初中数学抛物线与几何专题训练及答案

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抛物线与几何问题

【知识纵横】

抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：y =ax 2+bx +c (a ≠0)；2、顶点式：y

=a(x—h) 2-＋k ；3、交点式：y=a(x—x 1)(x—x 2 ) ，这里x 1、x 2 是方程ax 2 +bx+c=0的两个实根。

解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。

【典型例题】

【例1】 (浙江杭州) 在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）。平移二 次函数y =-tx 2的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B ，C 两点（∣OB ∣

OA =OB ⋅OC ？请你作出判断，并说明理由；

（2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO=对应的二次函数的解析式。

【思路点拨】（1）由关系式OA

【例2】(江苏常州) 如图, 抛物线y =x +4x 与x 轴分别相交于点B 、O,

它的顶点为

2

2

2

3

，求抛物线F 2

=OB ⋅OC 来构建关于t 、b 的方程；(2)讨论

t 的取值范围，来求抛物线F 对应的二次函数的解析式。

A, 连接AB, 把AB 所的直线沿y 轴向上平移, 使它经过原点O, 得到直线l, 设P 是直线l 上一动点.

（1）求点A 的坐标;

（2）以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中, 有菱形、等 腰梯形、直角梯形, 请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;

（3）设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S, 点P 的横坐标为x,

当4+≤S ≤6+, 求x 的取值范围.

【思路点拨】（3）可求得直线l 的函数关系式是y=-2x，所以应讨论①当点P 在第二象限时，x0这二种情况。

【例3】（浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线x =2与x 轴相交于点B ，连结OA ，抛物线y =x 2从点O 沿OA 方向平移，与直线x =2交于点P ，顶点M 到A 点时停止移动． （1）求线段OA 所在直线的函数解析式； （2）设抛物线顶点M 的横坐标为m ,

①用m 的代数式表示点P 的坐标； ②当m 为何值时，线段PB 最短；

（3）当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使△QMA 的面积与△PMA 的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

【思路点拨】（2）构建关于PB 的二次函数，求此函数的最小值；（3）分当点Q 落在直线O A 的下方时、当点Q 落在直线O A 的上方时讨论。

【例4】（广东省深圳市）如图1，在平面直角坐标系中，二次函

数

与x 轴交于A 、B 两点， y =ax 2+bx +c (a >0) 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，1

A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝．

3

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ， 使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．

（4）如图2，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上 一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.

【思路点拨】（2）可先以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形时，求F 点的坐标，再代入抛物线的表达式检验。（3）讨论①当直线MN 在x 轴上方时、②当直线MN 在x 轴下方时二种情况。（4）构建S 关于x 的二次函数，求它的最大值。

【例5】（山东济南）已知：抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)，顶点C (1，-3) ，与x

轴交

于A 、B 两点，A (-1，0) ．

（1）求这条抛物线的解析式．

（2）如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点D ，与抛物线对称轴交于点E ，依次连接A 、D 、B 、E ，点P 为线段AB 上一个动点(P 与A 、B 两点不重合) ，过点P 作PM ⊥AE 于M ， PN ⊥DB 于N ，请判断

PM PN

是否为定值? 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． +

BE AD

（3）在(2)的条件下，若点S 是线段EP 上一点，过点S 作FG ⊥EP ，FG 分别与边．

PA EF

AE 、BE 相交于点F 、G (F 与A 、E 不重合，G 与E 、B 不重合) ，请判断是否成 =

PB EG 立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

PM AP

【思路点拨】（2）证△APM ∽△ABE ， =

BE AB

PN PB

同理: （3）证PH =BH 且△APM ∽△PBH =

AD AB 再证△MEP ∽△EGF 可得。

【学力训练】

1、（广东梅州）如图所示，在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ， AD ⊥DB ，AD =DC =CB ，AB =4．以AB 所在直线为x 轴，过D 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．

（1）求∠DAB 的度数及A 、D 、C 三点的坐标； （2）求过A 、D 、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴L ．

（3）若P 是抛物线的对称轴L 上的点，那么使

∆PDB 为等腰三角形的点P 有几个? （不必求点P

的坐标，只需说明理由）

2、（广东肇庆）已知点A （a ，y 1）、B （2a ，y 2）、C （3a ，y 3）都在抛物线y =5x 2+12x 上.

