2013等差等比数列高考题_(学生版详细答案)
2013等差数列高考题
a 2=2,a 3=4, 则a 101. (重庆文1)在等差数列{a n }中,
=
A .12 B .14 C .16 D .18 2. (重庆理11)在等差数列{a n }中,
和,n ∈N ,若a 3=16, S 20=20, 则S 10的值为_______
11. (湖北理科13文科9)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节
的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为 升.
*
12. (湖南理科12)设S n 是等差数列{a n }(n ∈N ) 的前
*
a 3+a 7=37,则a 2+a 4+a 6+a 8=____
3. (江西文科5). 设{a n }为等差数列,公差d =-2,
n 项和,且a 1=1, a 4=7,则S 5=______
S n 为其前n 项和. 若S 10=S 11,则a 1=( )A.18 B.20
C.22 D.24
4. (辽宁文15)S n 为等差数列{a n }的前n 项和,
S 2=S 6,a 4=1,则a 5=____________。
5(广东11)等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和.若a 1=1,a k +a 4=0,则k =
6. (江西理科5)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n +S m =S n +m , 且a 1=1, 那么a 10= ( ) A. 1 B. 9 C. 10 D. 55
7. (四川理科8)数列{a n }的首项为3,{b n }为等差数列且b *
n =a n +1-a n (n ∈N ) . 若则b 3=-2,b 10=12,则a 8
(A )0 (B )3 (C )8 (D )11
8. (天津理4)已知{a n }为等差数列,其公差为-2,
且a 7是a 3与a 9的等比中项,S n 为{a n }的前n 项和,n ∈N *
,则S 10的值为 A .-110B .-90 C .90 D .110
9. (全国大纲理4、文6)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公差d =2,S k +2-S k =24,则k = (A )8 (B )7 (C )6 (D )5
10. (天津文11)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项
13. (江苏13)设1=a 1≤a 2≤…≤a 7,其中a 1, a 3, a 5, a 7
成公比为q 的等比数列,a 2, a 4, a 6成公差为1的等差数列,则q 的最小值是 . 14. (陕西理14)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为 (米). 15. (陕西文10)
植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人
植一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳....坑位的编号为( ) (A) ⑴和⒇(B )⑼和⑽(C) ⑼和 ⑾(D) ⑽和⑾ 16. (福建文科17)已知等差数列{a n }中,
a 1=1, a 3=-3
(I )求数列{a n }的通项公式;
(II )若数列{a n }的前k 项和S k =-35,求k 的值. 17. (辽宁理17)已知等差数列{a n }满足a 2=0,
a 6+a 8=-10
(1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列⎨
⎧a n ⎫
⎩2n -1⎬⎭
的前n 项和。 18. (江西理科18)已知两个等比数列{a n },{b n },满
足
a 1=a (a >0), b 1-a 1=1, b 2-a 2=2, b 3-a 3=3.
(1)若a =1,求数列{a n }的通项公式; (2)若数列{a n }唯一,求a 的值.
19. (四川文科20)已知{a n }是以a 为首项,q 为公比的等比数列,S n 为它的前n 项和.
(1)当S 1、S 3、S 4成等差数列时,求q 的值; (2)当S m 、S n 、S l 成等差数列时,求证:对任意自然数k ,a m +k 、a n +k 、a l +k 也成等差数列. 1. 答案:D
解析:由等差数列的通项公式容易知a n =2(n -1) ,
∴a 10=2⨯9=18
2. 答案:74
解析:有等差数列的性质得:
a 2+a 4+a 6+a 8=2(a 3+a 7) =74
3. 答案:B 解析: S 10=S 11, 则a 11=0,
∴a 11=a 1+10d =0, ∴a 1=20
4. 答案:-1
5. 方法1:由S 9=S 4得9+36d =4+6d ,求得
d =-1
6
,则
a ⨯(-11
k +a 4=1+(k -1) 6) +1+3⨯(-6
) =0,解得
k =10
方法2:由S 9=S 4得a 5+a 6+a 7+a 8+a 9=0,即5a 7=0,a 7=0,即a 10+a 4=2a 7=0,即k =10 6. 答案:A 解析: 令m =1,则
S n +1-S n =S 1=a 1=1,∴{S n }是等差数列,则有S n =S 1+(n -1) =n ,∴a 10=S 10-S 9=1
7. 答案:B
解析:{b n }为等差数列,设公差为d ,则
d =
b 10-b 310-3=14
7
=2,
∴b n =b 3+(n -3) ⋅2=2n -8
∴a 8=(a 8-a 7) +(a 7-a 6) + +(a 2-a 1) +a 1=b 7+b 6+ +b 1+a 1
=
7(b 1+b 7)
2
+a 1=7a 4+a 1=a 1=3 8. 答案:D 9. 【答案】D
【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.
