7.(杨小红)小学数学教学中渗透极限思想的探索

小学数学教学中渗透极限思想的探索

章贡区红旗二校 杨晓虹

日本著名数学教育家米山国藏指出：“学生所学的数学知识，在进入社会后几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在走出校门后不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什么工作，惟有深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等随时地发生作用，使他们受益终身。”极限的思想方法为建立微积分学提供了严格的理论基础，极限的思想方法为数学的发展提供了有力的思想武器。当今数学教学非常重视数学思想方法在教学中的渗透。然而在小学数学的实际教学中，部分教师对极限思想方法的理解及应用还存在着一定的忽视，

那么，在小学数学教学中如何去挖掘并适时地加以渗透呢？以下根据自身的数学教学实践谈谈自己的粗浅见解。

一、无限≠极限

层次一：帮助学生理解无限。

1．数量无限多。

现行小学教材中有许多知识点会涉及到数量无限多的情况。 在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个。在循环小数内容中，1 ÷ 3 = 0.333„是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的。通过这些方面让学生初步体会“无限”思想。

2．图形无限延伸。

小学几何概念中有许多概念是具有无限性的，如直线 、射线、角的边、平行线的长度等等它们都是可以无限延伸的。这些概念在现实生活中并不是真实存在的（现实生活中你找不要一条能无限延伸的线），它们只是存在于人脑的想象之中，是人脑抽象的结果。而这种想象又是进一步学习数学的必不可少的基础能力。因此，在图形教学中培养学生空间想象力，培养学生的无限观念是非常重要的。

以上两点是从不同方面体现了“无限”的观念，并不是真正意义上的“极限”，然而，培养学生的无限观念是形成极限思想的基础，离开无限谈极限是没有任何意义的。所以，不应该因为“无限≠极限”而忽视对无限性的教学。

层次二：帮助学生理解逼近。

“无限≠极限”的原因在于无限的结果可能是收敛的，也可能是发散的。由于小学生的生活经验、数学知识还比较贫乏，他们只能通过一些具体的事例，逐渐感悟到什么是“无限地逼近”，为将来学习“收敛”这个数学中概念积累一些感性的认识。因此，逐步理解“逼近”是形成极限思想的另一个重要方面。

二、抓住契机渗透极限。

受年龄特征的制约小学生对极限思想不会有深刻的理解，但这并不等于我们在小学数学教学中可以淡化对极限思想的渗透，相反我们应该抓住一切可以利用的契机加以渗透，为他们将来学习极限理论，提高抽象思维，奠定基础。我认为小学数学教学中可以在以下几方面加强对极限思想加以渗透

（一） 在公式推导过程中渗透极限思想。

【案例一】“圆的面积”。

在教学“圆面积公式的推导”一课时，我是这样设计的。

师：我们学过了一些图形的面积计算公式，今天我们来研究圆的面积公式。你们有什么办法吗？

生：可以把圆转化为我们学过的图形。

师：怎么转化？

生：分一分。

演示：把圆平均分成了2分，把两个半圆地拚起来，结果还是一个圆。

生：多分几份试一试。

演示：把一个圆分割为完全相同的小扇形，并试图拚成正方形。从平均分成4个、8个、到16个„„

师：你们有什么发现？

生：分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。

课件：继续演示把圆平均分成32个、64个„„完全相同的小扇形。教师适时说“如果一直这样分下去，拼出的结果会怎样？

生：拼成的图形就真的变成了长方形，因为边越来越直了。

【案例二】：“圆柱体的体积”

在教学“圆柱体体积公式的推导”一课时，我是这样设计的。

师：如何知道一个圆柱体的体积？

生1： “底面积×高”

师：那你们就先借助手中的学具操作一下，看能不能有什么发现？

生2：我发现圆柱体可以通过切割拼成一个近似的长方体„„

师：怎样切割，圆柱体就变成一个长方体

生3：将圆柱的底面平均分成无数多份，它的底面就转化为一个长方形，整个圆柱也就成了一个长方体。

课件：演示

师：还有不同的思考方法吗？

生：将圆柱沿高的方向切分成无穷多个细长的长方体。„„

【分析】从“分的份数越来越多”到“这样一直分下去”的过程就是“无限”的过程，“图形就真的变成了长方形或长方体”就是收敛的结果。学生经历了从无限到极限的过程，感悟了极限思想的具大价值。

以上两个计算公式的推导过程，均采用“化圆为方”、“变曲为直”的极限分割思路。在“观察有限分割”的基础上，“想象无限细分”，根据图形分割拼合的变化趋势，想象它们的终极状态。这样不仅使学生掌握了圆的面积和圆柱体体积的计算公式，而且非常自然地在“曲”与“直”的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想。

（二）在教学概念与解决问题中渗透极限思想

【案例一】：循环小数一课是一节概念性很强的新课，多数教师在教学中非常重视学生的自主探究过程，重视对循环小数的相关概念的教学，但也大都忽视了一个问题，即极限思想的渗透。

我们可以在课上创设以下一个问题供学生讨论：

（1）0.999„„和1哪个大？ 可以这样帮助学生理解： ，

1-0.9=0.1

1-0.99=0.01，

1-0.999=0.001 „„

1-0.999„„=？

这时可以引导学生观察：随着小数部分9的个数的不断增多，与1的差在逐渐的减少，而在0.999„„中的小部分有无穷多个9，那么最终的差会是多少呢？这样使学生认识到差会越来越小，最终成为0。从而使学生认识到0.999„„=1。