（1）求抛物线与x 轴的交点坐标； （2）当a =1时，求△ABC 的面积；

（3）是否存在含有y 1、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.

O 1的切线，切点为M ，圆心O 1的坐标为(2，二次函数y =-x 2+bx +c 的图象经过A ，B 两0) ，

点．

（1）求二次函数的解析式； （2）求切线OM 的函数解析式；

（3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P ，O ，A 为顶点的三角形与△OO 1M 相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

4、（辽宁12市）如图，在平面直角坐标系中，直线

3、（青海西宁）如图，已知半径为1的O 1与x 轴交于A ，B 两点，OM 为

y =与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛

物线y =ax -

2

x +c (a ≠0) 经过A ，B ，C 三点． 3

（1）求过A ，B ，C 三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；

（2）在抛物线上是否存在点P ，使△ABP 为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得△MBF 的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．

5、（四川资阳）如图，已知点A 的坐标是（－1，0），点B 的坐标是（9，0），以AB 为直径作⊙O′，交y 轴的负半轴于点C ，连接AC 、BC ，过A 、B 、C 三点作抛物线．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E 是AC 延长线上一点，∠BCE 的平分线CD 交⊙O′于点D ，连结BD ，求直线BD 的解析式；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使得∠PDB ＝∠CBD? 如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．

x

6、（辽宁沈阳）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的

负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且AB =

1，OB =ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线

2

y =ax +bx +过点c A ，E ，D ．

（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；

（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点

O ，B ，P ，Q 为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线

上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

7、（苏州市）如图，抛物线y ＝a(x＋1)(x－5) 与x 轴的交点为M 、N ．直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于P(－2，0) ，与y 轴交于C ．若A 、B 两点在直线y ＝kx ＋b 上，且AO =BO =AO ⊥BO ．D 为线段MN 的中点，OH 为Rt △OPC 斜边上的高．

(1)OH 的长度等于___________；k ＝___________，b ＝____________；

(2)是否存在实数a ，使得抛物线y ＝a(x＋1)(x－5) 上有一点E ，满足以D 、N 、E 为顶 点的三角形与△AOB 相似? 若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E 点(简要说明理由) ；并进一步探索对符合条件的每一个E 点，直线NE 与直线AB 的交点G 是否总满足PB ·PG ＜10写出探索过程．

2，

，

抛物线与几何问题的参考答案

【典型例题】

【例1】 (浙江杭州) （1）∵ 平移y =-tx 2的图象得到的抛物线F 的顶点为Q , ∴ 抛物线F 对应的解析式为:y =-t (x -t ) 2+b . ∵ 抛物线与x 轴有两个交点，∴t b >0.

令y =0, 得OB =t -

b

，OC =t +t b

)( t +t

b , t

∴ |OB |⋅|OC |=|(t -

b b 22

)|=|t 2- |=t =OA , t t

2

即t 2-b , 所以当b =2t 3时, 存在抛物线F 使得|OA |2=|OB |⋅|OC |.-- 2分 t =±t

(2) ∵AQ //BC , ∴ t =b , 得F : y =-t (x -t ) 2+t ,

解得x 1=t -1, x 2=t +1. 在Rt ∆AOB 中,

1) 当t >0时, 由 |OB |0时, 由tan ∠ABO =

t 3|OA |

==, 解得t =3, 2|OB |t -1

2

此时, 二次函数解析式为y =-3x +18x -24; 当t -1

t 3|OA |3

==, 解得t =, 2|OB |-t +15

321848x +. x +525125

3

2) 当t

5

此时，二次函数解析式为y =-（也可由-x 代x ，-y 代y 得到） 所以二次函数解析式为 y =

3218x +x –48或y =3x 2+18x +24. 525125

【例2】(江苏常州) （1）∵y =x 2+4x =(x +2) 2-4 ∴A(-2,-4)

（2）四边形ABP 1O 为菱形时，P 1(-2,4)

4) 548

四边形ABP 3O 为直角梯形时，P 1(-)

55612

四边形ABOP 4为直角梯形时，P 1(，-)

