穷则思思则变变则通

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数学教学研究第３３卷第９期２０１４年９月

穷则思，思则变，变则通

孙东杰

（甘肃省玉门市第一中学７３５２１１）

古人云：穷则思，思则变，变则通．意思面案例阐明变通在解题中的作用．（２０１１年高考陕西理１０题）甲乙两人一

同在一个景点的概率是（

）．

１

１

Ｃ

１

（Ａ）壶（Ｂ）言（ｃ）盖（Ｄ）言

１．１师生交流过程

学生思路：该问题如同抛骰子，将两颗骰子一次抛出，则点数相同的概率即为本题最后１小时他们同在一个景点的概率，即Ｐ＝

１

÷，故选Ｄ．

Ｕ

教师质疑：（担心学生没理解题意）题目

意思是每次各自独立地从１到６号景点中任选４个进行游览，首先游览４个景点，其次４个景点不重复，而抛骰子只进行了一次，被认为是最后１小时游览景点的情形，忽视了前３次游览情况．

学生解释：前３景点游览与否与结果没有关系，起决定作用的只有第４景点，如同抛

万方数据

教师问道：模拟抛骰子中，前３次抛了此时，学生沉默，好像无力争辩，接下来

问题得到充分理解，不假思索的给出以下问问题１若从１到６号景点中任选３个时他们同在一个景点的概率是？

问题２任选５个进行游览呢？

通过计算，面对选择３，４，５个景点游览而最终概率一致的情况，学生有种肯定自己学生发现以下推广．１．２问题推广

甲乙两人各自独立地从１到竹号景点中任选ｍ个进行游览，每个景点参观１小时，则最后１小时他们同在一个景点的概率是

Ｐ＝＝

吣氏：

ｎ‘

此时，学生起初的想法与简单结论在脑海中回荡，不断促使对两种过程沟通融合，经仔细揣摩，对推广有新的理解：先让甲在，ｚ号景点中任选ｍ处游览，记最后一次游览为景

是：当事物发展到极点的时候，便想到要加以变化，以求通达．后多指人在困境时就会设法改变现状以求发展．可见，变通在人生道路上何其重要．数学解题也如此，面对数学题目分析困难，解答受挫，计算难以进行时，只有通

骰子，前３次抛与未抛都一样，自己仍然觉得ｐ＝１６．

么？若抛了，前３次产生结果是否对第４次结果有影响？若出现“１—２—３—１”的情形，将如何看待？

过努力思考，反复变通题意，抓住问题本质，

从中探究方法，方能帮助理解并解决问题．下１题目１

教师给出正确答案Ｐ＝等会皆一吉，为了使

题：

进行游览，每个景点参观ｌ小时，则最后１小起去游“２０１１西安世园会”，他们约定，各自

独立地从１到６号景点中任选４个进行游

览，每个景点参观１小时，则最后１小时他们起初时的认识与立场，还有种将题目推广开来，看看一般情形的冲动，在教师的鼓励下，

第３３卷第９期２０１４年９月数学教学研究

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点ａ，乙最后１小时在景点口处游览，其概率

为土．

咒

１．３对学生模拟抛骰子解题答案的过程改进及“说谎式”变通

和学生相互探讨中，对该题目有了以下共识：因为甲乙相互独立，所以甲先抛骰子，第１次抛得结果记为ａ。，第２次抛得结果若为ａ，，则重新抛骰子，否则记为口：，第３次抛得结果若为ａ。或ａ：则重新抛，否则记为ａ。，同理第４次抛得结果记为ａ。．乙后抛骰子，前３次抛得口。或出现重复结果则取消，直到第４次抛得ａ。时，才视为甲乙最后１小时同

