拉普拉斯变换
拉普拉斯变换
科技名词定义
中文名称:
拉普拉斯变换
英文名称:
Laplace transform
定义:
对于时间函数f(t),当
所属学科:
电力(一级学科);通论(二级学科)
本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布
百科名片
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换(英文:Laplace Transform),是工程数学中常用的一种积分变换。 目录
编辑本段
具体内容
如果定义:
f(t),是一个关于t,的函数,使得当t
拉普拉斯变换
s, 是一个复变量;
mathcal 是一个运算符号,它代表对其对象进行拉普拉斯积分int_0^infty e^ ,dt;F(s),是f(t),的拉普拉斯变换结果。 则f(t),的拉普拉斯变换由下列式子给出:
F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt 拉普拉斯逆变换,是已知F(s),,求解f(t),的过程。用符号 mathcal ^ ,表示。
拉普拉斯变换/逆变换
拉普拉斯逆变换的公式是: 对于所有的t>0,; f(t)
= mathcal ^ left =frac int_ ^ F(s),e^ ,ds
c,是收敛区间的横坐标值,是一个实常数且大于所有F(s),的个别点的实部值。
为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换,并在复数域中作各种运算,再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果,往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效,它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理,从而使计算简化。在经典控制理论中,对控制系统的分析和综合,都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点,是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性(见信号流程图、动态结构图)、分析控制系统的运动过程(见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法),以及综合控制系统的校正装置(见控制系统校正方法)提供了可能性。
拉普拉斯变换
用 f(t)表示实变量t的一个函数,F(s)表示它的拉普拉斯变换,它是复变量s=σ+j&owega;的一个函数,其中σ和&owega; 均为实变数,j2=-1。F(s)和f(t)间的关系由下面定义的积分所确定:
如果对于实部σ >σc的所有s值上述积分均存在,而对σ ≤σc时积分不存在,便称 σc为f(t)的收敛系数。对给定的实变量函数 f(t),只有当σc为有限值时,其拉普拉斯变换F(s)才存在。习惯上,常称F(s)为f(t)的象函数,记为F(s)=L[f(t)];称f(t)为F(s)的原函数,记为ft=L-1[F(s)]。 函数变换对和运算变换性质 利用定义积分,很容易建立起原函数 f(t)和象函数 F(s)间的变换对,以及f(t)在实数域内的运算与F(s)在复数域内的运算间的对应关系。表1和表2分别列出了最常用的一些函数变换对和运算变换性质。
编辑本段
在工程学上的应用
应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程,可以将微分方程化为代数方程,使问题得以解决。在工程学上,拉普拉斯变换的重大意义在于:将一个信号从时域上,转换为复频域(s域)上来表示;在线性系统,控制自动化上都有广泛的应用。
第7章 拉普拉斯变换
拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法,而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用.本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用.
7.1拉氏变换的基本概念
在代数中,直接计算
是很复杂的,而引用对数后,可先把上式变换为
,
然后通过查常用对数表和反对数表,就可算得原来要求的数
.
这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法,而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法.
7.1.1 拉氏变换的基本概念
定义 设函数当时有定义,若广义积分
的函数,记作
,即
在的某一区域内
收敛,则此积分就确定了一个参量为
称(7-1)式为函数
的拉氏变换式,用记号
的象函数).函数
(7-1)
表示.函数称为
称为
的拉氏变换(Laplace) (或称为为
象原函数),记作
的拉氏逆变换(或称
,即
关于拉氏变换的定义,在这里做两点说明: (1) 在定义中,只要求总假定在
时,
.
在
.
时有定义.为了研究拉氏变换性质的方便,以后
(2)在较为深入的讨论中,拉氏变换式中的参数见,本章我们把
是在复数范围内取值.为了方便起
作为实数来讨论,这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用.
(3)拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数,它是一种积分变换. 一般来说,在科学技术中遇到的函数,它的拉氏变换总是存在的.
例7-1 求一次函数
(
为常数)的拉氏变换.
解
.
7.1.2 单位脉冲函数及其拉氏变换
在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时,要涉及到我们要介绍的脉冲函数,在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为的电流
,以
)进入一单位电量的脉冲,现要确定电路上
表示上述电路中的电量,则
由于电流强度是电量对时间的变化率,即
,
所以,当
时,
;当
时,
.
上式说明,在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度.为此,引进一个新的函数,这个函数称为狄拉克函数.
定义
设,当0时,
的极限
称为狄拉克(Dirac)函数,简称为函数.
当时,的值为;当时,的值为无穷大,即.
和
的图形如图7-1和图7-2所示.
显然,对任何工程技术中,常将等于
,有,所以 . 函数用一个长度
函数称为单位脉冲函数,有些工程书上,将
的有向线段来表示(如图7-2所示),这个线段的长度表示函数的积分,叫做
函数的强度.
例7-2 求
的拉氏变换.
解 根据拉氏变换的定义,有
即
.
,
例7-3 求单位阶梯函数的拉氏变换.
解 ,.
例7-4求指数函数(为常数)的拉氏变换.
解 ,即
.
类似可得
;.
习题7–1
求1-4题中函数的拉氏变换 1.2.3.4.
. .
是常数).
7.2 拉氏变换的性质
拉氏变换有以下几个主要性质,利用这些性质,可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换. 性质1 (线性性质) 若 则
. (7-2)
证明
,
是常数,且
,
,
例7-5 求下列函数的拉氏变换:
.
(1); (2).
解(1)
.
(2)
性质2(平移性质) 若
,则 (
.
为常数). (7-3)
证明
位移性质表明:象原函数乘以例7-6 求
,
等于其象函数左右平移和
.
个单位.
.