55

四边形ABOP 2为等腰梯形时，P 1(，-（3）

25

由已知条件可求得AB 所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线l 的函数关系式是y=-2x

①当点P 在第二象限时，x

△POB 的面积S ∆POB =∵△AOB 的面积S ∆AOB

1

⨯4⨯(-2x ) =-4x 21

=⨯4⨯4=8， 2

∴S =S ∆AO B +S ∆PO B =-4x +8(x

⎧⎪S ≥4+62∴⎨ ⎪⎩S ≤6+82

⎧2-32

x ≥⎪⎧⎪-4x +8≥4+62⎪2即⎨ ∴⎨

⎪⎪S ≤1-42⎩-4x +8≤6+82

⎪2⎩

∴x 的取值范围是

1-422-32

≤x ≤

22

②当点P 在第四象限是，x>0,

过点A 、P 分别作x 轴的垂线，垂足为A ′、P ′ 则四边形POA ′A 的面积

S PO A 'A =S 梯形PP 'A 'A -S ∆P P 'O =

∵△AA ′B 的面积S ∆A A 'B =

4+2x 1

⋅(x +2) -⋅(2x ) ⋅x =4x +4 22

1

⨯4⨯2=4 2

∴S =S PO A 'A +S ∆A A 'B =4x +8(x >0) ∵4+62≤S ≤6+82，

⎧3x ≥⎪⎧⎧⎪S ≥4+62⎪4x +8≥4+62⎪

∴⎨ 即⎨ ∴⎨⎪⎪⎪S ≤4⎩S ≤6+82⎩4x +8≤6+82

⎪⎩

∴x 的取值范围是

2-2

2 2-12

32-242-1

≤x ≤

22

【例3】（浙江丽水）（1）设O A 所在直线的函数解析式为y =kx ，

∵A （2，4）， ∴2k =4, ∴k =2,

∴O A 所在直线的函数解析式为y =2x

（2）①∵顶点M 的横坐标为m ，且在线段O A 上移动， ∴y =2m （0≤m ≤2）.

∴顶点M 的坐标为(m , 2m ) .

∴抛物线函数解析式为y . =(x -m ) +2m ∴当x =2时，

22

=m -2m +4（0≤m ≤2）.

y =(2-m ) +2m

2

2

∴点P 的坐标是（2，m ）. -2m +4

2② ∵PB =m =(， 又∵0≤m ≤2， m -1) +3-2m +4

2

∴当m =1时，PB 最短

()+（3）当线段PB 最短时，此时抛物线的解析式为y . =x -12

2

假设在抛物线上存在点Q ，使S Q . S P M A =M A

2

设点Q 的坐标为（x ，x ）. -2x +3

①当点Q 落在直线O A 的下方时，过P 作直线PC //AO ，交y 轴于点C ， ∵P B =4， B =3，A

∴A ，∴O P =1C =1，∴C 点的坐标是（0，-1）.

∵点P 的坐标是（2，3），∴直线PC 的函数解析式为

y =2x ∵S Q ，∴点Q 落在直线y =上. S P 2x -1M A =M A ∴x -=2x -1. 2x +3

2

2, x 2解得x ，即点Q （2，3）. 1=2=

∴点Q 与点P 重合.

∴此时抛物线上不存在点Q ，使△QMA 与△A P M 的面积相等.

②当点Q 落在直线O A 的上方时，

作点P 关于点A 的对称称点D ，过D 作直线DE //AO ，交y 轴于点E ，

OD =A =1∵A ，∴E ，∴E 、D 的坐标分别是（0，1），（2，5）， P =1

∴直线DE 函数解析式为y =. 2x +1

∵S Q ，∴点Q 落在直线y =上. S P 2x +1M A =M A ∴x -=2x +1. 2x +3

2

. 解得：x x 2=21=2

5- 代入y =，得y 5+y 2x +12=1=

∴此时抛物线上存在点Q 22, 52，Q 212使△QMA 与△P M A 的面积相等.

综上所述，抛物线上存在点Q 22, 52，Q 212 使△QMA 与△P M A 的面积相等.