１

在一景点，概率为÷．

ｏ

此时，感觉该解答不具说服力，于是在困惑中思考，思考中变通，得到以下学生更易接受和理解的“说谎”式变通过程：

问题３

游览中，甲由于碰见一位朋友

耽误１小时，于是在游览中为了赶时问将第１，２景点的时间各压缩半小时，最后在同一景点的概率是？

问题４

游览中，甲由于碰见一位朋友

耽误两小时，于是在游览过程中在要去的第１，２景点门口拍照后便去第３，４景点游览．最后在同一景点的概率是？

问题５

游览中，甲碰见几位要好的朋

友聊天，发现时已过４小时，此时甲直奔某一景点，而随机说谎称游览４景点，最后在同一景点的概率是？

问题６

游览中，甲由于耽误４小时而

说谎称已游览４景点，将最后游览景点电话告知老师后，问老师甲和乙在同景点的概率是多少？

问题７

游览中，甲乙都说谎称游览４

景区，甲电话告知老师并问老师甲乙最后在同一景点的概率是多少（乙没有告知老师）？

万方数据

通过以上问题３至问题７对题目逐渐进行“说谎式”变通，学生发现问题本身没有改变．而面对问题的解答与理解则渐进渐深，问题３问题４只是压缩了游览时间，而问题５随机说谎称游览４景点，没改变题目ｌ的本质，特别是问题６说谎称游览４景点，但只告诉老师最后游览的景点，若老师问前３处游览哪里？甲还可以随机说谎．问题７对老师来说解答直观简洁．从问题３到问题７的变通，即逐渐走向学生易于理解又不失题目本质，值得回味与思考．

２题目２

甲乙两人分别有两红一白３面旗子，各自独立的挂在自己旗杆的上中下位置，以旗子颜色顺序相同表示相同信号，则相同信号的概率是多少？

学生解答：Ｐ一秀ｂ２寺・其３指白色旗

子的位置上中下３种．

２．１

在“红绿色盲式”变通中更正题解问题１

甲乙两人分别有红绿白３面旗

子，各自独立的挂在自己旗杆的上中下位置，以旗子颜色顺序相同表示相同信号，则相同信号的概率是多少？

学生解答：Ｐ＝旦Ａ３Ａ３一吉．

问题２

甲乙两人分别有红绿白３面旗

子，各自独立的挂在自己旗杆的上中下位置，以白色旗子颜色顺序相同表示相同信号，则相同信号的概率是多少？

学生解答：Ｐ＝糕一丢．

问题３・若问题１中甲乙为红绿色盲，则甲乙观察信号相同的概率是多少？

学生解答：Ｐ一躐一丢．

在以上问题解答的背景下，教师引导学生将题目２与问题进行沟通，此时，学生才恍

然大悟，发现题目２解错了，原来题目２中两面红旗（其实为一面红旗，一面绿旗），是因为甲乙都为“红绿色盲”而已．肯定了题目２与问题２，３一致后，题目２的解答错在哪里呢？（由于时间原因，探讨中断，让学生接着反思与总结）

２．２学生写给老师的总结信

老师，您好：您对该题的引导解答，我对以下两个方面有了深刻的认识：首先觉得变通题意是解决问题的有利法宝，每当解题遇到困难时，要学会思考变通题目，正如您所说“穷则思，思则变，变则通”．其次，该问题初次解答为什么错了呢？经过对比问题１，２，３

后，发现对古典概型中基本事件的认识不到位，错误的理解为“不同结果”对应的事件为“基本事件”，而忽视了基本事件的概念特

征——每个基本事件发生的可能性是相等

的．问题２中甲乙各有两面红旗，但这两面红旗虽然颜色形同，但毕竟是不一样的，因此两面红旗的挂法是有顺序的，不同顺序的挂法代表不同的基本事件，若将红色旗子不加以区分，可能导致基本事件的概率不相等，不能用古典概型计算事件发生的概率．像这样的概念性问题，在以后的解题中我应努力做到回归概念，严把概念关．

（收稿日期：２０１３—１２—２８）

放学殷亏研究

（月刊，公开发行，１９８２年创刊）

２０１４年９月第３３卷第９期（总第２６５期）

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