第四节 函数展开成幂级数

第四节 函数展开成幂级数

一、泰勒级数

前面讨论了这样一个问题，对于给定的幂级数，求出其收敛域并确定其和函数的性质，并在可能时求出和函数的表达式。这节我们讨论该问题的反问题：给定函数f (x )，要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”，即是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数f (x )。（如果能够找到这样的幂级数，就说f (x )在该区间内可展开成幂级数。）解决这个问题有很重要的应用价值，因为它给出了函数f (x )的一种新的表达方式，并使我们可以用简单函数——多项式来逼近一般函数f (x )。

在第三章中我们已经学过

泰勒公式：若函数f (x )在点x 0的某一邻域内具有直到(n +1)阶的导数，则在该邻域内f (x )的n 阶泰勒公式：

f (x )=f (x 0)+f '(x 0)(x -x 0)+

f ''(x 0)(x -x 0)2+

2!

(1)

f (n )(x 0)(x -x 0)n +R n (x ) +

n !

成立，其中R n (x )为拉格朗日型余项。

f (n +1)(ξ)(x -x 0)n +1 R n (x )=

n +1!

（ξ在x 0与x 之间）

如果令x 0=0，就得到马克劳林公式：

f ''(0)2f (n )(0)n

f (x )=f (0)+f '(0)x +x + +x +R n (x )

2! n !

（2）

201

此时，

f (n +1)(θx )n +1

R n (x )=x

n +1!

（0

公式说明，任一函数只要有直到(n +1)阶的导数，就可等于某个n 次多项式与一个余项的和。

下列幂级数

f ''(0)2f (n )(0)n

f (0)+f '(0)x +x + +x +

2! n !

（3）

我们称为马克劳林级数。那么它是否以函数f (x )为和函数呢？ 若令马克劳林级数（3）的前n +1项和为s n +1(x )，即

f ''(0)2f (n )(0)n

s n +1(x )=f (0)+f '(0)x +x + +x

2! n !

那么，级数（3）收敛于函数f (x )的条件为

lim s n +1(x )=f (x )

n →∞

由马克劳林公式与马克劳林级数的关系，可知

f (x )=s n +1(x )+R n (x )

n →∞

n →∞

于是，当lim R n (x )=0时，有lim s n +1(x )=f (x )。 反之，若lim s n +1(x )=f (x )，必有lim R n (x )=0。

n →∞

n →∞

这表明，马克劳林级数（3）以f (x )为和函数的充要条件，是马克劳林公式（2）中的余项R n (x )→0（当n →∞时）。

这样，我们就得到了函数f (x )的幂级数展开式：

f ''(0)2f (n )(0)n

f (x )=f (0)+f '(0)x +x + +x +

2! n !

（4）

202

它就是函数f (x )的幂级数表达式。也就是说，函数的幂级数展开式是唯一的。事实上，假设函数f (x )可以表示为幂级数

f (x )=∑a n x n =a 0+a 1x +a 2x 2+ +a n x n +

n =0

∞

（5）

那么，根据幂级数在收敛域内可逐项求导的性质，再令x =0（幂级数显然在x =0点收敛），就易得到：

f ''(0)f (n )(0)，„，a n =，„ a 0=f (0)，a 1=f '(0)，a 2=

2! n !

将它们代入（5）式，所得与f (x )的马克劳林展开式（4）完全相同。

综上所述：如果函数f (x )在包含零的某区域内有任意阶的导数，且在此区域内

的马克劳林公式中的余项以零为极限（当n →∞时），那么，函数f (x )就可展开成如（4）式的幂级数。当然，幂级数：

f ''(x 0)f (n )(x 0)2

(x -x 0)+ +(x -x 0)n + f (x )=f (x 0)+f '(x 0)(x -x 0)+

2! n !

称为泰勒级数。

二、函数展开成幂级数

将一个函数展开成泰勒级数的基本方法是由系数公式计算系数a n ，然后证明泰

勒公式的余项当n →∞时趋于零。 我们先来得到几个基本初等函数的幂级数展开式 例1 解： 因此f

(n )

将函数f (x )=e 展开成x 的幂级数。

x

所给函数的各阶导数为f

(n )

(x )=e x （n =1, 2, ）

(n )

，这里f (0)=f (0)。于是得级数 (0)=1（n =1, 2, ）

x 2x n

1+x ++ ++ ，

2! n !

203

它的收敛半径R =+∞。

对于任何有限的数x 、ξ（ξ在0和x 之间），余项的绝对值为

x e ξx n +1

R n (x )=x

n +1! n +1!

因e

x

n +1

有限，而

x

n +1

n +1!

是收敛级数

∑n +1! 的一般项，所以当n →∞时，

n =0

∞

x

n +1

e ⋅

x

x

n +1

n +1!

→0，即当n →∞时，有R n (x →0。于是得展开式：

x 2x n

e =1+x ++ ++

2! n !

x

（-∞

（6）

例2 解：

将函数f (x )=sin x 展开成x 的幂级数。 所给函数的各阶导数为

π⎫⎛

f (n )(x )=sin x +n ⋅⎪ （n =1, 2, ）

2⎭⎝

， f (n )(0)顺序循环地取0,1,0,-1, „（n =0, 1, 2, 3, ）于是得级数

x 3x 5x 2n -1n -1

x -+- +(-1)+ ，

2n -1! 3! 5!