【例4】（广东省深圳市）（1）方法一：由已知得：C （0，－3），A （－1，0）

(())

((

⎧a -b +c =0⎪

将A 、B 、C 三点的坐标代入得⎨9a +3b +c =0

⎪c =-3⎩⎧a =1⎪

解得：⎨b =-2

⎪c =-3⎩

所以这个二次函数的表达式为：y =x -2x -3 （2）存在，F 点的坐标为（2，－3）

易得D （1，－4），所以直线CD 的解析式为：y =-x -3 ∴E 点的坐标为（－3，0） ∵以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形

∴F 点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合

∴存在点F ，坐标为（2，－3）

（3）如图，①当直线MN 在x 轴上方时，设圆的半径为R （R>0），则N （R+1，R ）， 代入抛物线的表达式，解得R =

2

1+ 2

②当直线MN 在x 轴下方时，设圆的半径为r （r>0），

则N （r+1，－r ），

代入抛物线的表达式，解得r =

-1+ 2

∴圆的半径为

1+-1+或． 22

（4）过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ， 易得G （2，－3），直线AG 为y =-x -1．

设P （x ，x -2x -3），则Q （x ，－x －1），PQ =-x +x +2．

2

2

S ∆APG =S ∆APQ +S ∆GPQ =

当x =

1

(-x 2+x +2) ⨯3 2

1

时，△APG 的面积最大 2

此时P 点的坐标为 , -

【例5】（山东济南）

⎛1

⎝22715⎫

． ⎪，S ∆APG 的最大值为84⎭

(1)设抛物线的解析式为y =a (x -1) 2-3 将A (－1，0) 代入: 0=a (-1-1) 2-3 ∴ a =

3 4

3339

∴ 抛物线的解析式为y =(x -1) 2-3，即：y =x 2-x -

4424（2）是定值，

PM PN

+=1 BE AD

∵ AB 为直径，∴ ∠AEB =90°，∵ PM ⊥AE ，∴ PM∥BE ∴ △APM ∽△ABE ，∴ 同理:

PM AP

① =

BE AB

PN PB PM PN AP PB

② ① + ②:=+=+=1

AD AB BE AD AB AB

（3）∵ 直线EC 为抛物线对称轴，∴ EC 垂直平分AB

∴ EA =EB ∵ ∠AEB =90°

∴ △AEB 为等腰直角三角形． ∴ ∠EAB =∠EBA =45° . ...................... 7分

如图，过点P 作PH ⊥BE 于H ，

由已知及作法可知，四边形PHEM 是矩形， ∴PH =ME 且PH ∥ME 在△APM 和△PBH 中 ∵∠AMP =∠PHB =90°， ∠EAB =∠BPH =45° ∴ PH =BH

且△APM ∽△PBH ∴ ∴

PA PM

=

PB BH

PA PM PM

① ==

PB PH ME

在△MEP 和△EGF 中，

∵ PE ⊥FG ， ∴ ∠FGE +∠SEG =90° ∵∠MEP +∠SEG =90° ∴ ∠FGE =∠MEP ∵ ∠PME =∠FEG =90° ∴△MEP ∽△EGF ∴

PM EF

② =

ME EG

PA EF

=

PB EG

由①、②知：

【学力训练】 1、（广东梅州）

（1） DC ∥AB ，AD =DC =CB ，

∴ ∠CDB =∠CBD =∠DBA ，

∠DAB =∠CBA ， ∴∠DAB =2∠DBA ，

∠DAB +∠DBA =90， ∴∠DAB =60， ∠DBA =30， AB =4， ∴DC =AD =2， R t ∆AOD ，OA =1，OD =，

，D （0， ），C （2， 3）． ∴A （-1，0）

（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物

线必过点A （－1，0），B （3，0）， 故可设所求为 y =a （x +1）（ x -3） 将点D （0，

）的坐标代入上式得， a =-

．

3

所求抛物线的解析式为 y =-

3

(x +1)(x -3). 其对称轴L 为直线x =1． 3

（3） ∆PDB 为等腰三角形，有以下三种情况：

①因直线L 与DB 不平行，DB 的垂直平分线与L 仅有一个交点P 1，P 1D =P 1B ， ∆P 1DB 为等腰三角形； ②因为以D 为圆心，DB 为半径的圆与直线L 有两个交点P 2、P 3，DB =DP 2，DB =DP 3， ∆P 2DB ， ∆P 3DB 为等腰三角形；

