如何求与圆有关的阴影部分的面积
如何求与圆有关的阴影部分的面积
江苏 刘 顿
与圆有关的“阴影部分”的面积的求解是历年各地中考的一个必须掌握的知识点,求解时既可以根据图形的特点,将其分解转化为扇形、弓形、三角形、平行四边形、梯形等图形的组合来求解,也可根据其特点,灵活巧妙地运用一些方法技巧,可使问题化繁为简,化难为易,收到事半功倍的奇效,现以2007年中考试题为例说明如下,供同学们学习时参考.
例1(乐山市)如图1,半圆的直径AB=10,P为AB上一点,点C,D为半圆的三等分点,则阴影部分的面积等于_______. 分析 要求图形中阴影部分的面积,由于这个阴影部分不是一个规则的图形,难以直接套用公式求解,但考虑C,D为半圆的三等分点,若连结CD,则可知CD∥AB,这样可用等积变换,将点P移到点O,此时扇形COD的面积就等于阴影部分的面积.
解 连结CD、OC、OD.
因为点C,D为半圆的三等分点,所以CD∥AB,且∠COD=60°.
所以△CPD的面积=△COD的面积,即阴影部分的面积=扇形COD的面积. 而扇形COD的面积=
60π5360
2
图1
=
25π6
,所以阴影部分的面积等于
25π6
.
例2(济宁市)如图2,从P点引⊙O的两切线PA、PB,A、B为切点,已知⊙O的半径为2,∠P=60°,则图中阴影部分的面积为 .
分析 显然要求图中阴影部分的面积是难以直接求解的,但考虑PA、PB是圆的两条切线,则可以连结OA、OB、OP,即可得到两个全等的直角三角形,此时阴影部分的面积等于两个直角三角形的面积和减去扇形AOB的面积,而扇形的圆心角∠AOB
图2
=180°-∠APB=120°,于是问题获解.
解 连结OA、OB、OP.因为PA、PB是圆的两条切线,所以∠PAO=∠PBO=90°,
而由OA=OB,PA=PA,所以Rt△PAO≌Rt△PBO,所以∠APO=∠BPO=30°.
所以在Rt△PAO中容易求得OP=4,即PA=
,所以Rt△PAO的面积=
, 即四边形APBO的面积=
.
120π2
360
2
又∠AOB=180°-∠APB=120°,所以扇形AOB的面积=
4π3
=
4π3
.
所以图中阴影部分的面积为
-.
例3(临沂市)如图3,已知点A、B、C、D均在已知圆上,AD∥BC,AC平分∠BCD,∠ADC=120°,四边形ABCD的周长为10.
(1)求此圆的半径;
(2)求图中阴影部分的面积
.
C
图3
分析(1)要求圆的半径,若能求出其直径即可,而事实上,由AD∥BC,AC平分∠BCD,∠ADC=120°,可以求得∠DAC=∠ACB=∠DCA=30°,即∠B=60°,∠BAC=90°,从而得到AB=AD=DC,BC=2AB.即可求得半径.(2)要求部分的面积,图形是一个弓形,这样可以构造一个扇形,再利用扇形的面积减去三角形的面积即得弓形的面积.
解(1)因为AD∥BC,∠ADC=120°,所以∠BCD=60°.
又AC平分∠BCD,所以∠DAC=∠ACB=∠DCA=30°,
D,∠所以B=60°, AB=AD=C
所以∠BAC=90°,即BC是圆的直径,BC=2AB. 而AB=AD=DC=2,BC=4. 所以此圆的半径为2.
(2)设BC的中点为O,由(1)可知O即为圆心. 连接OA、OD,过O作OE⊥AD于E.在Rt△AOE中,∠AOE=30°,
所以OE=OAcos30°
所以S△AOD
, 所以S阴影S扇形AODSOAD
23
3.