2017高考复习---不等式
2017高考复习---不等式
1.设x ,y 是正实数,且x +y=1,则
的最小值是.
2.设x ,y 为实数,若4x 2+y 2+xy=1,则2x +y 的最大值是 .
3.已知函数f (x )=x2+ax +b (a ,b ∈R )的值域为[0,+∞),若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ,m +6),则实数c 的值为. 4.设x 、y ∈R +
且
=1,则x +y 的最小值为 .
5.若实数x ,y 满足x 2+y 2+xy=1,则x +y 的最大值是 . 6.当实数x ,y 满足是 .
7.若变量x ,y
满足约束条件
则z=x+2y 的最小值为
时,1≤ax +y ≤4恒成立,则实数a 的取值范围
8.若不等式x 2﹣ax ﹣b <0的解集为{x |2<x <3},则a +b= . 9.若对任意x >0,10.若平面区域
≤a 恒成立,则a 的取值范围是 是一个三角形,则k 的取值范围是.
11.若正数x ,y 满足x +3y=5xy,则3x +4y 的最小值是. 12.已知a >0,b >0,且满足a +b=3,则13.设函数f (x )=
的最小值为.
,若f (f (a ))≤2,则实数a 的取值范围是
14.已知变量x ,y 满足,则的取值范围是.
15.已知x >0,y >0,x +2y +2xy=8,则x +2y 的最小值是.
16.已知点P (x ,y )满足条件8,则k=
(k 为常数),若z=x+3y 的最大值为
17.已知正数x ,y 满足x +y=xy,则x +y 的最小值是 18.设a >0,b >0,
且不等式++
≥0恒成立,则实数k 的最小值等于
19.若不等式x 2﹣kx +k ﹣1>0对x ∈(1,2)恒成立,则实数k 的取值范围是 . 20.已知正实数x ,y 满足xy +2x +y=4,则x +y 的最小值为 21.已知t >0,则函数
的最小值为.
22.若关于x 的不等式(2x ﹣1)2<ax 2的解集中整数恰好有3个,则实数a 的取值范围是 .
23.已知不等式xy ≤ax 2+2y 2对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立,则实数a 的取值范围是 .
24.已知x ,y ∈R +,且满足
,则xy 的最大值为 .
25.若已知不等式2x ﹣1>m (x 2﹣1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立,则x 的取值范围为 .
26.设x ,y ,z 为正实数,满足x ﹣2y +3z=0,则
的最小值是.
2017高考复习---不等式
参考答案与试题解析
一.填空题(共26小题)
1.(2016•河北区二模)设x ,y 是正实数,且x +y=1,则的最小值是
.
【分析】该题是考查利用基本不等式求最值问题,但直接运用基本不等式无从下手,可考虑运用换元思想,把要求最值的分母变为单项式,然后利用“1”的代换技巧转化为能利用基本不等式求最值得问题. 【解答】解:设x +2=s,y +1=t,则s +t=x+y +3=4, 所
以
==.
因为
所以.
故答案为.
【点评】本题考查了基本不等式,考查了换元法和数学转化思想,训练了整体代换技巧,解答此题的关键是运用换元后使分式的分母由多项式变为了单项式,展开后使问题变得明朗化.
2.(2011•浙江)设x ,y 为实数,若4x +y +xy=1,则2x +y 的最大值是
2
2
.
【分析】设t=2x+y ,将已知等式用t 表示,整理成关于x 的二次方程,二次方程有解,判别式大于等于0,求出t 的范围,求出2x +y 的最大值. 【解答】解:∵4x +y +xy=1
2
2
∴(2x +y )﹣3xy=1 令t=2x+y 则y=t﹣2x ∴t ﹣3(t ﹣2x )x=1 即6x ﹣3tx +t ﹣1=0
∴△=9t﹣24(t ﹣1)=﹣15t +24≥0 解得
∴2x +y 的最大值是
故答案为
2
2
2
2
2
2
2
【点评】本题考查利用换元转化为二次方程有解、二次方程解的个数由判别式决定.
3.(2012•江苏)已知函数f (x )=x+ax +b (a ,b ∈R )的值域为[0,+∞),若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ,m +6),则实数c 的值为 9 .