它的收敛半径R =+∞。

对于任何有限的数x 、ξ（ξ在0和x 之间），余项的绝对值 当n →∞时的极限值为零：

(n +1)π⎤⎡

sin ⎢ξ+n +1

⎥x 2⎣⎦x n +1≤R n (x )=→0 （n →∞）

n +1! n +1!

因此得展开式：

204

x 3x 5x 2n -1n -1

（7） sin x =x -+- +(-1)+ （-∞

2n -1! 3! 5!

这种运用马克劳林公式将函数展开成幂级数的方法，运算常常过于烦琐，因此

人们普遍采用下面比较简便的展开法。

在此之前我们已经得到了函数

1x

，e 及sin x 的幂级数展开式，运用这几个1-x

已知的展开式，通过幂级数的运算，可以求得许多函数的幂级数展开式。这样做不但计算简单，而且可以避免研究余项。这种求函数的幂级数展开式的方法称为间接展开法。 例3 将函数cos x 展开成x 的幂级数。 解： 本题可按例2直接方法展开。但如果应用间接方法，则比较简便。事实上，对展开式（7）逐项求导得：

2n

x 2x 4n x

cos x =1-+- +(-1)+ （-∞

2n ! 2! 4!

例4 解：

将函数f (x )=ln (1+x )展开成x 的幂级数。 注意到ln (1+x )=⎰

111

，而函数的展开式可通过的幂级数01+x 1+x 1-x

x

展开式中的x 改写成-x 得到。

1n

=1-x +x 2- +(-1)x n + 1+x

（-1

将上式两边同时积分得：

n +1

1213n x

ln (1+x )=x -x +x - +(-1)+

23n +1

因为幂级数逐项积分后收敛半径不变，所以上式右端级数的收敛半径仍为R =1；而

当x =-1时该级数发散，当x =1时，该级数收敛。故收敛域为-1

(1+x )m

=1+mx +

m (m -1)2m (m -1) (m -n +1)n

x + +x + 2! n !

（-1

证明这里从略。

关于

1m x

，e ，sin x ，cos x ，ln (1+x )和(1+x )的幂级数展开式，以后可1-x

以直接引用。

205

例5

将函数sin x 在x =因为在x =

π

4

处展开成幂级数。

解：

π

4

处展开即是展开成 x -

⎛⎝

π⎫

⎪的幂级数，又 4⎭

⎡π⎛π⎫⎤

sin x =sin ⎢+ x -⎪⎥

4⎭⎦⎣4⎝

=sin

π

π⎫π⎛π⎫⎛

cos x -⎪+cos sin x -⎪ 44⎭4⎝4⎭⎝

=

1⎡⎛π⎫π⎫⎤⎛cos x -+sin x - ⎪ ⎪⎥ ⎢4⎭4⎭⎦2⎣⎝⎝

并且有（见例2，例3）

⎛⎛

x -⎪ x -⎪

π4⎭4⎭⎛⎫

cos x -⎪=1-⎝+⎝+

4⎭2! 4! ⎝

3

5

π⎫

2

π⎫

4

（-∞

π⎫⎛π⎫⎛

x -⎪ x -⎪

π⎫⎛π⎫4⎭4⎭⎛

sin x -⎪= x -⎪-⎝+⎝+ （-∞

443! 5! ⎝⎭⎝⎭

所以

23

⎡⎤π⎫π⎫⎛⎛

x -⎪ x -⎪⎢⎥

1⎢⎛π⎫⎝4⎭4⎭⎝sin x =1+ x -⎪--+ ⎥（-∞

例6

将f (x )=

1

展开成(x +1)的幂级数。

x 2-4x +3

解：

由于f (x )=

111⎛11⎫

==- ⎪ 2

x -4x +3x -1x -32⎝x -3x -1⎭

⎡⎤1⎢1111⎥

=⎢-⋅+⋅

x +12x +1⎥2⎢4⎥1-1-

⎢⎥42⎦⎣

206

=

1⋅4

111

-⋅

x +18x +11-1-

24

n

而

∞

1⎛x +1⎫

=∑ ⎪ x +1n =0⎝2⎭1-

2∞

1⎛x +1⎫

=∑ ⎪ x +1n =0⎝4⎭1-

4

n

（-3

（-5

∞

11⎫⎛1n

所以f (x )=2=∑ n +2-2n +3⎪(x +1)

x -4x +3n =0⎝22⎭

（-3

习题 11-4

1． 利用间接展开法，将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间。 （1）a （a >0, a ≠1） （3）sin x

2

x

（2）ln (2-x ) （4）

1

1+x 1

2

（5）(1+x )ln (1+x )

（6）

+x

2

（7）

x

2

2x +3x -2

2． 将函数f (x )=cos x 展开成 x +3． 将函数f (x )=

⎛⎝

π⎫

⎪的幂级数。 3⎭

1

展开成(x -3)的幂级数。 x

1

4． 将函数f (x )=2展开成(x +4)的幂级数。

x +3x +2

207

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