平均速度等于中间时刻的速度及其在纸带上的应用

平均速度等于中间时刻的速度及其在纸带上的应用

金贺浩

（太和第二中学 安徽 太和 236600）

摘要：本文先总结了几种“推导”公式的方法，使学生全面彻底了解公式的“来龙去脉”和真正意义，再通过举例、应用使之掌握公式的用法. 关键词:匀变速直线运动;位移差; 纸带;

一、平均速度等于中间时刻的速度

1、公式推导或证明 平均速度

v0v

t

xs梯vvv（无t、x和a), 0tt2t

1v0tat2

xvv2或v v0t2t

vvatv0v1

v0at00

222t

v0avt,类比vv0at,其中时间t不同.

22

1

vt-at2

x或v tt

1vv-atv0vtv-atv-avt,

22222

1

把v0at记作vt,

22

t0tt



代表中间时刻,vt代表中间时刻的速度（），则v

2

t

vt

2

v0v

，其中v02

和v分别指某段时间间隔内对应的初始时刻和末时刻的速度或位移内对应的初始位置和末位置的速度.形象地说，也就是梯形对应的上底和下底，“恰好”是梯形的中位线，即平均速度是对应的梯形的中位线对应的纵坐标数值.

例如，质点由A点匀加速出到B，则该段位移内的平均速度是v它在第3s内（指第2s末到第3s末）的平均速度是v时刻的坐标

vAvB

2

；一个物体做匀加速直线运动，



v2v3

v1.5，其中右下脚码指对应的时刻，1.5是中间2

23xx

1.5，它是数学上中点坐标x21的“迁移变形”，第6s内的平均速度是__________，它22

vv8

在第二个4s内的平均速度是v4v48v6，它在第一个4s内的平均速度是__________.

22

例题：如图所示，一个做直线运动的物体的速度图象，初速度v0，末速度vt，在时间t内物体

的平均速度v，则：

v0vtv0vt

； B. v ； 22v0vt

C. v ； D.v的大小无法确定

2

A.v解析：

s梯v0vxvvt/t0公式v，x是图像的面积，对于匀变速v，

tt22

v0vt

因为本题xs梯, 所以v.

2

2.两个“中间速度”的对比——中间时刻（时间的中点，对应横坐标的平均值，）和中间位置（位置的中点，对应图像左右部分面积相等，面积代表位移）

全程的位移为x,中点位移为

x22

，记中间位置时速度为vx，重复利用公式vv02ax①，得22

2

v2v0

2

vx

2

2

xx2

v2a②，v2vx2a③，联立②③解得vx

2222

2

；

22

v2v0v2v0ax22

v0或联立①②，解得vxv2222

2

222

v2v0ax22vv0

v-或联立②③解得vxv-2222

2

；

.

（1）当作匀变速直线运动时，对于任意时间间隔内，无论是加速或减速，都有vt

2

2

v0vv2v0

. 22

vx或

2

证明：由于vx

2

2

22

v2v0v02vv0v22,vt，得

242

vx-vt

2

22

22

22

v2v0v02vv0v2（2v2v0）（-v02vv0v2）-

244

2

2

22

（v-2vv0v）（v0-v）v-v02

0（）0

4222

2

v0vv2v0

即vtvx或. 2222

2

v0vv2v0

特别的，当作匀速直线运动时，对于任意时刻的速度vv0,都有vtvx或. 2222

（2）也可通过图像直接看出：

证明vx

2

2

vt（vxvt）或vx/2vt/2（vx/2vt/2）.

2

222

22

（3）通过数字说明：

例如某质点做匀加速直线运动从A到B，vA

时间时速度分别为多大？

1m/s，vB7m/s，那么经过AB中点O时和一半

中间时刻——时间的中点：vv

t



v02

2

4m/s； 中间位置——位置的中点：vv2v2

x5m/s，符合vtvx.

2222

二、公式在纸带上的应用——“打点模型”

图 9

1.证明:

从A到B,从B到C,等等，时间间隔都是相同的（ 0.02s的倍数）.

根据以上推导，得

v3S1S2xOB2

S2S2T

v，

1

2T

v，

B

AC2T

，

vA

2T

vBD（表示长度）2TxBDDB(表示坐标)

C

2T

2T

A

B

C

证法一：方程组

由xv10t

2at2

得 sv1

1BT2aT2①

sv1

2BT2aT2②

得vll

2B12T

③

s2s1aT2④

证法二：

再由vv0at，得

vAvBaT和vCvBaT.

