求解含直角三角形的椭圆离心率(公开课教案)

求解含直角三角形的椭圆离心率

高二数学组 陈佳聪

教学目标：

1.深刻理解椭圆定义，牢抓椭圆上点到两焦点距离只和为长轴长这一定义式；

2.充分运用椭圆中各个量之间的关系——abc,e

2

2

2

c a

3.熟练运用直角三角形各边与各角之间的关系；

4.灵活运用基本不等式、三角形正、余弦定理、函数单调性等手段求椭圆离心率 教学重难点：

重 点—— 求一类含直角三角形的椭圆离心率

难 点—— 当直角三角形勾股定理无法适用时，如何根据三角形余弦定理结合函数单调

性求解椭圆离心率；

突破方式—— 通过数形结合、师生讨论、“陷阱”构造等方法，逐步剖析问题本质，找到解

决问题的线索，逐个突破，以点带面，达到教学目标。

教学过程：

二．典例剖析：

x2y2

例1.在椭圆221,(ab0)内有一点P，且PF1ab

求椭圆离心率取值范围。

【说明

斜边为直径的圆的知识点，获得当椭圆内点P运动到y轴上时得到椭圆的半焦距和短半轴

12

长之间cb的大小关系，进而得到a2b2c22c2e2e0,的结论。

22

x2y2

变式1.若椭圆221,(ab0)短轴端点为P满足PF1ab

求椭圆离心率。

【说明】变式1试图让学生用运动的观点，承接例1落在短轴端点时，该椭圆半焦距、短半轴长的相等关系，

a2b2c22c2e2

1的结论。 e

22

x2y2

变式2.在椭圆221,(ab0)上有一点P，若

ab

PF1PF2，求椭圆离心率取值范围。

【说明】本题试图让学生用运动的观点，承接例1与变式1的解题思路获得动点P在椭圆上时OPcb，进而得到a2b2c22c2e2

21的结论。例1和它e,122

的两个变式构成一个体系——所要求离心率的椭圆内含直角三角形，且该直角三角形均是以两焦点所在线段为斜边，F1PF2为直角。解决此类椭圆的离心率，最快捷的方法就是通过圆的半径与椭圆的短半轴长的大小比较获得答案。此处的教学过程最好结合多媒体辅助教

学，让学生从直观上感受到圆半径与椭圆短半轴长的不等量关系，数形结合能让抽象的量化计算变得生动、易懂。

x2y2

例2.过椭圆221,(ab0)右焦点F2的直线

ab

交椭圆于P、Q两点且满足PF1PQ，若sinF1QP求该椭圆离心率。

5，13

【说明】在前面例题1和变式的基础上，将线段PF2拉长和椭圆交于点Q，此时内含于椭圆的直角三角形发生了一些变化。求解离心率问题不能套用前面的方法了，此时必须抓住椭圆定义式和直角三角形相关性质。解题思路和解题方法都发生了迁移，题目难度有了一定的提升。在解题思维的迁移上，教师需要通过分析和与学生的共同探讨，把难度分解，把梯子放下来，让学生通过理性的分析清晰思维过程，通过细致解答获得正确答案，进而获得成功的喜悦感，激发其学习兴趣。

x2y2

变式.在椭圆221,(ab0)上有一点Pab5

在PF2的延长线上，满足QF1QP，若sinF1PQ，求该

13

椭圆离心率取值范围。

【说明】本题将例2中点P角三角形的周长小于4a，从而得到a

时点

15

m,(m0)。同时经过观察发现，此2

P到两焦点的距离之和已经小于2a，如果利用直角三角形的勾股定理获得c的范围，则得

c

到的离心率e的分子分母都是单调递增的，无法确定离心率的范围。这是一个精心设置

a

的解题方法陷阱，学生往往会因为直接套用例2的解法而掉入该陷阱。教师应该针对学生的失误进行分析、引导，通过讨论逐步发现在另外一个三角形F1PF2中，边PF2其实可以写成a的表达式2a13m,(m0)，于是在F1PF2中可以利用余弦定理，将c表示成关于a的表达式，进而可以把离心率e表达成一个关于

11

的二次函数，通过的取值范围和二次aa

函数的单调性得到离心率e的取值范围，顺利解决问题。

此题的解决过程是本节课的高潮部分，学生的讨论和教师的分析、引领应该采用开放的方式进行，让学生在讨论中自己走出陷阱，灵活调用知识框架的知识点，真正达到提高探究能力的目的。 三．课堂小结：

1.归纳本节课所讨论的内含于椭圆的直角三角形共性——直角顶点在P点，三角形的边必经过两焦点；

2.归纳本节课所讨论的椭圆离心率求解方法的共性——抓定义，抓直角三角形边的关系； 3.归纳本节课的探究中所利用到的辅助知识点——三角形余弦定理、基本不等式、而函数单调性；