【分析】根据函数的值域求出a 与b 的关系,然后根据不等式的解集可得f (x )=c的两个根为m ,m +6,最后利用根与系数的关系建立等式,解之即可.
【解答】解:∵函数f (x )=x+ax +b (a ,b ∈R )的值域为[0,+∞), ∴f (x )=x+ax +b=0只有一个根,即△=a﹣4b=0则
b=不等式f (x )<c 的解集为(m ,m +6), 即为x +ax
+则x +ax
+
22
2
2
2
2
<c 解集为(m ,m +6), ﹣c=0的两个根为m ,m +6
∴|m +6﹣m |==6
解得c=9 故答案为:9
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用,以及根与系数的关系,同时考查了分析求解的能力和计算能力,属于中档题.
4.(2016•徐汇区一模)设x 、y ∈R 且【分析】将x 、y ∈R 且【解答】解:∵∴x +y=(x +y )•
(y=12时取“=”). 故答案为:16.
【点评】本题考查基本不等式,着重考查学生整体代入的思想及应用基本不等式的能力,属于中档题.
5.(2011•浙江)若实数x ,y 满足x +y +xy=1,则x +y 的最大值是
2
2
+
+
=1,则x +y 的最小值为 16 .
),展开后应用基本不等式即可.
=1,代入x +y=(x +y )•(=1,x 、y ∈R , )
=
=10
+
+
≥10+2=16
(当且仅当,x=4,
.
【分析】利用基本不等式,根据xy ≤把题设等式整理成关于x +y 的不等式,求得其范围,则x +y
的最大值可得.
【解答】解:∵x +y +xy=1 ∴(x +y )=1+xy
2
2
2
∵xy ≤
∴(x +y )﹣1≤
2
,整理求得﹣≤x +y ≤
∴x +y 的最大值是故答案为:
【点评】本题主要考查了基本不等式.应熟练掌握如均值不等式,柯西不等式等性质.
6.(2014•浙江)当实数x ,y
满足时,1≤ax +y ≤4恒成立,则实数a 的取值范围是
[] .
【分析】由约束条件作出可行域,再由1≤ax +y ≤4恒成立,结合可行域内特殊点A ,B ,C 的坐标满足不等式列不等式组,求解不等式组得实数a 的取值范围. 【解答】解:由约束条件作可行域如图, 联立
,解得C (1,
).
联立,解得B (2,1).
在x ﹣y ﹣1=0中取y=0得A (1,0). 要使1≤ax +y ≤4恒成立,
则,解得:1.
∴实数a 的取值范围是
解法二:令z=ax+y ,
.
当a >0时,y=﹣ax +z ,在B 点取得最大值,A 点取得最小值, 可得
,即1≤a ≤
;
当a <0时,y=﹣ax +z ,在C 点取得最大值,
①a <﹣1时,在B 点取得最小值,可得,解得0≤a ≤(不符合条件,舍去)
②﹣1<a <0时,在A 点取得最小值,可得,解得1≤a ≤(不符合条件,舍去)
综上所述即:1≤a ≤故答案为:
; .
【点评】本题考查线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,考查了数学转化思想方法,训练了不等式组得解法,是中档题.
7.(2011•新课标)若变量x ,y 满足约束条件
则z=x+2y 的最小值为.
【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域,得到的图形是一个平行四边形,把目标函数z=x+2y 变化为y=﹣
x
+
,当直线沿着y 轴向上移动时,z 的值随着增大,当直线过A 点时,z 取到最小值,求出两条直
线的交点坐标,代入目标函数得到最小值. 【解答】解:在坐标系中画出约束条件的可行域, 得到的图形是一个平行四边形, 目标函数z=x+2y , 变化为y=﹣
x
+
,
当直线沿着y 轴向上移动时,z 的值随着增大,
当直线过A 点时,z 取到最小值,
由y=x﹣9与2x +y=3的交点得到A (4,﹣5) ∴z=4+2(﹣5)=﹣6 故答案为:﹣6.
【点评】本题考查线性规划问题,考查根据不等式组画出可行域,在可行域中,找出满足条件的点,把点的坐标代入,求出最值.
8.(2016•福建模拟)若不等式x ﹣ax ﹣b <0的解集为{x |2<x <3},则a +b= ﹣1 .
