高三数学红对勾答案课时作业5

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课时作业5 不等式

时间：45分钟 分值：100分

一、选择题(每小题6分，共计36分)

11

1．“x

32

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：∵不等式|x－1|

∴()⊆(0,2)，故选A. 32答案：A

112

2．关于x的不等式ax＋bx－2>0的解集是(－∞，－∪(23

∞)，则ab等于( )

A．－24 B．24 C．14 D．－14

解析：由于ax2＋bx－2>0的解集是

11

(－∞，－∪(∞)，

23

112

∴ax＋bx－2＝0的两个根应分别为：－.

23

11b－2＋3a，a＝12，∴∴∴ab＝24.

112b＝2.－＝－23a答案：B

3．下列不等式不一定成立的是( ) A．a2＋b2≥2ab(a，b∈R) B．a2＋3>2a，(a，b∈R)

1

C．|x＋x|>2(x>0) a＋ba＋bD.(a，b∈R)

22

解析：由重要不等式知，A中不等式成立；

由于a2＋3－2a＝(a－1)2＋2>0，B中的不等式恒成立；

a＋b2a2＋b2＋2aba2＋b2a＋ba＋ba＋b根据()＝≤⇒≤||≤，

242222

选项D中的不等式恒成立；

只有选项C中的不等式当x＝1时不成立． 答案：C

11ab

4．设a>0，b>0.若3是3与3的等比中项，则a＋b( )

1

A．8 B．4 C．1 D．4

解析：∵3是3a与3b的等比中项， ∴3)2＝3a·3b.即3＝3a＋b，∴a＋b＝1.

11a＋ba＋bba

此时abab＝2＋ab)≥2＋2＝4(当且仅当a＝b＝1

)，故选B. 2

答案：B

5．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(2,1)，c＝(x，y)，且满足x≥0，y≥0.若a·c≥1，b·c≥1，z＝－(a＋b)·c，则( )

A．z有最大值－2 B．z有最小值－2 C．z有最大值－3 D．z有最小值－3 解析：

图1

2x＋y≥1，

由a·c≥1，b·c≥1知x≥0，

y≥0，

x＋2y≥1，

画出平面区域如图1所示．

11

由题意知z＝－(a＋b)·c＝－3(x＋y)在点M(处取最大值－2，

33

故选A.

答案：A

3x－y－6≤0，

6．设x，y满足约束条件x－y＋2≥0，

x≥0，y≥0，

a2b2

by(a>0，b>0)的最大值为12，则＋( )

94

113

A. B. C．1

D．2 225解析：

若目标函数z＝ax＋

图2

由题可画出满足x，y关系的平面区域如图2.

∵a>0，b>0，∴z＝ax＋by在点M(4,6)处取最大值， ∴4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6. ①

a2b2

设m＋， ②

94

由①②联立得b2－2b＋2－2m＝0.

1

∵b有解，∴Δ＝4－4(2－2m)≥0，解得m≥m的最小值

21

为A. 2

答案：A

二、填空题(每小题8分，共计24分)

x2－2x－3

7．不等式x的解集为________．

x－1

x2－2x－3

解析：原不等式可化为x≥0，

x－1

x＋3即≤0，所以－3≤x

答案：[－3,1)

3

8．已知函数f(x)＝a－2x的图象经过原点，则不等式f(x)>的解

4

集为________．

解析：∵f(x)＝a－2x的图象过原点， ∴a－20＝0.∴a＝1.

3x3又∵f(x)>，即1－2> 441

∴2x

4

答案：(－∞，－2)

9．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一

2

条直线与函数f(x)＝xP，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．

2

解析：假设直线与函数f(x)＝xP，在第三象限内的交点为Q，由题意知线段PQ的长为OP长的2倍．

2

假设P点的坐标为(x0，，

x04

则|PQ|＝2|OP|＝x2＋≥4. 0

x0

当且仅当

42

x0＝，即

x0

x0＝2时，取“＝”．

答案：4

三、解答题(共计40分)

x－a

10．(10分)解关于x的不等式a∈R)．

x－ax－a2

解：

①当a＝0或a＝1时，原不等式的解集为Ø； ②当a1时，aa2，此时a2

综上，当a1时，原不等式的解集为{x|a

11．(15分)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？

解：法1：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，

则依题意得z＝2.5x＋4y，

12x＋8y≥64，

且x，y满足6x＋6y≥42，

6x＋10y≥54，

x≥0，y≥0，

3x＋2y≥16，

即x＋y≥7，3x＋5y≥27.

x≥0，y≥0，

z在可行域的四个顶点A(9,0)，B(4,3)，C(2,5)，D(0,8)处的值分

别是zA＝2.5×9＋4×0＝22.5，

图3

zB＝2.5×4＋4×3＝22， zC＝2.5×2＋4×5＝25， zD＝2.5×0＋4×8＝32.

比较之，zB最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．

法2：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，

则依题意得z＝2.5x＋4y，

12x＋8y≥64，

且x，y满足6x＋6y≥42，

6x＋10y≥54，

x≥0，y≥0，

3x＋2y≥16，

即x＋y≥7，3x＋5y≥27.

x≥0，y≥0，

让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知

z＝2.5x＋4y在B(4,3)处取得最小值．

因此，应该为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．

12．(15分)(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点

→∥OA→，MA→·→＝A(0，－1)，B点在直线y＝－3上，M点满足MBAB→·→，M点的轨迹为曲线C. MBBA

(1)求C的方程； (2)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．

解：(1)设M(x，y)，由已知得B(x，－3)，A(0，－1)．

→＝(－x，－1－y)，MB→＝(0，－3－y)， 所以MA

→＝(x，－2)． AB

→＋MB→)·→＝0， 再由题意可知(MAAB

即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0.

12

所以曲线C的方程为y＝－2.

4

121

(2)设P(x0，y0)为曲线C：y－2上一点，因为y′＝x，所

42

1

以l的斜率为0.

2

因此直线l的方程为

1

y－y0＝x0(x－x0)，

2

2

即x0x－2y＋2y0－x0＝0.

2

|2y0－x0|

则O点到l的距离d＝x0＋4

12

又y0＝x0－2，所以

412

x＋42014d＝x0＋4＋≥2，

x0＋42x0＋4

当x0＝0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.