，

v0v

ts

v0vsssv梯12 2tttt

vAvC

ts

vAvCsssvB梯12 2ttttSS3SS2

V22V11

2T2T

点拨：一般匀变速题目中，具有连续相等时间间隔的要素时，都可以转化为“打点模型”，如右图所示。 2.例题

（1）【2011安徽高考】．一物体作匀加速直线运动，通过一段位移x所用的时间为t1，紧

接着通过下一段位移x所用的时间为t2。则物体运动的加速度为

2x(t1t2)x(t1t2)2x(t1t2)x(t1t2)

B． C． D．

t1t2(t1t2)t1t2(t1t2)t1t2(t1-t2)t1t2(t1-t2)

解：物体作匀加速直线运动在前一段x所处的时间间隔从0到t1时刻，对应位置是A、B；物体在后一段x所处的时间间隔从t1到时刻，对应位置是B、C. （t1t2）

解法一：物体作匀加速直线运动在前一段x所用的时间为t1，0t1的平均速度为

1x

，即为t1时刻的瞬时速度；物体在后一段x所用的时间为t2，t1t1t2的平均速v1

2t1

1ttx

（t1t2）度为v2，即为时刻的瞬时速度。速度由v1变化到v2的时间为12，所以加

22t2

A．速度

xx

vv2v1t22x(t1t2)t1a，

tttttt1t2(t1t2)121222

检验：（1）公式从单位上看（检验），右边部分确实是加速度的单位，正确；（2）令

t1t2，则t1t20，a0，即表示做匀速直线运动，符合。故A正确。 解法二： 由xv0t

12

at得 2

12

at1① 2

对AB(0t1)：xvAt1

12a(t1t2）② 2

12

或对BC(t1t1t2)：x(vAat1)t2at2③

2

或②-①=③，由②①，消去vA，得

对AC(0t1t2)：2xvA(t1t2）

1212

x-at1x-at2

④，解之， t1t2x1x1-at1-at2t12t221xxa（t2-t1）-2t2t1

xx

2x(t1t2)t2t1

得a. 

12t1t2(t1t2)2

解法三：

12

at1① 212

对BC：xvBt2at2②

2

由①②，消去vB，得

1212

xat1x-at2

③，解之， t1t2

x1x1at1-at2t12t22

对AB：xvBt1

1xxa（t2t1）-2t2t1

xx

2x(t1t2)t2t1

得a.

t1t2t1t2(t1t2)2

检验：由①②联立，

vBt1xvBt2x

22 t1t22222

t2(vBt1x)t1(vBt2x)

vBt1t2(t2t1)(t2t1)x

(tt)x2x

解得vBvx21，全程的平均速度是vvt，

tttt121222

匀变速直线运动满足vxvt，

2

2

2

2

(t2t1)x2x

t1t2t1t2(t2t1)2x2t1t2x t2t12t1t22t1t2t2t10

2

2

2

2

vxvt0

2

2

(t2t1)x2x

0t1t2t1t2(t2t1)2x2xt1t2

0

t1t2(t2t1)x(t2t1)22t1t2

0

t1t2(t2t1)x(t2t1)即0t1t2(t2t1)

解法四：由x

2

2





2xv0v1

t1，得v0v1；

t12

；

由x

2xv1v2

t2得，v2v1

t22

2x2x

vv02x(t1t2)vtt1

由a得a2 2

tt2t1t2t1t1t2(t1t2)

（2）【2010安徽高考】物体做匀加速直线运动，在第一个t内位移为x1，第二个t内位移为

x2，则物体在第一个t末的速度及加速度分别为多少？(纸带中用平均速度代替瞬时速度)

解：物体作匀加速直线运动在前一段x1所处的时间间隔从0到t时刻，对应位置是A、B；物体在后一段x2所处的时间间隔从t到2t时刻，对应位置是B、C.

x

解法一：物体作匀加速直线运动在前一段x1所用的时间为t，0t的平均速度为v11，即

t

1x

为t时刻的瞬时速度；物体在后一段x2所用的时间为t2，t2t的平均速度为v22，即2t

131131（tt）t时刻的瞬时速度。速度由v1变化到v2的时间为ttt-tt，所以为

222222

加速度

x1x2



vv2v1x2x1， atttt2

检验：（1）公式从单位上看（检验），右边部分确实是加速度的单位，正确；（2）令x1x2，则x1x20，a0，即表示做匀速直线运动，符合。故A正确。 解法二： 由xv0t

12

at得 2

12

at① 2

12

对AC(02t)：x1x22tvAa(2t）②

2

12

或对BC(t2t)：x2(vAat)tat③

2

或②-①等于③，③-①得，消去vA，得

对AB(0t)：x1vAt

x2x1at2④，代入①或①×3-②，得

vA

3x1x2xx2

，vBvAat1. 2t2t

解法三：

12

at① 212

对BC：x2vBtat②

2xx2

①+②，得vB1vt/2

2T

2

②-①，消去vB，得x2x1at.

对AB：x1vBt.

检验：由①②联立，

当堂练习：

1一个物体做匀加速直线运动，它在第3s内和第6s内的位移分别为位移为2.4m和为3.6m，则质

点运动的初速度和加速度分别是多大？

2一个质点做匀加速直线运动，它在两段连续的时间为t=4s内通过的位移分别为位移是24m和为

64m，则质点运动的初速度和加速度的大小。