【分析】不等式x ﹣ax ﹣b <0的解集是{x |2<x <3},故3,2是方程x ﹣ax ﹣b=0的两个根,由根与系数的关系求出a ,b 可得.
【解答】解:由题意不等式x ﹣ax ﹣b <0的解集是{x |2<x <3},故3,2是方程x ﹣ax ﹣b=0的两个根, ∴3+2=a,3×2=﹣b ∴a=5,b=﹣6 ∴a +b=5﹣6=﹣1 故答案为:﹣1
【点评】本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系,解答本题的关键是根据不等式的解集得出不等
2
2
2
2
2
式相应方程的根,再由根与系数的关系求参数的值.注意总结方程,函数,不等式三者之间的联系.
9.(2010•山东)若对任意x >0,【分析】根据x
+
≥2代入
≤a 恒成立,则a 的取值范围是
中求得
的最大值为
.
进而a 的范围可得.
【解答】解:∵x >0, ∴x
+
≥2(当且仅当x=1时取等号),
∴=≤
=,即的最大值为,
故答案为:a ≥
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.属基础题.
10.(2015•南昌模拟)若平面区域∪(0,
] .
是一个三角形,则k 的取值范围是【分析】画出平面区域,直线y +2=k(x +1)表示过(﹣1,﹣2)的直线,可行域是三角形,直线过(0,2)和(﹣2,0),结合图形,求出k 的范围.
【解答】解:直线y +2=k(x +1)表示过(﹣1,﹣2)的直线, 根据约束条件画出可行域如图:
平面区域
就是图中阴影部分,
是一个三角形,
所以 k ∈(﹣∞,﹣2)∪(0,故答案为:(﹣∞,﹣2)∪(0,
] ].
【点评】本题考查二元一次不等式(组)与平面区域,考查作图能力,逻辑思维能力,是中档题.
11.(2015•福建模拟)若正数x ,y 满足x +3y=5xy,则3x +4y 的最小值是 5 . 【分析】将方程变形用基本不等式即可求解.
【解答】解:∵x +3y=5xy,x >0,y >0 ∴
)=
×3
=5
,代入可得3x +4y=(3x +4y )(
)=
×3,然后利
∴3x +4y=(3x +4y )
(
当且仅当故答案为:5
即x=2y=1时取等号
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题,解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑
12.(2016•雅安模拟)已知a >0,b >0,且满足a +b=3,则【分析】把
化为
+
+
+
的最小值为 3 .
,利用基本不等式求出它的最小值.
【解答】解:∵a >0,b >0,且满足a +b=3,
则=
+=
+=+++≥+2=3,
当且仅当故
=时,等号成立.
的最小值为3,
故答案为 3.
【点评】本题主要考查基本不等式的应用,注意基本不等式的使用条件,并注意检验等号成立的条件,式子的变形是解题的关键,属于基础题.
13.(2014•浙江)设函数f (x )=,若f (f (a ))≤2,则实数a 的取值范围是
【分析】画出函数f (x )的图象,由 f (f (a ))≤2,可得 f (a )≥﹣2,数形结合求得实数a 的取值范围.
【解答】解:∵函数f (x
)=,它的图象如图所示:
由 f (f (a ))≤2,可得 f (a )≥﹣2. 当a <0时,f (a )=a+a=(a +
22
)﹣
2
2
≥﹣2恒成立;
,
当a ≥0时,f (a )=﹣a ≥﹣2,即a ≤2,解得0≤a ≤则实数a 的取值范围是a ≤故答案为:(﹣∞,
].
第11页
,
【点评】本题主要考查分段函数的应用,其它不等式的解法,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.
14.(2016•杭州模拟)已知变量x ,y 满足,则的取值范围是 [,] .
【分析】
作出可行域,变形目标函数可得率与1的和,数形结合可得.
=1+表示可行域内的点与A (﹣2,﹣1)连线的斜
【解答】解:作出所对应的区域(如图阴影),
变形目标函数可得==1
+,
表示可行域内的点与A (﹣2,﹣1)连线的斜率与1的和, 由图象可知当直线经过点B (2,0)时,目标函数取最小值1+当直线经过点C (0,2)时,目标函数取最大值1+故答案为:[
,
]
=
;
=
;
第12页
【点评】本题考查简单线性规划,涉及直线的斜率公式,准确作图是解决问题的关键,属中档题.
