N,连接 MN,形成一个△AMN,则△AMN 的周长为 .
(第 28 题) (第 29 题) 29 . 如图是由 9 个等边三角形拼成的六边形,若已知中间的小等边三角形的边长是 a ,则六边形的周长 是 .
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1 . 故填 40. 2 . 故填 15. 3 . 故填 11cm 或 13cm. 4 . 故填 105. 5 . 故填:20. 6 . 故填 40. 7.故应填 1. 8 . 故填 14cm 或 13cm. 9 . 故填:20. 10 . 故填 3a. 11 . 故填 20. 12 . 故填 5. 13 . 故填 20. 14 . 故填 22. 15 . 故填 5. 16 . 故填 10. 17.故填 5. 18 . 故填 10. 19 . 故填 50°或 80°. 20 . 故答案为:6. 21 . 故填 108. 22 . 故答案为:2. 23 . 故填 3. 24 . 故填 3. 25 . 故填 5. 26 . 故答案为 5cm. 27 . 故答案为 9+3 3 . 28 . 故填 4. 29 . 故答案为:30a.
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等腰三角形的轴对称性(7)
1 . 如图,已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为 12cm 和 15cm 两部分,求它的底边 BC 的长.
2 . 已知一个等腰三角形的三边长分别为 x、2x、5x-3,求这个三角形的周长.
3 . 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=50°,CD 为腰 AB 上的高,求∠BCD 的度数.
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4 . 如图,已知 D 是等腰三角形 ABC 底边 BC 上的一
点,它到两腰 AB、AC 的距离分别为 DE、DF,请指出当 D 在什么位置时,DE=DF,并加以证明.
5 . 求证:等腰三角形两底角相等.
6 . 如图,△ABC 中,AB=AC,点 M、N 分别在 BC 所在直线上,且 AM=AN. 请问:BM=CN 吗?请说明理由.
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7 . 在一次数学课上,王老师在黑板上画出图,如图,并写下了四个等式:①AB=DC,②BE=CE,③∠B=∠C, ④∠BAE=∠CDE.要求同学从这四个等式中选出两个作为条件,推出△AED 是等腰三角形.请你试着完成王老 师提出的要求,并说明理由. (写出一种即可)
8 .文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时,画出图形,写出“已知”,“求 证”(如图) ,她们对各自所作的辅助线描述如下: 文文:“过点 A 作 BC 的中垂线 AD,垂足为 D”; 彬彬:“作△ABC 的角平分线 AD”. 数学老师看了两位同学的辅助线作法后,说:“彬彬的作法是正确的,而文文的作法需要订正.” (1)请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里; (2)根据彬彬的辅助线作法,完成证明过程.
要
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9 .如图,在△ABC 中,点 E 在 AB 上,点 D 在 BC 上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD 与 CE 相交于点 F,试判断△AFC 的形状,并说明理由.
10 . 已知:如图,OA 平分∠BAC,∠1=∠2. 求证:△ABC 是等腰三角形.
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1. 考 点 : 等 腰 三 角 形 的 性 质 . 专题:分类讨论. 分 析 : 分两种情况讨论:当 AB+AD=12,BC+DC=15 或 AB+AD=15,BC+DC=12,所以根据等腰三角形的两腰相等 和中线的性质可求得,三边长为 8,8,11 或 10,10,7.所以 BC 的长为 7cm 或 11cm. 解 答 : 解:设 AD=xcm 则, 当 2x+x=12 时,x=4,即 AB=AC=8cm, ∵周长是 12+15=27cm, ∴BC=11cm; 当 2x+x=15 时,x=5,即 AB=AC=10cm, ∵周长是 12+15=27cm, ∴BC=7cm, 综上可知,底边 BC 的长为 7cm 或 11cm. 点 评 : 主要考查了等腰三角形的性质.解题的关键是利用等腰三角形的两腰相等和中线的性质求出腰长,再 利用周长的概念求得边长. 2. 考 点 : 等 腰 三 角 形 的 性 质 . 专题:分类讨论. 分 析 : 因为没有明确指出哪条边是底边哪个是腰,所以要分情况讨论. 解 答 : 解:显然 x≠2x, 又若 x=5x-3,则 x+(5x-3)=x+x=2x 不合题意. ∴2x=5x-3, 解得:x=1, ∴三角形周长为 1+2+2=5. 点 评 : 本题考查了等腰三角形的性质;在没有明确给出腰和底边时,要注意和已知条件联系起来分情况讨论 进而求解. 3 . 考 点 : 等 腰 三 角 形 的 性 质 ;三 角 形 内 角 和 定 理 . 分 析 :首先根据等腰三角形的性质:等边对等角,以及三角形的内角和是 180°求出∠ACB.再根据直角三角 形的两个锐角互余
,求得∠ACD 进而用角的和差即可计算出结果. 解 答 : 解:∵AB=AC ∴∠C=∠B ∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=50° ∴∠C=∠B=65° ∵CD⊥AB ∴∠A+∠ACD=90° ∴∠ACD=40° ∴∠BCD=25°. 点 评 : 本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理;由等腰三角形的性质得到∠C=∠B=65°是正确 解答本题的关键.
