正态分布的数学期望与方差
正态分布的数学期望与方差
正态分布:
密度函数为: 分布函数为
的分布称为正态分布,记为N(a, σ2).
密度函数为:
或者
称为n元正态分布。其中B是n阶正定对称矩阵,a是任意实值行向量。
称N(0,1)的正态分布为标准正态分布。
(1) 验证是概率函数(正值 且积分为1)
(2) 基本性质:
(3) 二元正态分布:
其中 ,
二元正态分布的边际分布仍是正态分布:
二元正态分布的条件分布仍是正态分布:
即 (其均值是x的线性函数)
其中r可证明是二元正态分布的相关系数。
(4) 矩,对标准正态随机变量,有
(5) 正态分布的特征函数
多元正态分布
(1) 验证其符合概率函数要求(应用 B为正定矩阵,L为非奇异阵,然后进行向量线性变换)
(2) n元正态分布结论
a) 其特征函数为:
b) 的任一子向量 ,m≤n 也服从正态分布,分布为 其中 , 为保留B的第 , … 行及列所得的m阶矩阵。
表明:多元正态分布的边际分布还是正态分布
c) a,B分别是随机向量 的数学期望及协方差矩阵,即
表明:n元正态分布由它的前面二阶矩完全确定
d) 相互独立的充要条件是它们两两不相关
e) 若 , 为 的子向量, 其中 是 , 的协方差矩阵, 则是 , 相应分量的协方差构成的相互协方差矩阵。则 相互独立的充要条件为 =0
f) 服从n元正态分布N(a,b)的充要条件是它的任何一个线性组合 服
从一元正态分布
表明:可以通过一元分布来研究多元正态分布
g) 服从n元正态分布N(a,b),C为任意的m×n阶矩阵,则 服从m元正态分布
表明:正态变量在线性变换下还是正态变量,这个性质简称正态变量的线性变换不变性
推论: 服从n元正态分布N(a,b),则存在一个正交变化U,使得 是一个具有独立正态分布分量的随机向量,他的数学期望为Ua,而他的方差分量是B的特征值。
条件分布
若 服从n元正态分布N(a,b), ,则在给定 下, 的分布还是正态分布,其条件数学期望:
(称为 关于 的回归)
其条件方差为:
(与 无关)