15.(2015•南京校级四模)已知x >0,y >0,x +2y +2xy=8,则x +2y 的最小值是.
【分析】首先分析题目由已知x >0,y >0,x +2y +2xy=8,求x +2y 的最小值,猜想到基本不等式的用法,利用a +b ≥
2
代入已知条件,化简为函数求最值.
)(当且仅当x=2y时取等号)
2
【解答】解:考察基本不等式x +2y=8﹣x•(2y )≥8
﹣(整理得(x +2y )+4(x +2y )﹣32≥0 即(x +2y ﹣4)(x +2y +8)≥0,又x +2y >0, 所以x +2y ≥4(当且仅当x=2y时取等号) 则x +2y 的最小值是 4 故答案为:4.
【点评】此题主要考查基本不等式的用法,对于不等式a +b ≥2广泛,需要同学们多加注意.
2
在求最大值最小值的问题中应用非常
16.(2015•怀化二模)已知点P (x ,y )满足条件(k 为常数),若z=x+3y 的最大值为8,
则k= ﹣6 .
【分析】画出可行域,将目标函数变形,画出相应的直线,将其平移,数学结合当直线移至点A 时,纵截距最大,z 最大.
第13页
【解答】解:画出可行域 将z=x+3y 变形为y=画出直线
,
平移至点A 时,纵截距最大,z 最大,
联立方程得,
代入故答案为﹣
6
,∴k=﹣6.
【点评】本题考查画不等式组的可行域;利用可行域求出目标函数的最值.
17.(2016•河北区一模)已知正数x ,y 满足x +y=xy,则x +y 的最小值是
【分析】依题意由基本不等式得x +y=xy≤,从而可求得x +y 的最小值.
【解答】解:∵x >0,y >0,
∴xy ≤,又x +y=xy,
第14页
∴x +y ≤,
∴(x +y )≥4(x +y ), ∴x +y ≥4. 故答案为:4
【点评】本题考查基本不等式,利用基本不等式将已知条件转化为关于x +y 的二次不等式是关键,属于基础题.
18.(2016•浙江模拟)设a >0,b >0,
且不等式
+
+
≥0恒成立,则实数k 的最小值等于
2
【分析】把k 看作参数,将参数分离成k ≥【解答】解:∵a >0,b >0, 由
+
+
≥0,得k ≥
]max 即可.
,
,再利用基本不等式求的最大值.
只需k ≥[
∵a +b ≥,∴.
∴k ≥﹣4,从而实数k 的最小值等于﹣4. 故答案为:﹣4.
【点评】本题属于不等式恒成立问题,是高考常考题型之一.常规思路是先分离参数,再转化为函数最值问题求解.
19.(2012•上海)若不等式x ﹣kx +k ﹣1>0对x ∈(1,2)恒成立,则实数k 的取值范围是 (﹣∞,2) . 【分析】根据题意,分离参数,利用函数的单调性,即可得到实数k 的取值范围. 【解答】解:不等式x ﹣kx +k ﹣1>0可化为(1﹣x )k >1﹣x ∵x ∈(1,2)
第15页
2
2
2
∴k <=1+x
∴y=1+x 是一个增函数 ∴k <1+1=2
∴实数k 取值范围是(﹣∞,2) 故答案为:(﹣∞,2)
【点评】本题考查一元二次不等式的应用,解题的关键是分离参数,利用函数的单调性确定参数的范围.
20.(2015•青浦区一模)已知正实数x ,y 满足xy +2x +y=4,则x +y
【分析】变形利用基本不等式即可得出. 【解答】解:∵正实数x ,y 满足xy +2x +y=4, ∴∴
x +y=x+当且仅当x=∴x +y 的最小值为故答案为:
.
(0<x <2).
=
时取等号.
.
=
(x +1)+
﹣3
﹣3=
﹣3,
【点评】本题考查了基本不等式的性质,属于基础题.
21.(2010•重庆)已知t >0,则函数【分析】将函数【解答】解:
当且仅当t=1时等号成立, 故y min =﹣2.