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4 . 考 点 : 等 腰 三 角 形 的 性 质 ;全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质 . 专题:证明题. 分 析 :要判断符合条件的点的位置,可以先猜测是 BC 的中点,然后根据三线合一的性质或三角形全等来证明 DE=DF. 解 答 : 解:当点 D 在 BC 的中点时,DE=DF. 证明: 当 BD=DC 时, ∵∠B=∠C,∠DEB=∠CFD=90° ∴△DBE≌△DCF(AAS) ∴DE=DF. 点 评 : 主要考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质;利用三角形全等是证明线段相等的常用方 法之一,要熟练掌握. 5 . 考 点 : 等 腰 三 角 形 的 性 质 ;全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质 . 专题:证明题. 分 析 : 过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,利用等腰三角形三线合一性质求得 BD=DC,从而求得△ABD≌△ACD,由全等 三角形的性质就可以得出∠B=∠C.
解答:
已知:如图,在△ABC 中,AB=AC.
求证:∠B=∠C. 证明:过点 A 作 AD⊥BC 于点 D, ∵AB=AC,AD⊥BC, ∴BD=DC(等腰三角形三线合一) . 又∵∠ADB=∠ADC=90°,AD 为公共边, ∴△ABD≌△ACD(SAS) . ∴∠B=∠C. 点 评 : 本题主要考查了等腰三角形性质和全等三角形的判定与性质;正确作出辅助线是解答本题的关键. 6 . 考 点 : 等 腰 三 角 形 的 性 质 ;全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质 . 专题:证明题. 分 析 : 利用全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质就可证明 BM=CN. 解 答 : 解 : BM=CN . 理 由 : ∵ AB=AC, ∴ ∠ B=∠ C, 又 ∵ AM=AN, ∴ ∠ AMN=∠ ANM, ∴ ∠ AMB=∠ ANC, ∴ △ ABM≌ △ ACN, ∴ BM=CN.
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7 . 考 点 : 等 腰 三 角 形 的 判 定 ;全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质 . 专题:开放型. 分 析 : 要证明△AED 是等腰三角形,既可证明 AE=AD,也可证明∠EAD=∠ADE,所以根据这两种途径就可以找 到所需要的条件,当然要利用这些首先证明三角形全等,利用对应边相等或对应角相等就可以得到 AE=AD 或 ∠EAD=∠ADE. 解 答 : 解:已知:①③(或①④,或②③,或②④) 证明:在△ABE 和△DCE 中,
∠B =∠C ∠AEB =∠DEC , AB =DC
∴△ABE≌△DCE, ∴AE=DE, 即△AED 是等腰三角形. 点 评 : 本题考查了等腰三角形的判定及全等三角形的判定及性质;此题既要求熟练掌握全等三角形的判定, 也要求熟练掌握等腰三角形的判定,三角形
全等的证明是正确解答本题的关键. 8. 考 点 : 等 腰 三 角 形 的 判 定 . 专题:阅读型. 分析: (1)线段 BC 的中垂线可以直接作出的,不需要附带“过点 A 作”; (2)根据已知条件利用 AAS 可证△ABD≌△ACD,得出 AB=AC.
解答:
(1)解:作辅助线不能同时满足两个条件;
(2)证明:作△ABC 的角平分线 AD. ∴∠BAD=∠CAD, 在△ABD 与△ACD 中,
∠B =∠C ∠BAD=∠CAD , AD =AD
∴△ABD≌△ACD(AAS) . ∴AB=AC. 点 评 : 本题主要是考查了三角形全等的判定及等腰三角形的性质;题目为阅读理解题,充分利用文字中的提 示是解答本题的关键.
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9 . 考 点 : 等 腰 三 角 形 的 判 定 ;全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质 . 专题:探究型. 分 析 : 要判断△AFC 的形状,可通过判断角的关系来得出结论,那么就要看∠FAC 和∠FCA 的关系.因为 ∠BAD=∠BCE,因此我们只比较∠BAC 和∠BCA 的关系即可.根据题中的条件:BD=BE,∠BAD=∠BCE,△BDA 和 △BEC 又有一个公共角,因此两三角形全等,那么 AB=AC,于是∠BAC=∠BCA,由此便可推导出∠FAC=∠FCA, 那么三角形 AFC 应该是个等腰三角形. 解 答 : 解:△AFC 是等腰三角形.理由如下: 在△BAD 与△BCE 中, ∵∠B=∠B(公共角) ,∠BAD=∠BCE,BD=BE, ∴△BAD≌△BCE(AAS) , ∴BA=BC,∠BAC=∠BCA, ∴∠BAC-∠BAD=∠BCA-∠BCE,即∠FAC=∠FCA. ∴AF=CF, ∴△AFC 是等腰三角形. 点 评 : 本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定等知识点,利用全等三角形来得出角相等是 本题解题的关键. 10 . 考 点 : 等 腰 三 角 形 的 判 定 ;全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质 . 专题:证明题. 分 析 :要证明三角形是等腰三角形,只需证明∠ABC=∠ACB 即可,只要∠5=∠6,只要三角形全等即可,作出 辅助线可证明三角形全等,于是答案可得.
解答:
证明:作 OE⊥AB 于 E,OF⊥AC 于 F,
∵AO 平分∠BAC, ∴OE=OF(角平分线上的点到角两边的距离相等) . ∵∠1=∠2, ∴OB=OC. ∴Rt△OBE≌Rt△OCF(HL) . ∴∠5=∠6. ∴∠1+∠5=∠2+∠6. 即∠ABC=∠ACB. ∴AB=AC. ∴△ABC 是等腰三角形. 点 评 : 此题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定及性质;作出辅助线构建全等的三角形是正确解 答本题的关键.
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