三角函数的公式图像和性质
三角函数的公式,图像与性质
一三角公式
sin(α+2k π) =sin α, cos(α+2k π) =cos α, tan(α+2k π) =tan α, (k ∈Z ) sin(-α) =-sin α, cos(-α) =cos α, tan(-α) =-tan α
sin(2π-α) =-sin α, cos(2π-α) =cos α, tan(2π-α) =-tan αsin(π+α) =-sin α, cos(π+α) =-cos α, tan(π+α) =tan αsin(π-α) =sin α, cos(π-α) =-cos α, tan(π-α) =-tan α
sin(
π
2
-α) =cos α, cos(
π
2
-α) =sin α, tan(
π
2
-α) =cot α
同角关系记正六边形 例1 已知sin α=
m -34-2m
, cos α=, α为第四象限角, 求tan α的值 m +5m +5
sin(α+β) =sin αcos β+cos αsin β, sin(α-β) =sin αcos β-cos αsin βcos(α+β) =cos αcos β-sin αsin β, cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β tan α+tan βtan α-tan β
tan(α+β) =, tan(α-β) =
1-tan αtan β1+tan αtan β
注意公式适用的范围
例2 甲 tan α+tan β=0 乙 tan(α+β) =0 问 甲是乙的什么条件?
sin 2α=2sin αcos α, cos 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α2tan α1-tan 2αα1-cos αα1+cos αsin =±, cos =±
2222tan 2α=tan
α2
=±
-cos αsin α1-cos α
==
1+cos α1+cos αsin α
2tan
sin α=
α
, cos α=
1-tan 21+tan 2
α, tan α=2
2tan
α1+tan 2
2
1-tan 2
2
sin 3α=3sin α-4sin 3α, cos 3α=4cos 3α-3cos α
ππ
α∈(0, ),(1),sin α
2
2
题型一 化简求值的问题
例1 求值(1+tan1)(1+tan 2)(1+tan3)......(1+tan 44)
tan(α+10)
例2 已知5sin2α=sin2, 求值
tan(α-10)
b tan(α+10) sin(α+10)cos(α-10)
解 设= =000
a tan(α-1) cos(α+1)sin(α-1)
b +a sin(α+10)cos(α-10) +cos(α+10)sin(α-10) sin 2α1所以 ===
b -a sin(α+10)cos(α-10) -cos(α+10)sin(α-10) sin 205
所以
b 3=- a 2
1+cos θ-sin θ1-cos θ-sin θ
+
1-cos θ-sin θ1+cos θ-sin θ
说明 此例用了和分比定理,与正弦定理 属于典型例题 例3 已知f (θ) =
( 1 ) 化简 f (θ)
( 2 ) 是否存在θ, 使得tan
θ
2
1+tan 2
. f (θ) =
θ
sin θ
2π
,(2),θ=2k π-,(k ∈Z ) 答案 (1),f (θ) =-sin θ2
说明 此例应用降次公式
题型二 划一公式的应用
例4 直线y =
a 与曲线y =sin x x 在x ∈(0,2π) 有两个不同的交点,则实数a 的取值范围是____________
,答案是a ∈(-⋃ 例5.设动直线
π
x =a 与函数f (x ) =2sin 2(+x ) 和g (x ) =x 的图象分别交于M 、
4
N 两点,则|MN |的最大值为 (D ) (用作差划一公式)
A
B
.2 D 3
20
例6 已知00
1=02
的两个实数根,求sin(β-5α) 的值.
⎧sin α+sin β=400⎪
解 由题意得⎨1 20
⎪sin αsin β=cos 40-⎩2
得sin β-sin α=
==400
⎧α=s i n 5⎪s i n ⎨ 所以
β=s i n 85⎪⎩s i n 0
⎧⎪α=5
故sin(β-5α) =⎨0
⎪⎩β=85
此例说明 应用三角函数的单调性和划一公式
题型三 角度的搭配
β1α2ππ
例7 设cos(α-)=-,sin(-β)=, 且α∈(, π), β∈), 求cos(α+β)
292322
的值
ππβπαππ
,β∈( 故) α-∈(,π) -β∈(-) 解 α∈(,π) 2224242
s i n α(-
β
2
=)
9
, -s β(=2
α
3
所以cos
α+β
2
βα⎡⎤ =cos ⎢(α-) -(-β) ⎥=
2227⎣⎦
α+β
) -1=-
239
729
cos(α+β) =2cos 2(
2
总结 角度的搭配有下列情况
( 1 ) α=(α-β) +β=(α+β) -β (2)
α+β
2
+
α-β
2
( 3 ) 2α=(α+β) +(α-β) ( 4 ) 2β=(α+β) -(α-β) ( 5 )
α+β
2
=(α-
β
2
) -(
α
2
-β) ( 6 )
α-β
2
=(α+
β
2
) -(
α
2
+β)
( 7 ) α-β=(α-γ) +(γ-β) ( 8 )
二 . 三角函数的性质 1 三角函数性质表
π
4
+α=
π
-(-α) 24
π
2 周期的定义:.一般地对于函数f (x ) ,如果存在一个非零的常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有f (x +T ) =f (x
) ,那么函数f (x ) 就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期,把所有周期中存在的最小正数,叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期). 2π
函数y =A sin(ωx+φ) 或y =A cos(ωx+φ)(ω>0且为常数) 的周期T =y =A tan(ωx+
ωπ
φ)(ω>0)的周期T =.
