巧用勾股定理解决折叠问题
巧用勾股定理解决折叠问题
河北 温志胜
折叠图形中，一般都会存在全等的图形，抓住这些全等图形就可以得出有关于线段相等，角度相等及其他的一些重要结论，有利于解决题目中的问题。
一、长方形中的折叠
例1、如图1所示，将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落在BC边的F处。已知AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求EC的长。
分析：根据折叠可以知道△AFE≌△ADE，其中AF=AD=10cm，EF=ED，∠AFE=90°，并且EF＋EC=DC=8cm。在直角三角形ABF中，根据勾股定理可以得出BF=6，则FC=4，在直角三角形FEC中，可以设EC=x，则EF=8－x，根据勾股定理可以得EC2＋FC2=EF2，即x2＋42=（8－x）2。
D解：根据题意可得，△AFE≌△ADE， A
所以AF=AD=10cm，EF=ED，AB=8 cm，EF＋EC=DC=8cm，
所以在直角三角形中，根据勾股定理得 EBFAF2AB22826，所以FC=4cm， BFC
图1
设EC=xcm，则EF=DC－EC=8－xcm，
在直角三角形EFC中，根据勾股定理得
EC2＋FC2=EF2，即x2＋42=（8－x）2，
解这个方程得x=3cm，
所以EC的长为3cm。
二、三角形中的折叠
例2、一张直角三角形的纸片，如图2所示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合，若∠B=30°，AC2=3，求DE的长。
分析：由题意可知，△DEA≌△DEB，∠B=∠DAE=30°，DE=DC。因为△ABC为直角三角形，∠B=30°，所以∠BAC=30°，所以∠DAC=30°。在直角三角形DCA中，根据“在直角三角形中，如果有一个锐角等于30度，那么它所对的直角边的等于斜边的一半”，所以DC=1DA，可以设DC=x。 2解：根据题意可得
△DEA≌△DEB，∠B=∠DAE=30°，DE=DC，
因为△ABC为直角三角形，∠B=30°，
所以∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，
在直角三角形DCA中，DC=1DA（在直角三角形中，如果有 2
一个锐角等于30度，那么它所对的直角边的等于斜边的一半）。
设DC=x，则DA=2x，
在直角三角形DAC中，根据勾股定理得
DC2＋CA2= DA2，即x2＋3= (2x)2，
3x2=3，x2=1，
因为x是正数，所以x=1。
所以DE=DC=1。 图2
练习：如图3所示，在矩形ABCD中，AB=5cm，在边CD上适当选定一点E，沿着直线AE将△ADE折叠，使点D恰好落在边BC上一点F处，并且△ABF的面积为30cm2，求此时AD的长。
D答案：AD的长为13cm。 A
E
BFC图3