③与②同理，L 上也有两个点P 4、P 5，使得 BD =BP 4，BD =BP 5．

由于以上各点互不重合，所以在直线L 上，使∆PDB 为等腰三角形的点P 有5个． 2、（广东肇庆）（1）由5x +12x =0， （1分）

得x 1=0，x 2=-

2

1212

．∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0）、（-，0）． · （3分） 55

（2）当a =1时，得A （1，17）、B （2，44）、C （3，81）， 分别过点A 、B 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则有

S ∆ABC =S梯形ADFC -S 梯形ADEB -S 梯形BEFC

=

(17+81) ⨯2(17+44) ⨯1(44+81) ⨯1

--

222

=5（个单位面积）

（3）如：y 3=3(y 2-y 1) ．

事实上，y 3=5⨯(3a ) 2+12⨯(3a ) =45a 2+36a ． 3（y 2-y 1）=3[5×（2a ）2+12×2a -（5a 2+12a ）] =45a 2+36a ． ∴y 3=3(y 2-y 1) ．

0) ，O 1半径为1，∴A (1，0) ，B (3，0) ……3、（青海西宁）（1）圆心O 1的坐标为(2，

1分

二次函数y =-x +bx +c 的图象经过点A ，B ，

2

⎧-1+b +c =0

∴可得方程组⎨

⎩-9+3b +c =0

⎧b =4解得：⎨∴二次函数解析式为y =-x 2+4x -3

⎩c =-3

（2）过点M 作MF ⊥x 轴，垂足为F ． OM 是

O 1的切线，M 为切点，

． ∴O 1M ⊥OM （圆的切线垂直于经过切点的半径）

在Rt △OO 1M 中，sin ∠O 1OM =

O 1M 1= OO 12

∠O 1OM 为锐角，∴∠OOM =

30 1

∴OM =OO 1cos30=2=

在Rt △

MOF 中，OF =OM cos30=

3

=．

2

1．

MF =OM sin 30==

22⎛3∴点M 坐标为 22

⎝⎭

设切线OM 的函数解析式为y =kx

(k ≠0) ，由题意可知

3=k ，∴k =∴

切

2线OM 的函数解析式为y =

（3）存在．

x ①过点A 作AP （两角对1⊥x 轴，与OM 交于点P 1∽

Rt △MOO 11．可得Rt △APO 应相等两三角形相似）

⎛，∴P P 1 1A =OA

tan ∠AOP 1=tan 30= 13 ⎝⎭

H ． ②过点A 作AP 2⊥OM ，垂足为P 2，过P 2点作P 2H ⊥OA ，垂足为

可得Rt △APO ∽Rt △O 1MO （两角对应相等两三角开相似） 2在Rt

△OP 2A 中，

OA =1，∴OP 2=OA cos30=

，

2

在Rt △

OP 2cos ∠AOP 2=2H 中，OH =OP

3

=，

224

⎛31，∴P 2 P 2H =OP 2sin ∠AOP 2==

44224⎝⎭

∴符合条件的P

点坐标有 1

⎝

4、（辽宁12市） 解：（1）

