3.三角不等式

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高考数学母题

母题Ⅰ(11-3):三角不等式(238) 641

三角不等式

年全国高考试题) 设a,b 是满足ab

(A)|a+b|>|a-b| (B)|a+b|

[解析]:由ab||a|-|b||,|a-b|=|a|+|b|.故选(B).

[点评]:三角不等式:㈠||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;①|a+b|=|a|+|b|⇔ab ≥0; ②|a-b|=|a|+|b|⇔ab ≤0; ③||a|- |b||=|a+b|⇔ab ≤0; ④||a|-|b||=|a-b|⇔ab ≥0; ㈡|a-c|≤|a-b|+|b-c|;|a-c|=|a-b|+|b-c|⇔(a-b)(b-c)≥0.

年湖北高考试题) 若1

2(A)loga b>logb a (B)|loga b+logb a|>2 (C)(logb a) |loga b+logb a|

[解析]:由log a blog b a=1>0⇒|loga b|+|logb a|=|loga b+logb a|.故选(D).

注:对绝对值三角不等式的认识有三个方面:①三角不等式; ②等号成立的条件; ③不等号成立的条件.

年重庆高考试题) 不等式|x+3|-|x-1|≤a -3a 对任意实数x 恒成立, 则实数a 的取值范围为( ) 2

(A)(-∞,-1]∪[4,+∞) (B)(-∞,-2]∪[5,+∞) (C)[1,2] (D)(-∞,1]∪[2,+∞)

[解析]:由|x+3|-|x-1|≤|(x+3)-(x-1)|=4⇒|x+3|-|x-1|≤a 2-3a 恒成立⇔a 2-3a ≥4⇔a ≤-1或a ≥4. 故选(A). 注:由绝对值三角不等式可得:①f(x)=|ax+b|+|ax+c|的最小值=|b-c|;②f(x)=|ax+b|-|ax+c|的最大值=|b-c|.

年江西高考试题)(文) x,y ∈R, 若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2, 则x+y的取值范围为 .

[解析]:由|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,|y|+|y-1|≥|y-(y-1)|=1⇒2≤|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2⇒|x|+|x-1|=1,|y|+|y -1|=1⇒0≤x ≤1,0≤y ≤1⇒0≤x+y≤2⇒

x+y的取值范围为[0,2].

注:绝对值三角不等式:|a-b|≤|a-x|+|x-b|(a≤b) 等号成立的条件是x ∈[a,b].

1.(1990年第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二) 试题) a,b ∈R, 那么|a+b|=|a|-|b|是ab ≤0的( )

(A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)不充分也不必要条件

2.(2005年山东高考试题) 0

(A)|log(1+a)(1-a)|+|log(1-a)(1+a)|>2 (B)|log(1+a)(1-a)|

(C)|log(1+a)(1-a)+log(1-a)(1+a)|

(D)|log(1+a)(1-a)-log(1-a)(1+a)|>|log(1+a)(1-a)|-|log(1-a)(1+a)|

3.(2014年江西高考试题)(理) 对任意x,y ∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

4.(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高一) 试题) 若对于任意实数x, 不等式|x-2|+|x+1|≥a 恒成立, 则实数a 的取值范围是 .

5.(2011年陕西高考试题)(文) 若不等式|x+1|+|x-2|≥a 对任意x ∈R 恒成立, 则a 的取值范围是 .

6.(2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高一) 试题) 对于任意实数x, 若不等式|x-3|+|x-4|>a(a>0)恒成立, 则实数a 应满足( ) (A)01 (D)a≥1

7.(2013年重庆高考试题) 若关于实数x 的不等式|x-5|+|x+3|

8.(1996年第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二) 试题) 已知不等式|x-a|+|x-3|

9.(2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二) 试题) 已知不等式|x-a|+|x-b|

642 母题Ⅰ(11-3):三角不等式(238)

10.(2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二) 试题) 已知不等式|x-a|+|x-b|

11.(2009年全国高中数学联赛安徽初赛试题) 当实数a ∈ 时, 不存在实数x, 使得|x+a+1|+|x+a-2|

12.(2011年陕西高考试题)(理) 若关于x 的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解, 则实数a 的取值范围是 .

13.(2012年陕西高考试题) 若存在实数x 使|x-a|+|x-1|≤3成立, 则实数a 的取值范围是 .

14.(2013年陕西高考试题) 设a,b ∈R ,|a-b|>2,则关于实数x 的不等式|x-a|+|x-b|>2的解集是 .

15.(2004年福建高考试题) 命题p:若a 、b ∈R, 则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件. 命题q:函数y=x -1|-2的定义域是(-∞,-1]∪[3,+∞). 则( ) (A)“p 或q ”为假 (B)“p 且q ”为真 (C)p真q 假 (D)p假q 真

16.(1990年全国高考试题) 已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b 满足|a-b|

(A)甲是乙的充分条件, 但不是乙的必要条件 (B)甲是乙的必要条件, 但不是乙的充分条件

(C)甲是乙的充分条件 (D)甲不是乙的充分条件, 也不是乙的必要条件

17.(2011年全国高中数学联赛辽宁预赛试题) 已知x ∈R,y ∈R, 则“|x|

(A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分条件亦非必要条件

18.(2014年全国高中数学联赛四川预赛试题) 已知a,b 为实数, 对任何满足0≤x ≤1的实数x, 都有|ax+b|≤1成立, 则 |20a+14b|+|20a-14b|的最大值是 .

19.(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题) 己知实数x 满足|2x+1|+|2x-5|=6,则x 的取值范围是 .

20.(2014年全国高中数学联赛浙江预赛试题) 设f(x)是定义在R 上的函数, 满足|f(x)+cosx|≤

函数f(x)= .

1. 解:由|a+b|=|a|-|b|⇔ab ≤0且|a|≥|b|.故选(B).

2. 解:由log (1+a)(1-a)

3. 解:由|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|≥1+1=2.故选(B). 4. 解:由|x-2|+|x+1|≥3⇒|x-2|+|x+1|≥a 恒成立⇔a ≤3.

5. 解:由|x+1|+|x-2|≥3⇒|x+1|+|x-2|≥a 恒成立⇔a ≤3. 6. 解:由|x-3|+|x-4|≥1⇒|x-3|+|x-4|>a⇔1>a.故选(A).

7. 解:由|x-5|+|x+3|≥8⇒|x-5|+|x+3|

8. 解:由|x-a|+|x-3|≥|a-3|⇒|x-a|+|x-3|

9. 解:由|x-a|+|x-b|≥|a-b|⇒|x-a|+|x-b|

10. 解:由|x-a|+|x-b|≥|a-b|⇒|x-a|+|x-b|

11. 解:不存在实数x, 使得|x+a+1|+|x+a-2|

12. 解:由|x+1|+|x-2|≥3⇒|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解⇔|a|≥3⇔a 的取值范围是(-∞,-3]∪[3,+∞).

13. 解:由|x-a|+|x-1|≥|a-1|⇒存在实数x 使|x-a|+|x-1|≤3成立⇔|a-1|≤3⇔a ∈[-2,4].

14. 解:由|x-a|+|x-b|≥|a-b|>2⇒解集是R. 15. 解:由|a|+|b|≥|a+b|⇒p 假,q 真. 故选(D).

16. 解:由|a-1|+|b-1|≥|a-b|.故选(B). 17. 解:由|x+y|+|x-y|=2max{|x|,|y|}.故选(C).

18. 解:由|ax+b|≤1⇒|b|≤1,|a+b|≤1⇒|a|≤|a+b|+|b|≤2⇒|20a+14b|+|20a-14b|=2max{20|a|,14|b|}≤80.

19. 解:由f(x)的最小值f(-

20. 解:由1=

-f(x)=

115)=6,当且仅当-1≤2x ≤5时, 等号成立⇒x 的取值范围是[-, ]. [1**********]2,|f(x)-sinx|≤, 则[1**********]22+≥|f(x)+cosx|+|sinx-f(x)|≥|(f(x)+cosx)+(sinx-f(x))|=cosx+sinx=1⇒f(x)+cosx=,sin x 444132⇒f(x)=-cos x. 44