三角形面积比解题举例
三角形面积比解题举例
三角形的面积比有下面的定理：等高（或底边）的两个三角形面积之比等于它们的底边（或高）之比。由此容易证明下列结论：
结论1：如图1，
S ∆ABD S ∆BDE S ∆ABE BD
===； S ∆ACD S ∆CDE S ∆ACE CD
DE S ∆BCE DE S ∆BEC
=；=； S ∆ABC AD S ∆AEB +S ∆AEC AE
C D
结论2：如图1 ，
BC S
结论3：如图2，若A D ∥BC, 则∆ABC =.
S ∆ACD AD
D A
图1
例1. 如图3，在△ABC 中，点D 、F 分别在 AB 上，点E 在AC 上，且
AF COE 与△FD B
图2
C
DOF 的面积相等，求
S ∆EAF
的值。 S ∆EOF
B
图3
C
解：∵△COE 与△DOF 的面积相等， ∴△DF C 与△CED 的面积相等，
∴点E 、F 到CD 的距离相等，∴EF ∥CD ， ∴
CO CD AD DF 1
===1＋=1＋1÷ FO EF AF AF 2
且有
AE AF AE AF S 1
=，∴∆AEF ===…①， EC FD S ∆CEF EC FD 2
FC CO S S 而∆CEF ==1＋=1, 将①×②得∆EAF =2FO S ∆EOF FO S ∆EOF
评析最终攻克本题。
例2. 如图4，在△ABC 中，点D 、E 分别在AC 、BC 上，
BC=3CE,AC=4CD,BD与AE 交于点O ，连接CO 并延长交AB 于图4
点F ，△COE 的面积为3，求△ABC 的面积。
解：设△COD 的面积为x ，而AC=4CD，则△AOD 的面积为3x. 又△COE 的面积为3，BC=3CE，则△BOE 的面积为6，从而有
S ∆ABC =4S∆BCD =4(9＋x) ，S ∆ABC =3S∆AEC =3(4x＋3) ， 4(9＋x)= 3(4x＋3) ，∴x=
27
, 8
2799)=. 82
评析：虽然点D 、E 是三角形两边的分点，但还需要设一个未知数，再利用结论沟通整体与部分的关系，从而列出方程，求三角形的面积便水到渠成。
例3. 如图5，点P 为∠MON 内任意一点，过点P 的直线分别交∠MON 的两边于点A 、B ，再过点P 作P E ∥OM, 交ON 于点N ，
∴S ∆ABC =4(9＋
求证：
1S ∆OEP
=
1S ∆OBP
＋
1S ∆OAP
.
BE PE OE s
证明：∵P E ∥OM ，∴=. 而∆OEP =…①,
OB OA s ∆OBP OB S ∆OEP PE s ∆OEP S ∆OEP OE
=…②, ①＋②得：＋=＋S ∆OAP OA s ∆OBP S ∆OAP OB
图5
BE OB PE OE s S 111
=＋==1，即∆OEP ＋∆OEP =1，∴=＋.
OB OB OA OB s ∆OBP S ∆OAP S ∆OEP S ∆OBP S ∆OAP
评析：先将结论化为
s ∆OEP S
＋∆OEP =1，三角形面积比的上述关系式立现，平s ∆OBP S ∆OAP
行线的性质亦等着你，还要运用结论4的面积比，使问题走向顺风满帆。
例4. 如图6，设P 为△ABC 内一点，将顶点A 、B 、C 和点P 分别连接起来，
PD PF PE
并延长这些线段分别与对边相交，交点为D 、E 、F ，求证＋＋=1.
AD BE CF
证明：∵
PD S ∆PBC PF PE S S
=…①, =∆PCA …②, =∆PAB …③ AD S ∆ABC CF BE S ∆ABC S ∆ABC
PD PF S ∆PBC +S ∆PCA +S ∆PAB PE
＋＋== AD BE CF S ∆ABC
E C
将①＋②＋③得：
B
D
图6
评析:题目中没有平行线，也没有相似三角形，难以得到比例线段，三角形面积比关系式在这里便发挥了巨大的作用，将比例的和转化为面积的和，一下子便柳暗花明。
例5. 如图6，P 是△ABC 内一点，BP ，CP ，AP 的延长线分别与AC ，AB ，BC 交于点E ，F ，D 。考虑下列三个等式： （1）
CE AB PF S +S ∆APC AB S ∆ABP BD
=； （2）∆BPC =；（3）××=1.
BF AE BF PC S ∆APC CD S ∆BPC
PD PF PE S ∆ABC
=1，∴＋＋=1.
AD BE CF S ∆ABC
其中正确的有（ ）
（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个
解：显然（1）正确；因
AB S ∆ABC S ∆ABP S ∆ABC -S ∆ABP S ∆BPC +S ∆APC
==== ，BF S ∆BFC S ∆BFP S ∆BFC -S ∆BFP S ∆BPC
则（2）正确；
CE AB PF S ∆BPC S +S ∆APC S ∆APB
××=×∆BPC ×=1,则（3）AE BF PC S ∆APB S ∆BPC S ∆APC +S ∆BPC
正确 。
因此，答案选（D ）.
评析：这是某市某年的一道竞赛试题，三个等式的证明用到了结论1～2，如果对三角形面积比不熟悉，那么解决本题将会受阻。