托卡马克方程的非线性动力学分析
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iS,2514
国内图书分类号:0193单位代码:10005
学号:S200706032
密级:公开
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北京工业大学硕士学位论文
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题目:丛Q堕!也曼堑旦迎垒迦曼曼丛垒!Y出Q£坠壁塑坐
专业:数学
导师:.奎登
论文报告提交日期:2Q!Q生量旦学位授予13期:
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独创性声明・lIIIIIIIIIIIIIIIIIl
本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的砖。/Ⅺ.7,一8—86。。8。。1,。究成果。尽我所知,‘除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果,也不包含为获得北京工业大学或萁他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已.在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
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摘要
摘要
核能是新型清洁能源,目前世界上许多国家都在大力发展核反应装置,托卡马克核反应装置就是其中之一.
本文研究托卡马克受控热核反应装置的物理模型,用多尺度摄动法获得托卡马克系统的平均方程,对未扰及受扰系统分别进行动力学分析,给出了托卡马克受控热核反应方程的分岔控制参数及多极限环分岔的相图构型.解释了在一组参数下托卡马克方程的物理意义.并给出了在一组参数控制条件下获得了22个极限环的结果.讨论了极限环的稳定性问题以及上述参数控制条件和托卡马克方程不同形态的扩散系数的关系.
关键词非线性动力学;多极限环分岔;托卡马克装置;扩散系数
北京工业大学理学硕士学位论文
ABSTRACT
Nuclearenergyisanewclearlenergy,manykindsofnuclearreactiondevicesaredevelopedinmanycountriesnow,oneofwhichisTokamakreactiondevice.
ThephysicalmodelofthermonuclearreactioninTokamakequipmentiSmainlystudiedinthisPa,per.Utilizingthemethodofmultiplescales,weobtaintheaveragedequationsandmakesomedynamicsanalysisontheunperturbedandperturbedsystem.Furthermore,wegivetheparametersthatcontrolledthebifurcationsofthesystemandthetopologystructureofbifurcationofmultiplelimitcycles.WealSOstudythedynamicalperformanceoflimitcycle.SomephysicalsignificanceofTokamakisexplainedundertheconditionthatagroupofparametersarecontrolled.Thenweobtainedtheresultsof221imitcycles.Thestabilityofthelimitcyclesandtherelationshipbetweenthecontrollingparametersanddiffusioncoe伍cientofdifferentmodulusforminTokamakarediscussed.
Keywords:nonlineardynamics;bifurcationofmultiplelimitcycles;Tokamakequipment;diffusioncoefficientIl
目录
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第1章绪论……………………………………………….1
1.1前言……………………………………….,………11.2托卡马克核反应装置的发展………………………………11.3托卡马克装置的研究现状………………………………..31.4课题来源…………………………………………….41.5本文的研究内容和主要成果………………………………4第2章理论基础……………………………………………6
2.1Zq等变向量场………………………………………..62.2多尺度方法…………………………………………..72.3多极限环分岔研究方法………………………………….82.4本章小结…………………………………………….9第3章托卡马克方程的非线性动力学分析………………………..6
3.1方程引出……………………………………………103.2托卡马克方程扰动前的动力学性质………………………..113.3托卡马克方程扰动后的动力学性质………………………..173.4本章小结……………………………………………19第4章托卡马克方程极限环的稳定性及在特定参数下的物理意义……..20
4.1稳定性分析………………………………………….204.2物理意义……………………………………………224.3本章小结……………………………………………24结论与展望…………………………………….‘…………25参考文献…………………………………………………26附录……………………………………………………30攻读硕士学位期间所发表的学术论文……………………………33致谢……………………………………………………34
第1章绪论
第1章绪论
本章简介了托卡马克核反应装置的基本原理、装置概况、应用学科和研究成果等基本情况,综述了托卡马克装置的研究现状,给出了本文研究的主要内容.1.1前言
核能是能源家族的新成员,包括裂变能和聚变能两种主要形式.裂变能是重金属元素的原子核通过裂变而释放的巨大能量.受控核裂变技术的发展已经使裂变的应用实现了商用化,如核(裂变)电站.裂变需要的铀等重金属元素在地球上含量稀少,而且常规裂变反应堆会产生放射性较强的核废料,这些因素限制了裂变能的发展.聚变能是两个较轻的原子核聚合为一个叫重的原子核并释放出的能量.目前开展的受控核聚变研究正是致力于实现核聚变能的和平利用.其实,人类已经实现了氘氚核聚变——氢弹爆炸,但那是不可控制的瞬间能量释放,人类更需要受控核聚变.维系聚变的燃料是氢的同位素氘和氚,氘在地球的海水中有及其丰富的蕴藏量.经测算,1升海水所含氘产生的聚变能就等同于300升汽油所释放的能量.海水中氘的储量可使人类使用几十亿年.特别的,聚变产生的废料为氦气,是清洁和安全的.因此,核聚变是一种无限的、清洁的、安全的新能源.这就是世界各国尤其是发达国家不遗余力竞相研究、开发聚变能的根本原因.
1.2托卡马克核反应装置的发展
托卡马克(Tokamak)是前苏联科学家于20实际50年代发明的环形磁约束受控核聚变实验装置.经过近半个世纪的努力,在托卡马克上产生聚变能的科学可行性已被证实,但相关结果都是以短脉冲形式产生的,与试剂反应堆的连续运行有较大距离.超导技术成功地应用于产生托卡马克强磁场的线圈上,是受控热核聚变能研究的一个重大突破.超导托卡马克使磁约束位形能连续稳态运行,是公认的探索和解决未来核聚变反应堆工程及物理问题的最有效的途径.目前建造超导装置开展聚变研究已成为国际热潮.
上世纪90年代初,库尔恰托夫研究所所长卡托姆采夫院士致信李正武院士,表示愿意赠送T-7给中国,该信被转交到时任中科院等离子体所所长的霍裕平院士.等离子体所认真分析了国际核聚变发展的趋向,抓住机遇,果断决策,接收了T_7装置,并动员和组织了全所的人力、财力和工程技术力量,投入到T.7装置的建设.
北京丁业大学理学硕十学位论文
T-7装置不是简单的引进,而是根据我们的研究和实验要求进行了根本性改造.将原48个纵场线圈合并改造成24个,并重新设计制作了新的真空室,增加了34个新的窗口,大大改善装置的可接近性.为开展高功率辅助加热和长脉冲运行实验,设计安装了真空室内主动水冷内衬和新的垂直场系统.建成了国内最大的低温液氦系统和大功率电源系统等九个子系统,使一个原本不具备物理实验功能的HT-7装置改造为能够开展多种实验室的先进装置——中国第一个、世界第四个超导托卡马克Ht-7.