⎛

⎛3⎫， ⎪ ⎪3⎭ ⎝44⎭

直线y =x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．

∴A (-1，

0) ，C (0

点A ，C 都在抛物线上，

⎧⎧c ⎪0=a ⎪a =

∴⎨

∴⎨ ⎪c =⎪=c

⎩⎩

⎛2F 1，x

顶点 ∴

抛物线的解析式为y = ⎝⎭

（2

）存在P

P 1(02(2

（3）存在

理由： 解法一：

延长BC 到点B '，使B 'C =BC ，连接B 'F 交直线AC 于 点M ，则点M 就是所求的点．

过点B '作B 'H ⊥AB 于点H ．

B

点在抛物线y =

20) x x ∴B (3，

， 在Rt △

BOC 中，tan ∠OBC =

∴∠OBC =

30，BC =

在Rt △

BB 'H 中，B 'H =

1

BB '=

2

BH ='H =6，∴OH =

3，∴B '(-3，-

设直线B 'F 的解析式为y =kx +

b

⎧⎧-=-3k +b k =⎪⎪⎪6∴⎨

解得⎨

=k +b ⎪⎪b =⎩⎪⎩

∴y =

x

⎭

3⎧⎧y =x =⎪⎛317⎪⎪

∴⎨∴M ，-

解得

⎨ 77x -⎝⎪y =⎪y =62⎩⎪⎩

⎛3-∴在直线AC 上存在点M ，使得△

MBF 的周长最小，此时M 7，． ⎝⎭

5、（四川资阳） (1) ∵以AB 为直径作⊙O′，交y 轴的负半轴于点C ， ∴∠OCA+∠OCB=90°， 又∵∠OCB+∠OBC=90°， ∴∠OCA=∠OBC ，

又∵∠AOC= ∠COB=90°， ∴ΔAOC∽ ΔCOB， OA OC ∴． =OC OB

又∵A(–1，0) ，B(9，0) ，

1OC ∴，解得OC=3(负值舍去) ． =OC 9∴C(0，–3) ，

设抛物线解析式为y=a(x+1)(x–9) ， 图10

1

∴–3=a(0+1)(0–9) ，解得a=，

3118

∴二次函数的解析式为y=(x+1)(x–9) ，即y=x 2–x –3．

333

(2) ∵AB 为O′的直径，且A(–1，0) ，B(9，0) ， ∴OO′=4，O′(4，0) ，

∵点E 是AC 延长线上一点，∠BCE 的平分线CD 交⊙O′于点D ，

11

∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°，

22

连结O′D交BC 于点M ，则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=∴D(4，–5) ．

∴设直线BD 的解析式为y=kx+b（k≠0） ⎧9k +b =0, ⎧k =1, ∴⎨解得⎨

4k +b =-5. b =-9. ⎩⎩

∴直线BD 的解析式为y=x–9.

(3) 假设在抛物线上存在点P ，使得∠PDB=∠CBD ，

设射线DP 交⊙O′于点Q ，则BQ =CD ． 分两种情况(如答案图1所示) ：

①∵O′(4，0) ，D(4，–5) ，B(9，0) ，C(0，–3) ． ∴把点C 、D 绕点O′逆时针旋转90°，使点D 与点B 重合，则点C 与点Q 1重合，

