经典函数及其表示教案
函数及其表示
【教学目标】
1、理解映射、函数的定义、及二者的区别与联系,正确地求出函数的定义域和值域。
2、能用不同的方法表示一个函数,及灵活地求函数的解析式。
【重点难点】 重点:函数的定义、定义域、值域及求解其解析式的方法。
难点:求解函数的解析式。
【教学内容】 1、引入:
1755年,瑞士数学家欧拉把函数定义为:“如果某些变量,以某一种方式依赖于另一些变量,即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随着变化,我们把前面的变量称为后面变量的函数。”在欧拉的定义中,就不强调函数要用公式表示了。由于函数不一定要用公式来表示,欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数。他认为:“函数是随意画出的一条曲线。” 当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯,有的数学家甚至抱怀疑态度。他们把能用公式表示的函数叫“真函数”,把不能用公式表示的函数叫“假函数”。1821年,法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义:“在某些变数间存在着一定的关系,当给定其中某一变数的值,其他变数的值可随着而确定时,则将最初的变数叫自变量,其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中,首先出现了自变量一词。
区间的概念:
设a , b ∈R , 且a
【例题讲解】
例1 设M ={a , b , c },N ={-2, 0, 2}, 求(1)从M 到N 的映射种数;(2)从M 到N 的映射满足f (a ) >f (b ) ≥f (c ) , 试确定这样的映射f 的种数.
例2已知f (x ) =1x +5,g (x ) =2x 2+x , 求f (a ), g (∆), f (A +B ), g (pig ) . 2
例3 已知函数f (x ) =x +2+2,求(1)函数的定义域;(2)f (-2) 、x 2-2x -15
(3)当a >0时,求f (a ), f (a +1) 。 f (6) 的值;
⎧x -5例4已知:x ∈N *, f (x ) =⎨⎩f (x +2)
例5根据条件求下列各函数的解析式: (x ≥6) ,求f (3) 的值。 (x
(1)已知f (x ) 是二次函数,若f (0)=0, f (x +1) =f (x ) +x +1,求f (x ) .
(2
)已知f +1) =x +f (x )
(3)若f (x ) 满足f (x ) +2f () =ax , 求f (x )
1x
【过手练习】
1、下列函数是否是同一个函数:
⎧1x ≥0, (1)f (x ) =x , g (x ) =x (2)f (x ) =, g (x ) =⎨ -1x
(3)f (x ) =x -2x -1, g (t ) =t -2t -1
2、已知函数f (x ) 的定义域为[0, 1],则函数f (x +1) 的定义域为22
3、求函数y =f (x ) =x 2-4x +6,则x ∈[1,5)的值域为4、已知函数f (x ) 满足f (x ) +2f () =3x ,则f (x ) =1
x
【拓展训练】
1、已知函数f (x ) 满足:f (a +b ) =f (a ) ⋅f (b ) ,f (1)=2,则
f 2(1)+f (2)f 2(2)+f (4)f 2(3)+f (6)f 2(4)+f (8)+++= f (1)f (3)f (5)f (7)
2、已知3x 2+2y 2=6x ,试求x 2+y 2的最大值。
3、设f (x ) 是R 上的函数,且满足f (0)=1, 并且对任意的实数x , y 都有f (x -y ) =f (x ) -
y (2-x +y ,求1f (x ) 的表达式.
【课后作业】
1. (1)已知集合A =x 0≤x ≤4, B =y 0≤y ≤2,下面从A 到B 的对应关系f 不是映射的是( ) A. f :x →y ={}{}1121x B. f :x →y =x C. f :x →y =x D. f :x →y =x 2 2338
(2)已知函数f (x ), x ∈F ,那么集合(x , y ) y =f (x ), x ∈F ⋂(x , y ) x =1中所含元素的个数是( )
A.0 B.1 C.0或1 D.1或2 {}{}
(3)(2009
江西卷文)函数y =的定义域为 ( ) x
A .[-4,1] B .[-4, 0) C .(0,1] D .[-4, 0) (0,1]
2. 函数y =x -1+2x ,求其定义域和值域.
3. 回忆映射、函数的概念并写出二者的区别:
4.(1)已知二次函数f (x ) 满足f (2x +1) =4x -6x +5,求f (x ) 。
(2)已知f (x ) =x 2-x +3,求:f (x +1) , f(21) 的值; x
(3)
若f 1的解析式; )=x +求函数f (x )
⎧g (x ) +x +4x
6.
已知函数f (x ) =
的定义域为R,求实数a 的取值范围. 2ax +ax -3