1993年国际上12位著名核聚变科学家组成的国际评估小组对HT-7进行评估,称HT-7是“发展中国家最先进的托卡马克装置,并能进行准稳态运行,使中国核聚变研究接近世界核聚变的前沿’’.1994年5月HT-7装置建成,同年7月在励磁控制与保护系统、电流引线和氘、氚冷却管路等相关施工完成后,成功地进行了装置低温调试,最大纵场励磁电流超过5000A.1994年8月该装置由中科院正式立项,纳入国家大科学工程管理;1994年12月,在完成了极向场控制系统后又进行了首次工程调试,获得首次等离子体.HT-7在解决了包括电流引线在内的一些关键问题后于1995年春成功地进行了工程联调,从此开始了装置的实验运行.1998年获中科院科技进步奖一等奖;2003年8月获安徽省2003年度科技进步一等奖;2004年1月,“可控制热核聚变实验研究获重大突破”被两院院士评选为“2003年度中国十大科技进展”.2003年财政部开始对大科学工程进行绩效资金考评,中科院将HT-7选为京外点参加首批考评,成绩优秀.
在HT-7成功运行的基础上,“九五”国家重大科学工程——大型非圆截面全超导托卡马克核聚变实验装置HT-7U在1998年立项.
1998年7月国家计委下达投资[1998]1303号文,同意由中科院主持,中科院等离子物理所承担国家重大科学工程项目“HT-7U超导托卡马克核聚变实验装置”的建造.2000年10月国家计委下达计投资[2000]1656号文,同意该项目的工程开工建设.为使国内外专家易于发音、便于记忆同时又有确切的科学含义,
EAST工程历经5年多的建设于2006年全面、优质地完成.同年9.10月和国在人类开发核聚变能的过程中能够做出更多的重大贡献.
HT-7和EAST两大装置,瞄准核聚变能研究前沿,开展稳态、安全、高效运22003年10月HT-7U正式改名为EAST.2007年1.2月EAST装置进行了两次放电调试,成功获得了稳定、重复可控的各种磁位形高温等离子体.2007年3月1月EAST项目通过了国家发改委组织的验收.从此,EAST一一世界上第一个非圆截面全超导托卡马克正式投入运行.EAST虽然比国际热核聚变实验堆(ITER)dx,但位形与之相似且更加灵活.ITER的建设经历了10年左右,其间EAST将是国际上极少数可开展与ITER相关的稳态先进等离子体科学和技术问题研究的重要实验平台.它的建成将使我
第1章绪论
行的先进托卡马克聚变反应堆基础物理和工程问题的国内外联合实验研究,为核聚变工程实验堆的设计建造提供科学依据,推动等离子体物理学科及其它相关学科和技术的发展.‘‘
HT.7是一个比较成熟和稳定的实验装置,有比较完善的实验和测量手段,开始开展超长脉冲条件下等离子体与壁相互作用、等离子体稳定控制、等离子体驰豫演化等一系列稳态物理和技术问题.开展一些目前尚未成熟但未来EAST必需的物理和工程技术前期研究.EAST作为HT-7的升级装置,不仅规模更大,其独有的非圆截面、全超导及主动冷却内部结构三大特性,将更有利于探索等离子体稳态先进运行模式,其工程建设和物理研究可为ITER项目的建设提供直接经验,并为未来聚变实验堆提供重要的工程和物理实验基础.
1.3托卡马克装置的研究现状
随着托卡马克装置的改进与发展,国内对托卡马克装置的研究也越来越受到学术界的关注.毛国平,王中天【l】研究了在小环径比托卡马克系统中的竖直位移不稳定性,探讨了椭圆拉长与装置的环径比,磁面位形三角形变的关系.雷沅忠,余运佳【2】介绍了针对托卡马克应用的超导体研究情况,简述了LCT计划的情况,归纳了CIC导体的发展和模型线圈的研究成果,并介绍了ITER磁体系统的设计和模型线圈研制工作的进展.王志,朱学武【3】介绍了全超导托卡马克螺线管模型线圈研究的新进展.李建刚,杨愚【4】介绍了中国科学院等离子体物理所最新的聚变实验研究进展,及其研究成果在我国HT-7超导托卡马克上的应用.赵庆荣,武松洲5】讨论了HT-7u装置主机关键部件的构成,装配过程中对各关键部件装配的精度要求,建立了总装测量系统确保关键部件的装配精度.阮剑华,张培强【6】等对纵场磁体系统在面内电动力作用下的应力分布进行了有限元分析计算,并为线圈的设计和改进提供了一定的参考依据.杨胜利,满开第,陈文革[7】介绍了托卡马克装置装配测量控制基准网的建立,测量,数据分析,并对数字化测量在精密工程安装中的应用进行探索.赵皖平,罗家融【8】给出了托卡马克控制系统的等离子体位形平衡和反演算法.张明新,罗家融,李贵nat9】设计了托管控件,用于等离子体密度远程控制业务逻辑的封装,实现了增强型的B/S计算结构,解决了远程控制过程中复杂的科学计算,并实现了实验进程的同步监视.刘成岳,宋逢泉,陈美霞【1们,用数值模拟的方法得到等离子体电流和位形的控制参数,为今后EAST开展等离子体平衡和控制提供了重要的参考价值.
在过去的20年中,对托卡马克中低模态到高模态转迁模型有了很多研究.F.Wagher等【ll】首先在ASDEX托卡马克中发现了高模态,K.Shaing和J.Cruhe[12】研究了一类低模态到高模态转迁模型的分岔,S.Itoh等【13】提出了在托卡马克中等离子体低模态到高模态的转迁模型并讨论了突变现象.S.Itoh等【14】研究了在
北京工业大学理学硕j二学位论文
托卡马克中ELMS2H模态的极限环.X.M.Wang[15]分析了文献14中模型的稳定性和突变.W.Zhang[16】研究了在托卡马克中一维梁的非线性动力学.R.J.Colchintl7】等研究了在DHI.D托卡马克中慢低模态到高模态转迁的物理行为,发现在瞬态模态中,能量和粒子限制增加低模态值.EGuzdar等【18】通过实验数据给出了在DIII—D托卡马克中低限制模态到高限制模态转迁的理论比较.WZhang和D.x.cao【19】研究了在托卡马克中等离子区边缘附近低模态到高模态Ginzburg.Laudau类型转迁方程的局部分岔,得到了Hopf分岔和极限环振动.近年来在托卡马克中的混沌运动得到了广泛的研究.E.C.Silvia等【20】利用频闪映射研究了等离子体边缘全场线混沌的产生过程和磁轴的Hamilton分岔.J.S.E.Portela等【21】研究了带有遍历限制器托卡马克磁场的辛映射,用它可描述在内壁边缘产生混沌的扰动磁场.他们利用数值方法研究了由于邻近磁场的相互作用而产生的混沌、混沌区域,并研究了由于和托卡马克壁碰撞而产生的反常扩散和场的消失.T-Koretz【22】等数值研究了等离子边缘Lagrange混沌对托卡马克中限制于磁场的等离子体的影响.R.L.Viana[23]利用Hamilton描述和数值方法研究了带有共振螺旋圈的托卡马克中磁场的混沌.K.Ullmann和I.L.Caldas[24】提出了描述托卡马克中磁场轨道的二维辛映射模型.利用Liapunov指数、Poincar6映射和旋转变换研究了系统的分岔和通向混沌的途径.