ω
说明:周期函数不一定有最小正周期,如常数函数 3 题型
题型一与三角函数有关的函数定义域问题 例1 求下列函数的定义域:
(1)y =lgsin(cos x ) ; (2)y =sin x -cos x .
(3) y =
cos(+)
28
题型二 三角函数的单调性与周期性 例2 写出下列函数的单调区间及周期: (1) y =sin(-2x +
例3求函数y =sin(
π
3
) ; (2)y =|tan x |.
π
+4x ) +cos(4x -) 的周期、单调区间及最大、最小值; 36
π
例4 已知函数f (x ) =4cos x sin(x +①求f (x ) 的最小正周期; ②求f (x ) 在区间[-
题型三 三角函数的对称性与奇偶性
π
6
) -1
ππ
, ]上的最大值和最小值. 64
例5 (1)已知f (x ) =sin x +3cos x (x ∈R ) ,函数y =f (x +φ) (ϕ≤对称,则φ的值为________.
π
2
) 的图象关于直线x =0
(2)如果函数y =3cos(2x +φ) 的图象关于点(π,0) 中心对称,那么|φ|的最小值为( ) ππππ A. B. C.
6432
5π
(3) 已知函数f (x ) =sin x +a cos x 的图象的一条对称轴是x g (x ) =a sin x
3+cos x 的最大值是 ( )
22346A. B. C.
3333
π(4)若函数f (x ) =a sin ωx+b cos ωx (0
4ω函数f ′(x ) 的图象的一个对称中心是(题型四 分类讨论在三角函数中的应用 已知函数f (x ) =2a sin(2x --5,求a 和b 的值.
ππππ23
2x ≤1, 解 ∵0≤x ≤∴2x -,∴-sin ⎛3⎝23332
43
π
8
,0) ,则f (x ) 的最小正周期是________.
π
) +b 的定义域为[0,],函数的最大值为1,最小值为
23
π
⎧a =12-63⎧2a +b =1
若a >0,则⎨, 解得⎨;
⎩-3a +b =-5b =-23+3⎩
⎧a =-12+63⎧2a +b =-5
若a
3a +b =1⎩⎩b =19-123
综上可知,a =12-63,b =-23+3或a =-12+63,
b =19-123.
三 三角函数的图像 1 五点作图法
2 .函数y =sin x 的图象经变换得到y =A sin(ωx+φ) 的图象
3 题型
题型一 作y =A sin(ωx+φ) 的图象 例1 已知函数y =2sin(2x +
π
3
) ,
(1)求它的振幅、周期、初相;
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象; (3)说明 y =2sin(2x +
π
3
) 的图象可由y =sin x 的图象经过怎样的变换而得到.
ππ
例2设函数f (x ) =cos(ωx+φ) (ω>0,-φ
,且f () =24(1) 求ω和φ的值;
(2) 作出函数f (x ) 在[0,π]上的图象; (3) 若f (x )>
题型二 求函数y =A sin(ωx+φ) 的解析式
π
2⎫,由此点到相例2 已知曲线y =A sin(ωx+φ) (A >0,ω>0)上的一个最高点的坐标为⎛⎝2⎭3ππ
,0⎫,若φ∈⎛-⎫. 邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎛⎝2⎭⎝22⎭(1)试求这条曲线的函数解析式; (2)写出函数的单调区间.
最高点-最低点
总结: ①A 的确定:根据图象的最高点和最低点,即A =;
2
最高点+最低点
②k 的确定:根据图象的最高点和最低点,即k =
22π
③ω的确定:结合图象,先求出周期T ,然后由T (ω>0)来确定ω;
ω
④φ的确定:由函数y =A sin(ωx+φ) +k 最开始与x 轴的交点(最靠近原点) 的横坐标为
2
x 的取值范围. 2
φφ
-(即令ωx+φ=0,x =-确定φ. ωω
例3 已知f (x ) =A sin(ωx+φ) (A ,ω,φ为常数,A >0,ω>0)的部分图象如图所 示,则f (0)的值是______.
例4如图为y =A sin(ωx+φ) 的图象的一段.
(1)求其解析式;
(2)若将y =A sin(ωx+φ) π
6
y =f (x ) ,求f (x ) 的对称轴方程.