(2)0.888„„和0.9谁大呢？ 也可以这样理解：

0.888„„=0.8+0.08+0.008+„„

随着小数部分0的个数的不断增多，

和就越来越接近，最终成为0.9 而使学生认识到0.88888„„=0.9

事实证明这两种办法学生是可以理解和接受的，这两种办法的核心就是极限思想的体现。学生对这两种办法的理解过程正是对极限思想的感知过程

【案例二】在教学行程问题时，我给学生讲了这样一个故事：兔子和乌龟赛跑，起初乌龟在兔子前100米，兔子每分走10米，乌龟每分走1米，兔子永远追不上乌龟。

学生们感到很诧异，接下来我就说明了兔子永远追不上乌龟的理由：

当兔子走完100米的时候，乌龟已经向前走了10米，当兔子再向前走10米的时候，乌龟又向前走了1米，当兔子继续向前走1米的时候，乌龟又向前走了0.1米，当兔子再向前走0.1米的时候，乌龟又向前走了0.01米，„„所以兔子永远追不上乌龟。

【分析】【案例一】中的教学，让学生体会到“0.99„„”这个小数后面的“9”有无穷多个, 到底有多少个，没人能说清楚，但有一点是肯定的，这个数的终极状态就是1。同理“0.8888„„”这个数的终极状态就是0.9。【案例二】中，学生显然不接受“兔子永远追不上乌龟”这个观点，其实兔子追上乌龟的时间是10+1+0.1+0.01+0.001+„„= (分) ，但这样的教学却可以使学生在头脑中初步萌生出“无限”的概念。我以为，如此教学不但能激发学生学习数学的兴趣，而且对于发展学生智力，培养学生良好的思维能力是十分有益的，更重要的是渗透给学生极限的思想方法。

（三）在数学练习中挖掘极限思想

一些老师的练习设计往往是侧重于对基础知识的巩固，针对培养学生数学思想方法的练习题相对较少。然而，学生的数学思想的形成是靠不断的积累、不断的运用来形成的，能够自主运用思想解决问题是学生数学素养的具体体现，它应该贯穿于数学学习的始终。练习作

为学生数学学习的重要环节，教师在练习题的设计时要注意极限思想的体现。

【案例一】商不变性质教学后我让学生练习：（56÷□）÷（7÷□）＝8

生： 填4。

生2：填1。

生3：可填1—9各数。

生4：可填任何数，只要相同就可以了。

生：0除外

1

【案例二】学习分数基本性质后的要求学生在1分钟内写与2

师：你写了几个？

生1：我写了2个。

生2：我写了8个。

生3：28个。

果有时间让你们继续写，还能写吗？

【案例三】 师：还有答案吗？„„ 相等的分数。

1

一个苹果，今天吃它的21，明天吃它的41 ，后天吃它的81，大后天吃它的 ，……16

如果这样吃下去，这个苹果吃得完吗？

老师还可以引导学生用画图的方法加以理解。

【分析】通过同学们的讨论得出这样的结论：这个苹果是永远吃不完

的，理论上是这样，实际上也是这样，尽管苹果越来越小，但还是有

的（只要你有耐心，米粒大的物质是有的）。我们只能说，这个苹果的极限为零但却绝不为零。

如果单从解题的角度看，以上三道题，学生很容易找到答案，但学生们还没有得到此题的精髓，也就是题中所包含着什么样的规律，体现了怎样的数学思想，教师还应该给学生们挖出来。【案例一】中的“有不同答案吗？”，【案例二】中的“如果有时间让你们继续写，还能写吗？”，【案例三】中的“这个苹果吃得完吗？”，学生在收获知识的同时，极限思

想、数形结合的思想、为学生解题方法的创新提供了可能，培养了思维的灵活性。总之，练

习的设计不能仅仅着眼于一个问题的解决，而是关注学生在解决这个问题中自主领悟到的数学知识及思想方法，更关注在解决问题中数学素养的形成。

（四）在数学知识的复习中挖掘极限思想

复习课就是把平时相对独立地进行教学的知识, ，特别是其中带有规律性的知识，以再现、整理、归纳等办法串起来，进而加深学生对知识的理解、沟通，并使之条理化、系统化。在数学知识的复习中也要善于挖掘极限思想 。

【案例】在六年级平面图形的复习整理中，以梯形为核心进行梳理的主要手段可以借助极限的思想将公式进行联络。利用极限思想得到三角形的面积计算公式，方法是让梯形的上底趋于0，梯形即趋于三角形，梯形的面积计算公式当上底趋于0时的极限就是三角形的面积计算公式 。我们甚至可以把长方形、正方形、平行四边形面积计算公式都看成是梯形面积计算公式的极限形式。 于是可以构建出下面的知识网络系统。

总之，极限思想是人类思想文化宝库中的瑰宝，是对数学知识的本质反映，是知识向能力转化的纽带。在小学数学教材中，能够体现数学极限思想方法的因素极为广泛，教师在教学中应该意挖掘，并抓住适当的时机，将这一思想和方法适度地渗透给学生。这样学生沉淀下来的就不只是数学知识，更主要的是一种数学的素养，为他们以后建构新的数学知识体系，进一步拓宽数学的空间，走出校门后去独立学习和研究更高深的数学理论夯实基础。