1.4课题来源
本课题来源于国家自然科学基金重点项目(10372008),北京市自然科学基金项目(1082002),北京工业大学研究生科技基金重点项目(ykj.2007.1898).1.5本文的研究内容和主要成果
本文利用平面多项式向量场分岔理论和判定函数法,研究了托卡马克方程的非线性动力学性态,给出其在一组参数控制条件下的极限环构型及稳定性分析,特定参数所对应的高模态和低模态扩散系数.
本文共分为四章:
第一章是绪论,综述了托卡马克核反应装置的发展和研究现状.
第二章是理论基础,给出了Z。.等变向量场,多尺度法、极限环、平面系统的分岔、阿贝尔积分和判定函数法等概念以及平面多项式向量场多极限环分岔的研究方法.
第三章先用多尺度方法化将托卡马克方程进行化简.运用平面多项式向量场的分岔理论与判定函数法对托卡马克方程的平均方程进行动力学分析,求得9组参数分岔图,通过参量控制,给出托卡马克方程在1组精确的参数控制条件下,4
第1章绪论
可以获得22极限环,并给出其分布构型..
第四章首先判断了托卡马克方程在特定参数条件下所产生的22个极限环的稳定性,得出10个极限环是稳定的,12个极限环是不稳定的.‘利用代数方法和Lingo数学软件求得未扰和扰动参数所对应托卡马克方程高模态和低模态扩散系数,为控制托卡马克核反应过程及托卡马克核反应装置的改进提供一定的理论依据.
最后,在结论与展望中,概述了本文所获得的主要研究成果和创新点,并指出进一步研究的方向.5
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第2章理论基础
本章具体介绍了Z。一等变向量场、极限环、平面系统的分岔、阿贝尔积分和判定函数等理论知识,以及多尺度方法.
2一Z。一等变向量场
定义2.1用G表示作用在尺”上的一个紧的Lie群,
(1)如果①:R”寸R”是一个映射,且对所有g∈G和x∈R“有①(∥)=舯(工),则称①是G一等变的.
(2)如果H:R“寸尺是一个函数且对所有g∈G和z∈R”有H(gx)=H(x),则称日是一个G不变函数.
(3)如果①是一个G.等变映射,则称向量场譬:①(x)为G一等变向量场.(4)如果g是一个整数,z。是由平面上关于原点逆时针旋转2兀/g所产生的引理2.1对向量场
面dx叫Ⅵ),窘_Q(Ⅵ),(2-1)
z=X+iy,三=x—iy,(2—2)
妄玎亿珈喜筇亿现(2-3)
F(z,三)=尸(x,Y)+iQ(x,y),(2-4)
引理2.2向量场(2—1)是Zq一等变的,当且仅当函数F(z,三)具有形式:
F(啦)=∑g凡z12)三¨+Zh,(1z陆¨,(2-5)
引理2.3向量场(2—1)是Z。一等变的Hamilton向量场,当且仅当满足如下条
6Lie群,则称Z。为循环群.做变换得到其中尸和Q是多项式.其中g,和h,是具有复系数的多项式.件
O)6-2(。
弟2草理论基础
望+罢兰o.za云
推论2.1平面五次Z2一等变Hamilton向量场中的F(z,乏)形式如下
F(z,三)=(61+b21212+631z化f+‰+A,IzJ2)z,+彳,f
+0。一3互H2一互Izl2声+4三s+k一互H2)三,.(2-7)
其中,b,是实数,A;是复数.
推论2.2平面五次Z2一等变Hamilton向量场的极坐标形式
生dt=,.【G6cos20+o.566siIl20)+r2(-2a,cos20+o.5坑sin2e+
a9cos40+b9sin40)+,.4(-a5cos20-4a7cos40+4b7sin40
+口8cos60+b8sin60,
警=岛+钆c。s2臼一o.5a6sin20+r2(%+464c。s2乡+2.5a4sin2秒一
口9sin40+b9cos40)+r4(63+3b5cos20+2a5sin20
+6a7sin40+6b7cos40一a8sin60+bgcos60).(2.8)
2.2多尺度方法
设常微分方程的解为如下形式
z(f)=‰(f)+%(f)+占2屯(f)+…,(2.9)
其中
f=COt,(2-10)
国=缈o+锄l+占2缈2+…=∑s‘09f,(2-11)
f鼍0
即
f=∑占7国ft=COot+昌c01t+s2国2f+…=国。兀+缈l互+缈2疋+…,(2.12)
i=O
瓦=t,五=8t,互=s2f,乃=占7f,则解(2.9)可写为
石(r)=∑占7xf(彩。兀+国1互+092互+…),(2.13)
i=O
7其中因此xp)就是ro,互,正,…%的多变量函数.这时近似解与精确解的误差为eTu=M+If的量级.只要s足够小,这个解在足够长的时间f:D(s一Ⅳ)内,给出足够精确的解,超过这个范围就不适用了.这种把解展开成多个时间自变量函数的方法称为多尺度方法.
X)ag
定义微分算子。,=毒,。jz=砰a2,。,。,=丽ca2,
.则
—d==D。+奶l+占2D2+…+占ⅣDM,(2.14)
砉却。2+2奶oD,+62(Diz+2DoD2)+.一-(2.15)
则由时间t的常微分方程转化为关于不同时间变量瓦,互,正,…%的偏微分方程,将式(2.14),1:1(2—15)代入原常微分方程,按等号两端占同次幂系数相等的原则,‘得到关于x。,而,x:,…,XM的渐进方程组,各方程中包含有关70,互,正,…,%的待定函数,利用消除永年项的条件,就能确定这些函数.2.3多极限环分岔研究方法
考虑平面自治系统
譬:P(x,y),(2.16a)
譬:Q(工,y),(2.16b)
其中X,Y,r为实变量,P,Q为X,Y的连续单值实函数,且保证解的唯一性.