因此，点Q 1(7，–4) 符合BQ =CD ， ∵D(4，–5) ，Q 1(7，–4) ，

1

AB=5． 2

图10答案图1

119⎧y =x -，

⎪119⎪33

∴用待定系数法可求出直线DQ 1解析式为y=x –．解方程组⎨得

1833⎪y =x 2-x -3. ⎪33⎩

⎧⎧x =

⎪1⎪x 2=⎪⎪ ⎨⎨⎪y =⎪y =12⎪⎪⎩⎩

∴点P 1坐标为

) ，[坐标为

) 不符合题意，

舍去]．

②∵Q 1(7，–4) ，

∴点Q 1关于x 轴对称的点的坐标为Q 2(7，4) 也符合BQ =CD ． ∵D(4，–5) ，Q 2(7，4) ．

∴用待定系数法可求出直线DQ 2解析式为y=3x–17．

⎧y =3x -17，

⎧x 1=3，⎧x 2=14，⎪

解方程组⎨得 ⎨⎨128

y =-8；y =25. y =x -x -3. ⎩1⎩2⎪33⎩

∴点P 2坐标为(14，25) ，[坐标为(3，–8) 不符合题意，舍去]．

∴符合条件的点P 有两个：P 1

，P 2(14，25) ．

6、（辽宁沈阳）（1）点E 在y 轴上 理由如下：

连接AO ，如图所示，在Rt △ABO 中，

AB =

1，BO ，∴AO =2

∴sin ∠AOB =

1

，∴∠AOB =30 2

由题意可知：∠AOE =60

∴∠BOE =∠AOB +∠AOE =30+60=90

点B 在x 轴上，∴点E 在y 轴上． （2）过点D 作DM ⊥x 轴于点M

OD =1，∠DOM =30

∴在Rt △DOM 中，DM =

点D 在第一象限，

1，OM =21⎫

∴点D

的坐标为⎪⎪2⎝⎭

由（1）知EO =AO =2，点E 在y 轴的正半轴上

2) ∴点E 的坐标为(0，

点A

的坐标为(

抛物线y =ax +bx +c 经过点E ，

2

∴c =2

由题意，将A (

，D 1⎫2

代入y =ax +bx +2中得

⎪2⎪⎝⎭

8⎧⎧3a -+2=1a =-⎪9⎪⎪

解得 ⎨3⎨1

+2=⎪a +⎪b =⎩42⎪⎩

8x +2（3）存在符合条件的点P ，点Q ．10分 ∴

所求抛物线表达式为：y =-x 2-

99

理由如下：

矩形ABOC 的面积=AB BO =

∴以O ，B ，P ，

Q 为顶点的平行四边形面积为

由题意可知OB 为此平行四边形一边， 又

OB

∴OB 边上的高为2

2) 依题意设点P 的坐标为(m ，

点P

在抛物线y =-

82x -x +2上

99

8∴-m 2m +2=2

9解得，m 1=

0，m 2= ⎛⎫

2⎪∴P 2) ，P 2 1(0，

⎪

⎝⎭

以O ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，

∴PQ ∥

OB ，PQ =OB ， 2) 时， ∴当点P 1的坐标为(0，

点Q

的坐标分别为Q 1(

，Q 2； 当点P

2的坐标为 -

⎛⎫

2⎪ 8⎪时，

⎝⎭

⎛⎫⎛⎫

2⎪2⎪点Q

的坐标分别为Q 3 - ⎪，Q 4 8⎪． 8⎝⎭⎝⎭

7、（苏州市） (1)OH ＝1；k ＝

3

，b ＝2

3

；

(2)设存在实数a ，是抛物线y ＝a(x＋1)(x－5) 上有一点E ，满足以D 、N 、E 为顶点的三角形与等腰直角△AOB 相似

∴以D 、N 、E 为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以DN 为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN 为斜边的等腰直角三角形．

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①若DN 为等腰直角三角形的直角边，则ED ⊥DN ． 由抛物线y ＝a(x＋1)(x－5) 得：M(－1，0) ，N(5，0) ∴D(2，0) ，∴ED ＝DN ＝3，∴E 的坐标是(2，3) ． 把E(2，3) 代入抛物线解析式，得a ＝-1

3

∴抛物线解析式为y ＝-1(x＋1)(x－5)

3

即y ＝-1x 2＋4x ＋5

3

33

②若DN 为等腰直角三角形的斜边，则DE ⊥EN ，DE ＝EN ． ∴E 的坐标为(3. 5，1. 5)

把E(3. 5，1. 5) 代入抛物线解析式，得a ＝-．

∴抛物线解析式为y ＝-(x＋1)(x－5) ，即y ＝-x 2＋8x ＋10

9

9

29

29

29

当a ＝-时，在抛物线y ＝-x 2＋4x ＋5上存在一点E(2，3) 满足条件，如果此抛物

3

31313

线上还有满足条件的E 点，不妨设为E ’点，那么只有可能△DE ’N 是以DN 为斜边的等腰直角三角形，由此得E ’(3. 5，1. 5) ．显然E ’不在抛物线y ＝-x 2＋4x ＋5上，因

3

3

13

此抛物线y ＝-x 2＋4x ＋5上没有符合条件的其他的E 点．

3

313

当a ＝-时，同理可得抛物线y ＝-x 2＋x ＋

292989109

上没有符合条件的其他的E 点．

13

当E 的坐标为(2，3) ，对应的抛物线解析式为y ＝-x 2＋x ＋时． ∵△EDN 和△ABO 都是等腰直角三角形，∴∠GNP ＝∠PBO ＝45°． 又∵∠NPG ＝∠BPO ，∴△NPG ∽△BPO ． ∴

PG PN

=PO PB

4353

，∴PB ·PG ＝PO ·PN ＝2×7＝14，∴总满足PB ·PG ＜10

29

2

．

当E 的坐标为(3. 5，1. 5) ，对应的抛物线解析式为y ＝-x 2＋x ＋

89109

时，

2

同理可证得：PB ·PG ＝PO ·PN ＝2×7＝14，∴总满足PB ·PG ＜10

．

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