【解析】解法一
S k +2-S k =[(k +2) ⨯1+
(k +2)(k +1) 2⨯2]-[k ⨯1+k (k -1)
2
⨯2]=4k +4=24,解得k =5.
解法二:
S k +2-S k =a k +2+a k +1=[1+(k +1) ⨯2]+(1+k ⨯2) =4k +4=24,
解得解得k =5.
10. 答案:110 11. 【答案】
67
66
解析:设该数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,依题意
⎧⎨
a 1+a 2+a 3+a 4=3
⎧⎨
4a 1+6d =3
,⎩a 7
+a ,即8+a 9=4⎩3a 1
+21d =4解得⎧⎪⎪a 1+7d =4⎨
3
,则 ⎪⎪⎩
d =766a 5=a 1+4d =a 1+7d -3d =
43-2166=67
66
,所以应该填
6766
. 12. 答案:25
解析:由a 1=1, a 4=7可得
a 1=1, d =2, a n =2n -1,
所以S (1+9) ⨯5
5=
2
=25。 13. 答案:3
解析:由1=a 1≤a 2≤…≤a 7得:
1≤a 2≤q ≤a 2+1≤q 2≤a 2+2≤q 3,又a 2≥1
所以q ≥1且q 2≥2且q 3
≥3,故q ≥3。
14. 【分析】把实际问题转化为数学模型, 然后列式转化为函数的最值问题. 【解】(方法一)设树苗放在第i 个树坑旁边(如图),
1 2 „ i „ 19 20 那么各个树坑到第i 个树坑距离的和是
s =(i -1) ⨯10+(i -2) ⨯10+ +(i -i ) ⨯10+[(i +1) -i ]⨯10+ +(20-i ) ⨯10
(方法二)根据图形的对称性,树苗放在两端的树坑旁边,所得路程总和相同,取得一个最值;所以从两端的树坑向中间移动时,所得路程总和的变化相同,最后移到第10个和第11个树坑旁时,所得的路程总和达到另
=10⨯[i ⨯i -
i (i +1) (20-i )(2-i ⨯(20-i ) +i +1+20)
2
]=10(i 2-21i +210) ,所以当i =10或11时,s 的值最
小,最小值是1000,所以往返路程的最小值是2000米.
(方法二)根据图形的对称性,树苗放在两端的树坑旁边,所得路程总和相同,取得一个最值;所以从两端的树坑向中间移动时,所得路程总和的变化相同,最后移到第10个和第11个树坑旁时,所得的路程总和达到另一个最值,所以计算两个路程和即可。树苗放在第一个树坑旁,则有路程总和是
10⨯(1+2+ +19) ⨯2=10⨯
19(1+19)
2
⨯2=3800;树苗放在第10个(或第11个)树坑旁边时,路程总和是
10⨯(1+2+ +9) +10⨯(1+2+ +10) ⨯2
=10⨯
9⨯(1+9) ⨯2+10⨯10⨯(1+10)
2
⨯2=900+1100=2000,所2以路程总和最小为2000米.
15. 【分析】根据选项分别计算四种情形的路程和;或根据路程和的变化规律直接得出结论. 【解】选D (方法一)
=
一个最值,所以计算两个路程和进行比较即可。树苗放在第一个树坑旁,则有路程总和是
10⨯(1+2+ +19) ⨯2=10⨯
19(1+19)
2
⨯2=3800;树苗放在第10个(或第11个)树坑旁边时,路程总和是
10⨯(1+2+ +9) +10⨯(1+2+ +10) ⨯2
=10⨯
9⨯(1+9) 10⨯2⨯2+10⨯(1+10)
2
⨯2 =900+1100=2000,所以路程总和最小为2000米. 16. 解:(1)a n =3-2n ;(2)k =7。
17. 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由已知条件可得:⎨
⎧a 1+d =0
,解得⎧⎩2a ⎨a 1=11+12d =-10
⎩d =-1
故数列{a n }的通项公式为a n =2-n ; (2)设数列⎨
⎧a n ⎫
⎩2n -1⎬⎭
的前n 项和为S n ,即S a 2n =a 1+
2+a 3
a 22+ +n 2n -1
,故S 1=1,所以当n >1时,S n 2=a 12+a 222+ +a n -1a n 2n -1
+2n ,两式相减有: S n a -a n -a n -1a n 2=a +2a 1a 3-a 212+22+ +2n -1-2n ,
又a n -a n -1=-1所以
S n =a 111
a 1-(2+22+ +2n -1) -n 22n
1[1-(1
) n -1
=1-2-n n 1-1-2n =2n
2 所以S n
n =2
n -1
.18. 解:(1)当a =1时,
为等比数列,不妨设{a n }公比为q 1,由等比数列性质
22
知: b 2=b 1b 3⇒(2+a 2) =2(3+a 3),同时又有
22222a 2=a 1q 1, a 3=a 1q 1⇒(2+a 1q 1)=2(3+a 1q 1)⇒(2+q 1)=2(3+q 1)⇒q 1=22
n -1
所以:a n =2±2, n ≥1
(2){a n }要唯一,∴当公比q 1≠0时,由
b 1=1+a , b 2=2+a 2, b 3=3+a 3且
2
b 2=b 1b 3⇒
222
(2+aq 1)=(1+a )3+aq 1⇒aq 1-4aq 1+3a -1=
2
,(*) a >0∴aq 1-4aq 1+3a -1=0
2
∴∆=(4a )-4a (3a -1)=4a (a +1)>0恒成立,
此时(*)式有两个不同的实数解,若要使(*)式符合条
件的解只有一个,则方程必有一个根为零,∴当公比
11
q 1=0时,a =。等比数列{a n }首项为a =,此时 33
1
q 1=4。综上:a =。 3
19. 本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基
本运算能力和分析问题、解决问题的能力.
-1
解:(1)由已知,a n =a n q ,因此S 1=a ,
S 3=a (1+q +q 2) ,S 4=a (1+q +q 2+q 3) .
当S 1、S 3、S 4成等差数列时,S 1+S 4=2S 3, 可得aq 3=aq +aq 2. aq ≠0
2
∴q -q -1=
0.解得q =. (2)若q =1,则{a n }的每项a n =a ,此时a m +k 、
a n +k 、a l +k 显然成等差数列.
若q ≠1,由S m 、S n 、S l 成等差数列可得
a (q m -1) a (q l -1) 2a (q n -1)
S m +S l =2S ,即. +=n q -1q -1q -1
q l 2q n 因此,整理得q m +=.
a m +k +a l +k =aq k -1(q m +q l ) =2aq n +k -1=2a n +k .
所以,a m +k 、a n +k 、a l +k 也成等差数列.
, b n }b 1=1+a =2, b 2=2+a 2, b 3=3+a 3,又 {a n }{
()
()
40. 等差数列的通项公式
a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *) ;
其前n 项和公式为
s n (a 1+a n ) n =
2=na n (n -1)
1+2d =d 2n 2+(a 1
1-2d ) n . 41. 等比数列的通项公式
a 1n =a n -11q =
a q
⋅q n
(n ∈N *) ; 其前n 项的和公式为
⎧a 1(1-q n )
s ⎪
q , q ≠1n =⎨1-
⎪⎩na 1
, q =1⎧a 1-a n q
或s ⎪
⎨1-q , q ≠1n =.
⎪⎩na 1
, q =142. 等比差数{a n }:a n +1=qa n +d , a 1=b (q ≠0) 的通项公式为⎧b +(n -1) d , q =1a ⎪
n =⎨⎪bq n +(d -b ) q n -1-d ⎩
q -1, q ≠1;
其前n 项和公式为
⎧nb +n (n -1) d ,(s ⎪q =1)
n =⎨⎪d 1-q n ⎩
(b -d
. 1-q ) q -1+1-q n ,(q ≠1) 列