定义2.2(极限环及其稳定性的定义):
如果存在三的环状邻域U,使得在U内系统(2—16)不存在异于£的闭轨线,闭轨线三称为极限环.如果U内的其它轨线当f专+o。(或t一一oo)时都盘旋逼近于£,则称三为稳定的(或不稳定的).如果U内三两侧的轨线中的一侧当t一+o。时逼近于三,另一侧当t一一00时逼近于L,则称L为半稳定极限环.
定义2.3(Hamilton系统):
如果系统(2.16)能写成下列形式
垒:一塑,尘:塑,一=一一・一=一・dt却m瓠f2.17)●£一
系统(2.16)称为Hamilton系统.
定义2.4(扰动Hamilton系统):
如果系统(2.16)能写成下列形式
拿:一掣+护(,y,旯),——=一——+£rI出加、…7.y.以),(2.1IZ-、
穹:掣+吧(Ⅵ,五),dtax一“:。(2.19b)、8
系统(2.16)称为扰动Hamilton系统.
如果尸(工,Y,元)=-x(p(x,Y)一,(A)),Q(x,yv2)=-y(q(x,Y)一g(五)),则系统(2.18)变为如下特殊的形式:’
_■2一_一妾:一掣一ex(~p(x,y)一似)),,yJ一,【以J),(2.19a)【z。ly砷
搴:罢一(—÷=—i一一g(Ⅵ)一g(五),(2-19b)ey(g(x,y)一g(力”,
其中p(O,0)=0,q(O,0)=0,0<s<<1,旯∈R,并且P'x及q:连续.
定义2.5(判定函数):令函数F(x,Y)=xp:+Yq:+P+q,则
一㈣=%芋=湍,渊
称为(2-19)对应于{F6)的判定函数,在(h,力)平面上,函数旯=五(^)的图像称为判定曲线,其中D6表示闭轨r6所围的平面区域.
如果H(x,Y)=h是多项式,则兄(五)是两个阿贝尔积分之比.这时五(^)是关于h的可微函数.如果H(x,Y)为高次多项式,经典的数学分析无法计算五(五),可用数值积分的方法(例如Maple,Matlab等符号计算软件)来计算其阿贝尔积分.2.4本章小结
本章介绍了Z。-等变向量场、多尺度法、极限环、平面系统的分岔、阿贝尔积分和判定函数等概念以及平面多项式向量场局部与全局分岔的研究方法.现实生活中,许多事物的发展和运动都具有某些等变对称性,作为描述事物发展或运动的动力系统当然也具有某些等变对称性.本文研究的系统就是z:等变对称的.9
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第3章托卡马克方程的非线性动力学分析
本章研究托卡马克方程的动力学性态,先后对未扰和扰动系统进行了动力学分析.给出了9组参数条件下的分岔图,并在一组参数控制条件下得到了22个极限环.
3.1方程引出
描述托卡马克等离子区边缘附近等离子体密度和径向电场强度的一维Ginzburg-Laudau扩散方程可写为
iOn=i0【D(E,)iOn]+Zcosf2lf,(3—1)
y鲁一N(Er,g)Ⅵ等+^锄:r,(3.2)
其中刀和耳分别是等离子区边缘粒子的密度和归一化径向电场强度,D(E,)和以是密度和径向电场强度的扩散系数,Ⅳ(E,g)是电流总作用,Z,Q,,以和Q:分别是粒子扰动和径向电场控制的振幅和频率.D(E,),N(E,,g)和y满足下面的方程:
D(Er)=监产+—Dm—axi-一DIllin2tan(4),、“7
Ⅳ(Er,g)=g—go+(∥E;一倪E,),
g(咒):三字,(3-3)
rl‘姒
川・+≥2)紊2,
g。是常数,v』,C,BP和B分别为阿尔芬(Alfven)速度,光速,平行于托卡马克极向的磁场强度和特征磁场强度.
应用如下变换
1
,l=吉,Er=U,V=Vo+彳(x)V(f),U=G(x)u(f),(3-4)
,
I1>=alu+口2w+口3’,+口4V2+口5V3+乜6圳2+口7vcosQlf+口81,2cosf2lt
{+a9cosf]1t+ao,(3—5)陋=b,v+b2u+b3u3+b4cosf22f+bo,10其中D。,和D而。分别表示高模态和低模态的扩散系数,参数v一,C,B尸,B,口,∥和将方程(3-3)和(3—4)代入到方程(3.1)和(3.2)中,得到如下方程组
第3苹托卡马死万程在一组参致F的下及限环构型
再消去v和t得到托卡马克方程系统模型如下式:
ii—s∞+反五4-尾“+反“攻"4-f15u2+,86a2)五+彩2“一日口2“2一日口3“3
+s@eos(2lf牟艿2曲sQ2t)u=雹cosQli+£2己cos(f22t+驴2)+c2ao,(3—6)其中变量U表示托卡马克中等离子区边缘附近归一化径向电场强度的变化,0<F≤1,Q。和Q:分别表示粒子扰动和径向电场控制的频率.
利用多尺度法得到托卡马克方程的平均方程如下:
文=aoly+a03Y3+口05Y5一ex(-a50x4-a4lx3Y-a32x2Y2)
一£x(一口23xy3-a14Y4-a30x2-a21xy-a12Y2一口lo)(3-7a)
夕=bloX+b30x3+65025一砂(-b05Y4一b14xy3一呓x2Y2)
一砂(—岛2x3Y—b4lx4一b03Y2一b12xy-b21x2—601)(3—75)
3.2托卡马克方程扰动前的动力学性质
系统(3—7)未扰系统表示如下:
j=aoly+a03Y3+aosY5,(3—8a)
多=轨ox+b30x3+650x5,(3—8b)
其Hamilton函数为:
日(z,y)=一j1(2jl。石2一口。,y2)一l(b30x4-a03Y4)一l(b50x6-aosy6).(3.9)记
Xl2,X22
夕l2
.(3—10)
则未扰动系统(),(0,Y2),(+西,y2)以及它们的Z2一等变对称点是中心,(X2,0),(0,Y1),(±五,Y1),(-l-X2,Y:)以及它们的Z2一等变对称点则是鞍点.
未扰系统(3.8)含有6个参数,选定如下9组参数,可得到分岔图4—1.
当a03=5.48,a05=-3.74,blo=3.03,b50=3.72,得到图4—1分岔图a当a03=5.47,a05=-3.75,blo=3.01,630=-8.04,得到图4一1分岔图b当aol=-1.02,a05=-3.72,630=-8.01,b50=3.74,得到图4-1分岔图c
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当a01=-1.04,a05=-3.72,blo=3.04,b50=3.77,得到图4—1分岔图d当aol=-1.03,a05;-3.76,610=3.04,b30=-8.02,得到图4—1分岔图e当a01=-1.01,a03=5.49,630=-8.01,b50=3.75,得到图4-1,分岔图f当aol=-1.01,a03=5.47,blo=3.01,k=3.76,得到图4-1分岔图g当a01=-1.02,a03=5.49,blo=-3.03,b30=-8.01,得到图4-1分岔图h当a03=5.44,口玉=-3.75,630=-8.05,b50=3.74,得到图4-1分岔图i
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图3.1一组参数分岔图
最后选定参数分岔图3.1f做进一步的分析:
可以得到以G∽blO)为参数的分岔集合,如下图所示:
12
第3章托卡马克方程在一组参数下的极限环构型
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图3.2参数分岔图
为了比较W,(f=2—5),考虑以Q∞,blo)为参数的第二象限的几条曲线:(c1)磁=^;;(C:)蛭=域;(C3)磁=蟮;(C。)磁=W;(C5)缮=蟮;(C6)蟛=蟛.这六族曲线将以Q∽blo)为参数的第二象限分成12个不同区域(如上图示),在这些区域中群(f=2—5)有如下次序:
(1)当(口∞,b10)∈0),一∞<蟮<绣<垮<磁<+o。,
(2)当a05,b10)∈∞),一00<磁<蟮<磁<域<+o。,
(3)当a5,6lo)∈泅),一00<噬<蟛<蟮<磁<+∞,
(4)当a5,310)∈(,矿),一00<霹<绣<蟮<磁<+o。,
(5)当a05,岛o)∈缈),一o。<瞄<蛭<磁<霹<+o。,
(6)当(口。,,6l。)∈(刀),一oO<噬乏缮<磁<蟛<+∞,
(7)当G05,hi0)∈◇Ⅱ),一∞<琏<鸳<域<缮<+∞,
(8)当G05,61。)∈◇聊),一00<鳝<蟛<霹<磁<+∞,
(9)当Q∞,hi0)∈缸),一oO<噬<域<缮<垮<+∞,
(10)当a∞,hi0)∈伍),一oO<霹<磁<蟛<蟛<+。。,
北京1二业大学理学硕士学位论文
(11)
(12)当G05,hi0)∈∞),当(口05;6lo)∈(xzr),一oo<hl<晖<鳝<晖<+o。,一OO<hl<磁<骘<晖<佃.
定理3.1
等价区域.当口05<0,6lo>0时,Z2一未扰Hamiltonian向量场(3-8)有12个拓扑
图3-3系统(3—8)的Hamilton函数随h变化的图像
图3.4未扰系统(3.8)在参数条件UP下所定义的闭轨族14
第3章托卡马克方程在一组参数下的极限环构型
通过比较分岔图本文研究如下参数
乙P=(口o:l,口03,口05,blo,b30,b50)二(一1.01,5.49,一3.76,3.01,一8.01,3.75)条件.本文所讨论的参数属于第脚区域.
计算得:一00<矸<hl<鳄<域<0<鳝<蟮<西<鳝.
系统(3-8)在参数条件卯下所定义的闭轨族如图3-1所示,由(3.9)式所定义的曲线随^从一∞到鳝变化而变化的图像如图3-5所示.
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鲜<h<矗;h=鳝
图3-5在参数条件UP下由(3.9)式所定义的曲线随h的变化而变化的图像由图3.5可以看出,当h变化时,未扰系统(3.8)的相图定义了9种不同的闭轨族{r?),J=0,1,…,8.
(1)当h∈(一∞,矸)时,系统(3-8)存在l族全局周期闭轨:{聪)(包围全部25个平衡点).
(2)当h∈(鲜,蛭)时,系统(3-8)存在5族周期闭轨:{聪)和{罐),“=l,…,4)(包围中心(+x2,Y。)及其Z2一等变对称点).
(3)当h=噬时,系统(3—8)存在1族全局周期闭轨:{聪5)和4个同宿环:{聪i),(i=1,…,4)(连接鞍点(±x2,0)).
(4)当h∈(绣,茑)时,系统(3-8)存在3族周期闭轨:{聪)和{呓),O=l,2)(包16
第3草托卡与免万干呈在一纽爹效r的做限蚧构型
围中心(+x:,Y。)及其Z2一等变对称点和鞍点(±x:,o)).
(5)当h=h;时,NN(3—8)存在1族全局周期闭轨:{磁)和4个异宿环:{嘭),O=1,2),殍)和甜)(连接鞍点(o,±y。)).
(6)当h∈(聪,磁)时,系统(3—8)存在3族全局周期闭轨:{聪),‘{聪)(包围中心(O,0))和{■h)(包围中心(0,o),(+z:,Y,)及其Z2一等变对称点和鞍点(±x2,0),(0,±Y1)).一
(7)当h=h;时,系统(3.8)存在6个异宿环:{臂o),{球),{睹),a=1,2),和{睹),(i=1,2)(连接鞍点(±x:,Y:)及其Z2-等变对称点)和1族周期闭轨:{睁)(包围中心(0,0)).
(8)当h∈(域,o)时,系统(3—8)存在5族周期闭轨:{聪),{磷),(江1,2)(包围中心(±_,O),(±五,Y2)和鞍点(±工l,少。)以及它们的Z2一等变对称点)和(■h;),(i=1,2)(包围中心(0,±Y2)).
(9)当h∈(o,五;)时,系统(3-8)存在4族周期闭轨:毗),(i=l,2)和{璐),O=1,2).
(10)当h=缮时,系统(3-8)存在两族周期闭轨:{。lⅦ’h1),G=1,2),两个异宿环:。.r",N,),U=1,2)和四个同宿环:{蟛),a=1,…,4)(连接鞍点(±而,y。)及其Z2.等变对称点).
(11)当h∈(蟮,K)时,系统(3—8)存在8族周期闭轨:{呓),(i=1,2),{硝),(i=1,2)(包围中心(±_,O))和{“h,),(f=1,…,4)(包围中一tb(+x。,Y2)及其Z2.等变对称点).
(12)当h∈(鳐,鲜)时,系统(3-8)存在6族周期闭轨:{璐),a=1,2)和{聪),a=1,…,4).
(13)当h∈(巧,K)时,系统(3—8)存在4族周期闭轨:{磁),O=1,…,4).注:随着h的增加,周期闭轨础,磁和聪向外扩张,其它的周期闭轨向内收缩.
3.3托卡马克方程扰动后的动力学性质
定理3.2(极限环存在性定理)在如下参数组条件卯,尸G下系统(3.7)至少有22个极限环,其分布构型如图3-6所示,这里UP=(a01,a03,a05,blo,b30,b50)=(一1.01,5.49,一3.76,3.0l,一8.01,3.75),
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尸G=(C40,‰,C22,c20,%)=(76.05823,一48.67855,25.95,一156.46,15.15662)
图3-6系统(3.7)在参数条件UP和PG下22个极限环的分布构型
证明:对于系统(3.7)的对应于上述9种闭轨线{r?),(f=0,1,…,8)应用判定函数法,通过阿贝尔积分得
2,0(h4)>0,丑(五?)<0,以(h1)<0,如(h;)<0,如(巧)>0,
乃(ho)>0,以(垮)>0,2"4(埘)>0,以(J|l;)>0,2"5(%)<0,以(蝶)<0,
九(庇;)<0,2,6(h1)<0,乃(蟛)>0,乃(h1)<0,以(蟛)<0,以(h1)<0.
和
仃04>0,仃12>0,仃22<0,仃23<0,仃33<0,仃43<0,仃“>0,仃54>0,
盯55<0,仃“>0,盯75<0,仃85<0.
根据以上结论画出分岔曲线图如下:
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完l(五)岁座)如(南)五(办)
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图3-7系统(3—7)在参数条件UP、PG下的分岔曲线图
再根据相图构型及Z:等变对称性,有:r1附近产生8个极限环.F2附近会产生2个极限环.r5附近会产生4个极限环.r6附近会产生4个极限环.118附近会产生4个极限环.定理3.2得证.
第3章托卡马克方程在一组参数下的极限环构型
3.4本章小结.
本章首先利用多尺度方法化将托卡马克方程进行化简.运用平面多项式向量场的分岔理论与判定函数法对托卡马克方程的平均方程进行动力学分析,给出9组参数条件下的分岔图;通过参量控制,给出托卡马克方程在1组精确的参数控制条件下,获得22个极限环,并给出其分布构型.19
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第4章托卡马克方程极限环的稳定性及在特定参数
下的物理意义
本章主要研究了在参数组UP和PG条件下托卡马克方程极限环的稳定性,并给出该组参数控制条件与托卡马克方程高模形态与低模形态的扩散系数的关系,为托卡马克核反应方程的控制及托卡马克核反应装置的改进提供了一定的理论依据.
4.1托卡马克方程极限环的稳定性分析
引理4.1(Hopf分岔参数值)若当h—h—i时,系统的周期轨线r6逼近奇点(善,7),则在该点的Hopf分岔值为
%=五(庇1)+o(e)=!im,旯(Jiz)+O(g)=F(善,r/)+o(e).(4-1)一“l
引理4.2(同宿环或异宿环的分岔方向)假设当hjh2时,系统的周期轨r“趋近于一个连接双曲鞍点位,∥)的同宿环(或异宿环),且鞍点量满足
跑(口,∥)=2ecr(a,∥)三2e(2'(h2)一F(a,∥))>O(<0),(4—2)
则有
力’(厅2)=jim_.兄’(^)=一oo(+oo).(4—3)
,l—',12
引理4.3(极限环的稳定性)对于随着h增加向外扩张的轨线r,如果A(h)<0,则该轨线r分岔出的极限环是稳定,如果五(办)>O,则该轨线r分岔出的极限环是不稳定的;对于随着h增加向内收缩的轨线11,如果兄(jz)<0,则该轨线r分岔出的极限环是不稳定的,如果见(五)>0,则轨线r分岔出的极限环是稳定的.
定理4.1(极限环的稳定性定理)在如下参数组条件下:
UP=(a…a03,a05,bjo,630,b50)=(-1.01,5.49,-3.76,3.01,-8.01,3.75),并且PG=(C柏,%,%,C20,C02)=(76.05823,一48.67855,25.95,一156.46,15.15662)r1轨线附近产生8个稳定的极限环,r2轨线附近产生2个稳定的极限环,r5轨线附近产生4个不稳定极限环,r6轨线附近产生4个不稳定极限环,I’8轨线附近产生4个不稳定极限环.20
证明:(1弟4草于七卡--%觅万栏祓限外的稳定性及孑F行定参数F的物理恿义)利用阿贝尔积分,可得到五眠)=譬<o,吒:>o,又r1轨线随着h的增加而扩大,根据定理3.2与引理4.3可得在r,轨线附近产生的8个极限环稳定的.Q,利用阿贝尔积分,可得到如QJ=譬<。,吒:<o,盯23<0,y.r2轨线随着h的增加而扩大,根据定理3.2与引理4.3可得在I'2轨线附近产生的2个极限环稳定.。,利用阿贝尔积分,可得到以@J=譬<o,仃H>o,仃,5<0,又r5轨线随着办的增加而缩小,根据定理3.2与引理4.3可得在I’s轨线附近产生的4个极限环不稳定.H,利用阿贝尔积分,可得到九@J=譬<o,仃“>o,又一
轨线随着五的增加而缩小,根据定理3.2与引理4.3可得在r6轨线附近产生的4个极限环不稳定.@,利用阿贝尔积分,可得到以@◇=譬<o,仃鲒<o,又rs轨线随着h的增加而缩小,根据定理3.2与引理4.3可得在rs轨线附近产生的4个极限环不稳定.
图年l系统(3.7)在参数条件卯和PG下22个极限环稳定性示意图21
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4.2物理意义
下面主要分析本文选定的参数组UP’,PG与所对应的物理方程中的实际参数之间的关系,并运用多极限环分岔的理论对其做出合理的解释.
结论4.1由方程(3.7)与方程(3—6)有如下结论:
102
∑A‰+∑c?;,72n嘞=6似’(尼=1,2,…,9).(4—4)
i笃11-<11<】0
lS,2盈0
其中{x,Ii=1,…,10)分别表示
Lu,盯,(4+疋),口:,口,,履,岛,屈,屈,∥。).
(4-4)中的非零参数如下:
=(a::,q::,q::,q{;,q:jo,c艘。。)=(3,2,-11,7,2,-9),
b‘1’=一60.16,A12’=36,42L12,A‘2’=(么乳么{2))=(36,12),
C但)-(Cf碧,c羰,q;;,q;;,c』;;,q;:,a;j,q;:,q;;)
=(12,12,一36,一3,3,40,40,16,4),b‘2L131.76,
C。)=(q薯,q::,q::,C;?;,q;;,a梵,q:j,c黔,碟;:)
=(12,12,-36,3,3,40,40,4,16),
A‘3’=(彳53),彳;3))=(12,36),b‘3L192.24,
CH’=(a‰,a翟,q?先,q4,9’1、=(3,5,13,3),
Cu)_(q鼍,q‰,q;;,a‰)=(1,1,1,1),b‘5’=33.8,
C拍)_(c器,c攘,q‰,d6;,q‰,c{?;,c器)=(12,12,48,1,,一15,8,8),A‘6’=(彳∥,46’)=(24,8),b‘6L121.25296,
C‘7)-(qX,c{‰,aX,q‰)=(1,-9,-1,1),b仃’=23.07.
结论4.2由结论4.1、方程(3.6)和方程(3.5)有如下结论:
1234
∑彳?z,+∑碟.,2∑Un.12.|3。|4n(女)兀%+∑P(女)
。n,,2,,3,,4兀嘞=0.(4-5)
f=lls,lSl2:兀斟h+lS,1≤12i---11鲥l铂2,=l
150lSl2l≤,2≤121型2a2
l鲥3S12,.q./3S12
l鲥4组2
第4童托卡马克方程极限环的稳定性及在特定参数下的物理意义
其中“.Ii=1,…,12}分别表示{6f,口.,li=0,…4,_,=2,‘…8).
(4-5)中的非零参数如下:
Co)-(qI)2)=(-o.9761411),
=(E黢,'8,E黢,,6,磷:’3,。。,硭j'3,,)=(1,一1,2,一3),
C‘2’叫(。--,2m.2)=(-5.124814),D‘2’=(D黢,o,D黢9)=(1,一1),
E‘2’=(E器,。’8,硝‰.7,耳}。,,)=(2,-1,3),
D。’=(D£!!,。,D£:,,,D鼹,。,D;X,)=(1,1,一2,3),
C‘4)_(q冀,喇,C。224’2,)=(1,一3,一2.493826),
Co)_(q::)=(-3.988565),D‘5’=(磷:’4'硝;,,)=(3,3),
A6=(46’)=(一1),C‘6’=(q曼)=(o.4428814),彳(7)=(彳』7’)=(-2.502493),
Du’=、一/3,('3,,:,D£;,n,D£;,8,D£;,。,D(3.10)=(2,一1,2,一1,2).
结论4.3由结论4.1、结论4.2有如下结论:
17234
∑彳;”x,+
f=lg-,门(t)t1<11_<17Z二J-Hi,12
1鲥1<17兀Xli+∑D如:弗丌嘞+∑磷0,∥兀嘞i=I1<ll翊71<12'<17
l鲥3S17f=11<11<17i=11鲥2a71.</3<17
1.g/4<17
1.</5917
5
+∑础2,j3’f4’J5兀Xli=0
1<11917
1<12<17
1<13<17
1<14<17i=l(4—6)
1505翊7
其中{Xii=1,…,17)分别表示
{D一,D+,G,A,-,彳,%,吃,Z,厂,g。,∥,G,口,∥。,0,石).
(4-6)qu的非零参数如下:
彳o’=(4n,4:’)=(-3,一1),Co’=(Cj:{o)=(1.655139),
爿但’=(彰2’)=(一3),C‘2’=(C;∞=(2.472232),
C。’=(罐;4,碟kCv3’3(31)o)=(1,1,一0.643029),
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A‘4’=(彳嚣’,么£’)=(1.004536,1),
E‘5’.-(鼋‰。。)=(1),F‘5)_(碟'5'7.8,础'6’”,巧‰7,16)=(-4,1,1),
D拍)_(硝置7)=(2.447986),E∞’=(耳皇’5’7,耳≈’5,8)=(2,-4)..
结论4.4通过代数计算方法和Lingo数学软件研究系统(4—4)、(4—5)、(4-6)
求得在如下参数条件下:
UP=(口ol,a03,a05,blo,b30,b50)=(一1.01,5.49,一3.76,3.01,一8.01,3.75),
PG=(C40,C04,C22,Qo,C02)=(76.05823,一48.67855,25.95,一156.46,15.15662)下,托卡马克方程在高模态和低模态的扩散系数分别为:D。=2.516874,
D一=2.4138866.
这说明,当托卡马克核反应装置进行核反应时,如果把高模态和低模态的扩
散系数分别控制为D。=2.516874,D一=2.4138866,则托卡马克流动等离子体附近£形态向日形态转变的核反应方程会产生22个极限环,其中10个极限环是稳定的,12个极限环是不稳定的.极限环的构型和性态为托卡马克核反应装置的改进提供了一定理论依据.
4.3本章小结
本章首先通过极限环的稳定性定理判断了托卡马克方程在一组参数条件下
所产生的22个极限环的稳定性,得出了10个极限环是稳定的,12个极限环是不稳定的.并给出了示意图.利用Maple符号计算软件将方程(3.1),(3-2)N方程(3.5),方程(3.5)N方程(3.6),方程(3—6)至lJ方程(3.7)之间的参数对应起来,再利用代数方法与Lingo数学软件求得了高模态和低模态的扩散系数.用本文的主要结果在一定意义上解释了托卡马克核反应过程.
结论与展望
结论与展望
核能是新兴能源,目前世界各国都在大力发展核技术,托卡马克核反应装置应运而生.更加深入的分析托卡马克核反应装置的核反应方程是安全利用核能的基础.
本文首先运用多尺度方法对托卡马克方程进行化简.运用平面多项式向量场的分岔理论与判定函数法对托卡马克方程的平均方程进行动力学分析,求得9组参数分岔图,通过参量控制,给出托卡马克方程在1组精确的参数控制条件下的非线性动力学性态.
本文的主要结论:
(1)求得托卡马克方程在一组参数控制条件下得到22个极限环,其中10
个稳定的极限环,12个不稳定的极限环,并求得极限环分布的拓扑结构。
(2)得到托卡马克方程高模形态与低模形态的扩散系数,阐述了托卡马克
方程在本文所讨论的参数下的物理意义。
随着世界核技术的飞速发展,托卡马克核反应装置的进一步改进和非线性动
力学理论的日益完善,为了适应此发展趋势,本课题在以下两个方面还有待深入研究:
(1)对方程的物理背景进行更加深入的研究,使得能够在一组未扰和扰动
参数下求得更多的托卡马克核反应方程的实际参数,为控制托卡马克核反应过程,托卡马克核反应装置的改进提供进一步的理论支持.
(2)用周期解理论判定托卡马克方程高维极限环的存在性,稳定性及其构
型.25
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詈2。b
北京T业大学理学硕十学位论文
附录
JY程(3—1),(3.2)到方程(3-5)的参数对应关系
4=三(。一±。“铲鲁(圪一百2V2)_.%砸,L¨%曙口:=鲁[锄+翻一百2G(2I圪一号曙)],口,2。么‘”。
%、%~。D一了坼矾2%,.o
2『o矾书钞扔
2D+A
a42——么圪(-一丢硼鸭=T2D+J12,口6=一2D例彳%(;4-Z%么Vo),以,=一2石%,口。=一z彳,口,=一鲁曙,60=go+3vo岛=鼍,如=≯铀G,也一等,钆=嘉.
方程(3.5)到方程(3.6)的参数对应关系
如口,b2-a1岛+a2bo一言a4b2‰+6砰鸸瑶一鲁酲
口:=等醒一口z吃+寿a6b2‰一言口s6226。反执翻
口,=云口一岛6b一以,以+百a6口:一虿a5(622-3b3b02),
∥=62+口s一261a4b。+3砰口s酲,反2百a4一可3口s60,屈=口:一百2口。62—2口s,屈=百a6一可3口s6b,屈=3也+a67以s622,成2毒,磊2音口s也60一口,吃,皖:“皖2
la4b4b2心+百口e。’E=口,・码+轨u’一口2b4+_2口6b4b。,E:口9bl一口7bo+a:s,
=[(詈呐60-口3b4一’-fasb4b;)2=[‘专口。玩60-口,一’2+p4Q2)2]%,
‰=arctan(64Q2,气
云口46460叫,b4一声口sb46。
‰2盘。bI--as60一口,6b+詈6;+鲁醪一睾6;・
方程(3.6)到方程(3.7)的参数对应关系
口。,=一老忍Esin(伊:)+3P2Ecos(伊:)+i1口:五cos(伊:)一去(4+疋)2+i1∥2一仃
30
附录
口∞2三层+三口,+三压∥+三反盯+吉厨+;所+喜.口:及一言口,盯+;口:2一百1尻(磊+疋)+昙纵磊+岛),
口。s2杀成一言压成+去羼一面5所+虿1口,尻+未口;一詈所+;屈∥。+詈店一詈所
6l。=三∥+击属互+老尼疋cos(仍)+三屐互sin(仍)+丢口:五sin(仍),
ba。=三1尻一言口,一三屈∥一兰屈盯一吉厉一詈屏一言口:尾+三口,盯一;口:2
一吉屈(磊+最)一畜1姒区+疋),
6s。=虿3∥。屈+i13织成+言口。压+詈口,成,
口s。=i9以屈一言屈成+吾口。展+詈口,尾,
%=一鼍露+詈屈尾+景羼一嚣所一萼啪+缸+三啪+三啪+i9屈屈一专附6,
口s:=一9P,P,+三反∥。一三口,屈一兰口,成,
%=一等成+・。屈展+三羼+言历一言口,屈+了15口;一萼口,以,。%=苦口,层+詈口。统+詈反屈一警∥。∥。,
口,。。互3∥s+三尾+3∥。仃+三尻∥+三lp:屈+j1口:履+三口,∥一lp6(8,+疋)
以z,2圭屈+三口,+三压∥+三尾仃+吉詹+詈历+;口:履一丢口,仃+;口:2一百5屈(4+龟)一言嘣4+屯)+扣(磊+疋),
%=吾成+三∥,+3成仃+三反∥+三及岛+互1口:尾+三口,∥+三屈(4+疋)一三成(4+疋)口,。=三∥一壶屈E一西1屈ECos(仍)一j1,82F:sin(9:)一吉口:Esin(伊:),
6I一=而63p-s2一詈屈屈一话I岛2一话19p;2+芸口,屈一话3口;,
也,=罢口,屈+等口,成+百21反屈一筹尾成,
31岛:=一i27p-。2+等尾∥。一芸厨+詈历+i1口,尻一i33口;,”吉鹕一詈毗一詈尾屈+詈屈展,
北京工业大学理学硕十学位论文
6∞=三∥。+三压+3∥。仃+三反∥+三厥尾+三1口:屈+三口,∥一‘三成(4+疋)一三∥s(4+疋)吮2-II一
,一2
+履%一3q2%,一2∥,.1以∥“疋
∥件2一,一6艘。3所一%2仍,3卅2叩一彰22¨一8良@反4曩)"t霉一@●一2压”凤既q=3—23—8∥一舭》叶m弘+卜●一2殷廖,b%尾哪3—4.
。一4扭侠@,Lt9卜4∥名p嗲屯)
60l=圭∥+去乜E+壶屈丘c。s(缈:)+13p:疋sin(伊:)一吉口:Esin(缈:).
32
攻读硕士学位期间所发表的学术论文
攻读硕士学位期间所发表的学术论文
1.李静,邓伟,张伟.托卡马克受控热核反应装置内部的非线性动力学分析,第八届全国动力学与控制学术会议2008,哈尔滨,已录用并作分会报告.同时被会务组推荐到《力学季刊》(核心期刊).
2.李静,邓伟,张伟.托卡马克受控热核反应装置的动力学特性,第十二届全
国非线性振动及第九届全国非线性动力系统和运行稳定性学术会议2009,镇江,分组报告.
3.项目名称:Maple在高等数学及动力系统中的应用(项目编号:ykj.2007.1898),北京工业大学第六届研究生科技基金重点资助项目,主持人:邓伟.
北京工业大学理学硕七学位论文
致谢
本文是在导师李静教授的悉心指导下完成的,从论文的选题、文献的收集、论文的思想和方法以及论文的整理撰写都得到了导师精心的指导.一直以来,李老师渊博的学识、精益求精的治学态度为我树立了榜样.不仅如此,李老师还积极为学生提供良好的学习条件和科研环境,为我们创造了宽松的研究氛围.与此同时,师从李静教授三年来,由于导师的谆谆教导,我明白了很多做人的道理,这些财富将伴随我一生.
衷心感谢应用数理学院范周田、王术、张汉林、乔元华、任志华、何斌、黎勇、胡京兴、杨卫华、杜娜、王海燕、张东玲、黄锦绣、退休教师赵子科等老师在学习和生活中给予我的指导和关心.
衷心感谢机电学院张伟教授在学习和生活中给与我的指导和关心.
衷心感谢北京工业大学研究生科技基金管理委员会.
此外,我还要感谢硕士研究生李丁、杨召丽、刘晨辉、兰楠、王磊、孟勇、彭朝霞、石启宏、关小龙、王馨、张秋京、刘进财、郭新林、王海军、王海丽、朱美玲、闫肖丽、李雅男、李蕊、鲁瑞星等人生活上的帮助和学业上的有益探讨.
特别要感谢我的师兄杨朝欣,师姐孙敏、李林锐、张杨、缪素芬、田云,师弟刘玉涛、刘兆仲、白晋雄、李帅,师妹袁星、张丽娜、魏晓丽,他们给予我学习和生活中极大的帮助.
感谢我的父母和弟弟,正是他们的支持和鼓励,我才能安心的学习并顺利的完成学业.
“不积跬步无以至千里,不积小流无以成江海”.这次毕业论文能够最终顺利完成,归功于各位老师三年间的悉心教导,使我能够很好的掌握专业知识,并在毕业论文中得以体现。也正是你们长期不懈的支持和帮助才使得我的毕业论文最终顺利完成。最后,我向北京工业大学应用数理学院的全体老师们再次表示衷心的感谢:谢谢你们,谢谢你们三年的辛勤栽培!
最后对评审专家和答辩组专家一并表示诚挚的谢意.2010年5月