【点评】考查灵活变形的能力及基本不等式.
第16页
变为
的最小值为.
﹣4,用基本不等式求解即可.
,
22.(2009•天津)若关于x 的不等式(2x ﹣1)<ax 的解集中整数恰好有3个,则实数a 的取值范围是
.
【分析】由关于x 的不等式(2x ﹣1)<ax 的解集中整数恰好有3个,故不等式一定为二次不等式,且对应的函数图象开口方向朝上,且与X 轴一定有两个交点,且夹在两个交点间的整数点恰好有3个,由此构造出关于a 的不等式,解不等式即可得到结论. 【解答】解:∵不等式等价于(﹣a +4)x ﹣4x +1<0, 当a ≥4时,显然不满足要求, 故4﹣a >0且△=4a>0,故0<a <4, 不等式的解集为
则一定有1,2,3为所求的整数解集. 所以
,解得a 的范围为
,
,
22
2
2
2
故答案:.
【点评】本试题考查含有参数的一元二次不等式的解集问题的运用.考查了分类讨论思想以及逆向思维的能力.其中根据已知条件,判断4﹣a >0且△=4a>0,是解答本题的关键.
23.(2015•安徽三模)已知不等式xy ≤ax +2y 对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立,则实数a 的取值范围是 [﹣1,+∞) .
【分析】本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题.在解答时,首先可以分离参数将问题转化为:
2
2
对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立,然后解答此恒成立问题即可获得问题的解答.
【解答】解:由题意可知:不等式xy ≤ax +2y 对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立,
22
即:,对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立,
第17页
令,则1≤t ≤3,
2
∴a ≥t ﹣2t 在[1,3]上恒成立, ∵
∴y max =﹣1, ∴a ≥﹣1
故答案为:[﹣1,+∞).
【点评】本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题.在解答的过程当中充分体现了游离参数的办法、恒成立的思想以及整体代换的技巧.值得同学们体会与反思.
24.(2010•山东)已知x ,y ∈R ,且满足
+
,则xy 的最大值为 3 .
出发,求解.
(当且仅当
,即x=
,y=2
【分析】本题为利用基本不等式求最值,可直接由条件【解答】解:因为x >0,y >0
,所以
时取等号), 于是,故答案为:3
,xy ≤3.
【点评】本题主要考查了用基本不等式解决最值问题的能力,属基本题.
25.(2012•江苏模拟)若已知不等式2x ﹣1>m (x ﹣1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立,则x 的取值范围为
2
2
.
2
2
【分析】构造变量m 的函数,对x ﹣1>0,x ﹣1<0,x ﹣1=0,进行分类讨论,利用|m |≤2时函数的取值,分别求出x 的范围,然后求并集即可.
【解答】解:构造变量m 的函数求解:2x ﹣1>m (x ﹣1)即:(x ﹣1)m ﹣(2x ﹣1)<0 构造关于m 的函数f (m )=(x ﹣1)m ﹣(2x ﹣1),|m |≤2即﹣2≤m ≤2.
第18页
2
2
2
1)当x ﹣1>0时,则f (2)<0 从而 2x ﹣2x ﹣1<0 解得:又x ﹣1>0,即x <﹣1 或 x >1,所以 1<x <
2
2
2
22
;
2
2)当x ﹣1<0时,则f (﹣2)<0 可得﹣2x ﹣2x +3<0 从而 2x +2x ﹣3>0 解得 x <
2
或x >又﹣1<x <1,从而<x <1
3)当x ﹣1=0时,则f (m )=1﹣2x <0 从而x >综上有:故答案为:
<x
<
,故x=1;
【点评】本题考查一元二次不等式与二次函数,考查转化思想,分类讨论思想,是中档题.
26.(2008•江苏)设x ,y ,z 为正实数,满足x ﹣2y +3z=0,则的最小值是 3 .
【分析】由x ﹣2y +3z=0可推出,代入中,消去y ,再利用均值不等式求解即可.
【解答】解:∵x ﹣2y +3z=0, ∴
,
∴=,当且仅当x=3z时取“=”.
故答案为3.
【点评】本小题考查了二元基本不等式,运用了消元的思想,是高考考查的重点内容.
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