4.归纳本节课的学习中，易出现的失误——没有利用运动的观点看待椭圆上的直角点，解题过程中思维惯性限制了解题方法的灵活运用。 【说明】此处的归纳教师均要通过将学生的回答加以总结得出，不仅可以将具体的习题教学上升到解题通法的高度，也可以及时检验教学目标的达成程度。比较困难的地方在于放开以后的收回，需要比较高的课堂驾驭能力。 四．课后作业：

x2y2

1.过椭圆221,(ab0)左焦点F1ab

x轴且交椭圆于点P，若F1PF260，求该椭圆的离心

率。

x2y2

2.过椭圆221,(ab0)右焦点F2的直

ab

线交椭圆于P、Q两点，满足F1PF1Q，若sinF1PQ35

求该椭圆离心率。

x2y2

3. 是否存在椭圆221,(ab0)上一点P，满足点P与长轴两端点A1,A2的

ab

连线PA1PA2？若存在，求该椭圆离心率；若不存在，请说明理由。

【说明】此处设置了3个练习题，第1、2题是本节课所探究类型的第一步变形，将直角三

角形的直角顶点移动到了焦点，其解题思路并未发生大的变化，目的在于让学生体会到边过焦点的直角三角形并不只有本节课所讨论的那么一类；与本节课所讨论的类型相似的第3题同样将直角顶点放在椭圆上的点P，可是将直角三角形的另外两个顶点放在了椭圆长轴端点上。此类椭圆其实并不存在，需要学生通过例1及变式的解决方法，利用圆的性质加以说明。总之，练习题的三个题目有层次地将本节课所研究的问题加以拓展，不仅可以巩固学生对解题方法的掌握，也有效拓宽了他们的视野，对于解题思维惯性的打破，能起到较好的推动作用。

五．教学反思：

本节课的教学过程基本上按照教学设计的预设走了下来，通过小结的讨论和归纳反馈，获悉学生的掌握情况尚可，基本达到教学目标。但是在具体教学过程中仍有诸多不足和思考，主要有以下几个方面—— 1.课堂探究过程不足

课堂中通过学生的讨论，教师的和学生的共同分析、引领是帮助学生走出失误的主要手段，也是最重要的手段。它是“陷阱式”教学方式的核心内容。而本节课的教学过程中体现得稍显不足，尤其在例1变式2的教学中，学生提供了一种对该类问题的通解通法，而教师没有把握住这个机会让学生上黑板演示一下，只是粗略地肯定了这种解题方法的正确性就急切地给出了利用圆去解决的方法，没有形成足够的对比，优越性体现得略有不足。

在后面例2的变式分析中，学生的讨论参与度不高，造成对是否掉入陷阱的情况不甚了解，只是到最后发现无法获得椭圆离心率的范围，这是教师教学过程比较严重的失误，偏离了“陷阱式”教学方式的主体思路。

以上两处不足之处反映出教师教学思路仍然留有灌输式的烙印，需要时刻注意自己的教学行为必须以新课程理念为指导，课堂中充分发挥学生的主体性和积极性。

2.“陷阱”设置的深度过大

本课设置的陷阱题主要分布在例1和例2变式中，这两个陷阱都属于解题方法陷阱。 例1直接抛出了直角顶点落在椭圆之内的情况，没有经过特殊情况的铺垫，学生很难想到利用圆半径与椭圆短半轴长进行比较进而得到解答的方法，故完成情况较差。通过课后同仁评教和思考，感觉将例1的变式二首先放给学生就可以有效解决这个问题。

例2变式的陷阱出现在求解过程中，是典型的解题方法陷阱。由于例2的解题思维惯性，学生很容易再一次利用直角三角形边的关系加上椭圆定义获得线段QF2的长度小于

10m，进而获得椭圆c的范围，此时椭圆的中的两个量a和c均为关于m取值范围，且不

等号方向相同，无法获得离心率的范围。此陷阱需要学生花较多时间深入计算才能发现，在解题之初不易被发觉。掉入此类陷阱容易挫伤学生的解题积极性和学习热情，因此在设计时需要慎之又慎。

3.导学稿的编制过于简洁

在导学稿的“剖典型”部分只给出了例1和例2两个例题，变式全都在课堂教学中通过多媒体课件展示出来。由于两个例题难度相对较高，学生在课前花了较多时间去完成这两个题目。可是关靠这个两个题目的解决并不能将解题思路串起来，显得很孤立。虽然通过课堂教学中的几个变式分析，可以达到教学设计中的教学目的，然而这样会压缩学生的思考和体会时间，造成解题思路在掌握深度上的二次印象不足。

经过思考，认为可以将例1的变式1加入到导学稿中，并放置于例1之前。这样既可以分解难度系数，又可以将解题思路串起来。学生通过导学稿内容的课前预习，能在脑海中对通法通解形成初步的印象，在此后的课堂教学中通过讨论和教师的分析逐步清晰这些通法通解，同时对变化后的解题方式有一个较为妥当的应对，最终达到提升课堂复习效率的目的。

附件——导学稿《解内含直角三角形的椭圆离心率》