解 因为,,,由位移性质即得
性质3(滞后性质) 若
,则
. (7-4)
证明
在拉氏变换的定义说明中已指出,当
(即
积分,令
)时,,则
=时,
.因此,对于函数
,,当
,对于第二个
,所以上式右端的第一个积分为
滞后性质指出:象函数乘以图7-3所示).
等于其象原函数的图形沿
轴向右平移
个单位(如
由于函数
是当
时才有非零数值.故与
相比,在时间上滞后了一个
值,正是这个道理,我们才称它为滞后性质.在实际应用中,为了突出“滞后”这一特点,常在
这个函数上再乘
,所以滞后性质也表示为
.
例7-7 求
.
解 因为例7-8 求
,由滞后性质得
.
.
解 因为,所以.
例7-9 求下列函数的拉氏变换:
(1)
解 (1)由图7-4容易看出,当即
.故可把
写成
(2)
时,的值是在的基础上加上了(
,于是
),
.
(2)仿(1),把
写成
,于是
.
我们可以用拉氏变换定义来验算例7-9所得的结果.由例7-9看出,用单位阶梯函数可将分段函数的表达式合写成一个式子.
例7-10 已知
解:如图7-5所示,于是
,求.
可用单位阶梯函数表示为,
由拉氏变换定义来验证:
,
性质4(微分性质) 若连续,则
,并设
在[0,+
. 上连续,
为分段
. (7-5)
证明 由拉氏变换定义及分部积分法,得
,
可以证明,在
存在的条件下,必有
.因此,
.
微分性质表明:一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参数减去函数的初始值.
应用上述结果,对二阶导数可以推得
.
同理,可得
.
,再
以此类推,可得
. (7-6)
由此可见,来.特别是当初值
各阶导数的拉氏变换可以由
的乘方与象函数
的代数式表示出
时,有更简单的结果
. (7-7)
利用这个性质,可将例7-11 利用微分性质求解 令
的微分方程转化为
和
的代数方程. .
,由7-6式,得 ,
,则
即
,
移项化简得
.
利用上述结果,及(7-5)式,可得
.
性质5(积分性质) 若
,且设
连续,则
. (7-8)
证明 令
,而
,显见,且因,由微分性质,得
,所以有
,即.
积分性质表明:一个函数积分后再取拉氏变换,等于这个函数的象函数除以参数.
例7-12 求
(
是正整数).
解 因为,„, 由(7-8)式即得
„„„„„„„„ 一般地,有
.
性质6 若
,则
时
. 性质7 若
,则
. 性质8 若,且存在,则
. 例7-13 求
.
解 因为,由(7-10)式可得
.
,所以
(7-9)
7-10)
7-11)
((
例7-14 求.
解 因为 ,而且,所以由(7-11)式可得
.
即.因此,当时,得到一个广义积分的值
.
这个结果用原来的广义积分的计算方法是得不到的.
现将拉氏变换的八个性质和在实际应用中常用的一些函数的象函数分别列表如下:
表7-1
拉氏变换的性质
习题7-2
求5-12题中函数的拉氏变换 5.7.
. 6.
. 8.
.
.
9. 10.
11.
12..
7.3 拉氏变换的逆运算
前面我们主要讨论了怎样由已知函数面是已知象函数
要求它的象原函数
求它的象函数
的问题.运算法的另一
,这就是拉斯逆变换问题.同时把常用的拉
氏变换的性质用逆变换形式一一列出.
性质1(线性性质.
)
性质2(平移性质) 性质3(滞后性质)
例7-15 求下列象函数的逆变换:
.
.
(1); (2);
(3); (4).
解 (1)将代入表二(5),得.
(2)由性质2及表二(4),得
.
(3)由性质1及表二(2)、(3),得
.
(4)由性质1及表二(9)、(10),得
.
例7-16 求的逆变换.
解
.
在运用拉氏变换解决工程技术中的应有问题时,通常遇到的象函数常常是有理分式,对于有理分式一般可采用部分分式方法将它分解为较为简单的分式之和,然后再利用拉氏变换表求出象原函数.
例7-17 求解
先
将
分
的逆变换. 解
为
两
个
最
简
分
式
之
和
:
,
用待定系数法求得,,所以,于是
.
例7-18 求解 先将
的逆变换.
分解为几个简单分式之和:
,
用待定系数法求得,所以
,
于是
.
习题7-3
求13-18题中函数的拉氏逆变换
13.. 14..
15.. 16..
17.
. 18..
7.4 拉氏变换应用举例
下面举例说明拉氏变换在解常微分方程中的应用. 例7-19 求微分方程
满足初值条件
的解. :
, , .
将初始条件
代入上式,得
.
这样,原来的微分方程经过拉氏变换后,就得到了一个象函数的代数方程.
解 第一步 对方程两边取拉氏变换,并设
第二步 解出:=.
第三步 求象函数的拉氏逆变换:这样就得到了微分方程的解
.
.
由例7-19可知,用拉氏变换解常系数线性微分方程的方法的运算过程如表7-3:
作拉氏变换
解代数方程
求拉氏逆变换
例7-20 求微分方程
满足初值条件
,则得
的解.
解 对所给微分方程的两边分别作拉氏变换.设
.
将初值条件
代入,得到
的代数方程
,即
解出
,得
.
.
将上式分解为部分分式
,
再取拉氏逆变换,就得到满足所给初值条件的方程的特解为
.
用拉氏变换还可以解常系数线性微分方程组.
习题 7-4
用拉氏变换求解19-22题中的微分方程
19..
20.21.22.
.
. .
本章内容
本章主要内容为:
1.拉氏变换的概念和性质;拉氏变换的逆变换. 2.拉氏变换与逆变换之间有如下框图所示的关系: