利用伸缩变换求解有关椭圆的问题
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上海中学数学2014年第l 一2期
利用伸缩变换求解有关椭圆的问题
200231
上海中学刘丽霞
在中学数学中，伸缩变换在“三角函数的图像变与换”这部分重点作了介绍，在其他章节较少涉及．解n 。
+告扩
=1(口>6>o)相切、相交、相离的充要条件．
析几何中，直线与圆的位置关系根据圆心到直线的分析：通常的饵法是将直线方程与椭圆方程联距离与半径的大小关系作出判断，计算较为简单．而立，利用判别式求解，但计算量较大．下面尝试用伸在判断直线与椭圆的位置关系时，往往是通过判别缩变换将直线与椭圆的位置关系判断转换为直线与式来获得解决，这种方法使得计算量大幅增加，现在圆的位置关系再作判断．
试将伸缩变换的方法引入其中，把椭圆变换为圆从而简化计算．解：作伸缩变换J
f z7=詈
“，则直线z 与椭圆r 分
一、伸缩变换
f y75詈
对于曲线方程C ：F(z ，y) 一o ，作如下变换
别化为A 丑z7+B幻7+C =o与z 曲+y化=1，因此圆心(原点) 到直线A nz7+B 的7+C=o的距离d=
l
，
X
z 一了
J
“，则曲线c 的方程变换为．F (理z7，63，7) =o，
—；兰兰兰；，(1) 当。
d=1，即A 2口2+B262=C2时，’
、／A 2口2+B2铲
V
l y ，一旁
直线z 与椭圆J1相切；(2) 当d点A (T l ，y ，) 、B (z ：，y2) 、P(z ，y) 经上述变换后为点
C 2时，直线z 与椭圆r 相交；(3) 当d>1，即A 2口2+A 7(乜zl ，63，1) 、B7(口T2，b2) 、P7(nz，幻) ．易证该变
B 262
换有如下性质：
1．若点P 满廊一A 商，则积=AF 官．
评注：将直线与椭圆的位置关系的判断通过伸缩变换转换为直线与圆的位置关系判断，简单可行．
2．两条平行线变换后仍旧平行，两条相交直线变换后仍旧相交，但夹角会改变．例2
对于椭圆c ：与+告一1(口>6>o)，问
3．直线与圆锥曲线相交、相切、相离的相对位
平面上是否存在点P 使得椭圆C 完全落在以点P 置关系不变．
为一个顶点的矩形所围成的区域内(包括边界) ?
4．1A Bl ．狮再孑虿=们蕊r 1n6f
f A 7B m
若存在，找出所有满足条件的P ；若不存在，说明其中志为直线A B 的斜率．
理由．
因此考虑将伸缩变换应用在椭圆中可以解决直分析：因为椭圆可以完全落在直线z=±口，线与椭圆的位置关系的判断问题，与定比分点有关y 一±6围成的矩形区域内(包含边界) ，所以满足条的问题以及求有关参数的取值范围等等．件的点P 一定存在．为寻求到所有满足条件的P ，二、伸缩变换在椭圆中的简单应用
因此考虑边界情形，即使得以点P 为一个顶点的矩形是椭圆的外切矩形．
例l
试写出直线Z ：A z+By+C =O与椭圆r ：
解：设过点P(z 。，弘) 的直线Z ：y —y 。=志(z 一
相交；
(2)若薯一等=1，即瑶一口2(1+等) ，则lA Fl
解题后的反思，不仅能加强对概念、知识、技能一2n ，故直线f 与双曲线C 相切；
的理解，更能训练思维能力，提高对知识与方法的迁移能力．只要能形成解题后反思的习惯，那必定对解(3) 若雾一旁>1，即瑶>n2(1+旁) ，则lAFl
题能力有一定的提高．
上海中学数学2014年第1—2期
．
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f z7=三
z 。) 与椭圆c 相切，通过伸缩变换j
口，将直线z
I 岁2孛
与椭圆C 转换为方程缈7一的。7一走(口z7一nz 。7) 与
z 号群钆化简得㈦。吨+y地=1．根据直线与圆相切的充要条件，得2“埔一
d 一
2口缸。0。7志+(62弘圯一62) =o，两根之积志。志2=
舞等一筹．¨％一，，酬+鲥一
口2+62．
当过点P 的直线斜率不存在或斜率为。且与
椭圆相切时，则直线方程为z 一±口，岁一±6，相应的点P 坐标为(±口，6) ，(士a ，一6) ．这样的点P 均在
圆z3+胡=口2+62上．
因此所有满足条件的点P(z ，y) 都在圆z2+y2
一口z+62上以及该圆外的部分．
说明：例2是由2012年上海市普陀区二模理科试卷23题改编而成．
例3设直线z 过点P(o ，3) ，和椭圆等+等=
1交于不同的两点A 、B ，若碎一A 商，试求A 的取
值范围．
‘
解：由于P 在椭圆外，因此A
f ，，：兰
作伸缩变换．{。，，
i V
，则椭圆J 等+等‘t
=1变换为
L
y 一虿
z72+3，72一l ，点A 、B 、P (0，3) 分别变换为A 7、B
7、P7(o，导) ，有导一1≤J
P7B
7
l ≤詈+1，即丢≤I
P7B
7
≤昙．过P7作圆z 恤+j，恤=1的切线P7M 7(M ，是切
点) ，则J P7M
7I 2一(号)2—12詈．由圆的切割线定
理，得I P7M 7z =I P7A ’}
I
P7B
A 商(A
府，l
7}P 7A
7
I =(一A ) ’
删悃此一一鼢一丢高∈[吉，5]卿
A ∈[～5，一亡]．所以A ∈[一5，一1) u(一1，-r 专]．
评注：利用伸缩变换除了可解决位置关系的判断问题，还可解决与圆的性质有关的问题，如相交弦定理、切割线定理等等．
例4证明椭圆中的“相交弦定理”，即椭圆事
+葶21中有两条交于点P 的弦A B 、cD ，椭圆的
两条半径O S 、0T(0为原点，S 、T 为椭圆上的点) 分别平行于弦A B 、C D ，若I O Sl —Rt ，10Tl —R z ，则A P l J B
P J —R ；C Pl
I D PI R ；‘
证明：设A B 、C D 的斜率分别为志，、是z ，则由
y=惫1z
薯+芳=，
得' R 同理耻黼，所以毳一
{一z §+y§一(1+志{)z §一
2
62(1+忌}62+n2志；
(1+志i ) (62+口2忌；) (1+志；) (62+口2是；) ‘
f z7一三
作伸缩变换．』
n ，则椭圆方程转化为z ，z +
3，2言
y7
2=l ，点A 、B 、C 、D 、P 转化为点A 7、B
7、C 7、D 7、P7A ，因此由圆的相交弦定理得J A 7P 7
J l
B 7P
7
l —
I C 7P ，7l
l D 7P 7I ．而由伸缩变换前后弦长的关系得
I A Pl
P l ，B Pl I=—卫琴R i
}篙，代人化简即得
C PI
l D PI R ；’
评注：椭圆中的“相交弦定理”通常做法是利用
r =f 。+￡c os 挣
直线的参数方程I
I y 一3『1P ．
十f s ln ．：口
(其中日为直线的
倾斜角，￡为参数) 和参数￡的几何意义证得．三、从“利用伸缩变换求解有关椭圆的问题”思考
教学
在对中学生的数学能力要求中，数学思维能力是一个重要方面．将椭圆通过伸缩变换转换为圆，然后利用圆的几何性质解题．在这个过程中，首先要求学生具有一定的模式识别能力，识别出什么类型的椭圆问题可以利用伸缩变换简化计算．其次要求学生具有很好的数学转换能力，将椭圆问题合理地转换为圆的问题求解．再次要求学生具有形成数学通则通法的概括能力，经过一定量的习题训练，能够有效识别并解决通过伸缩变换处理的椭圆问题．
因此可以考虑将伸缩变换适当引入到椭圆的教学中，扩大学生的视野，拓宽学生的解题思路，有助于学生
学思维能力的提升．