"相似三角形"在物理中的应用
物理相似三角形在物理题中的应用
理科综合的考试说明能力要求的其中一项能力就是应用数学知识处理物问题，在中学物理解题中，常常用到三角形的有关知识，如三角函数关系、正弦定理、余弦定理、矢量三角形、相似三角形等。
引子例一：如图所示，竖直绝缘墙壁上的Q 处有一固定的质点A ，在Q 的正上方的P 点用丝线悬另一质点B ，A 、B 两质点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ角，由于漏电使A 、B 两质点的带电荷量逐渐减少，在电荷漏电完之前悬线对悬点P 的拉力大小（ ）
A. 变小
B. 变大
C. 不变
D. 无法确定
“相似三角形”在物理中的应用
“相似三角形”的主要性质是对应边成比例，对应角相等。在物理中，一般地，当涉及到矢量运算，又构建了三角形时，可考虑用相似三角形。下面以静力学为例说明其应用。
例1. 如图1所示，支架ABC ，其中挂一重物，
，求AB 、BC 上的受力。
，在B 点
例2. 如图3所示，长为5m 的细绳的两端分别系于竖立的地面上相距为4m 的两杆的顶端A 、B 上，绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一个重为12N 的物体。平衡时，绳中的张力T=_________N。
例3. 两根等长的轻绳，下端结于一点挂一质量为m 的物体，上端固定在天花板上相距为S 的两点上，已知两绳能承受的最大拉力均为T ，则每根绳长度不得短于多少？
例4. 如图7所示，在半径为R 的光滑半球面上高h 处悬挂一定滑轮，重力为G 的小球用绕过滑轮的绳子被站在地面上的人拉住，人拉动绳子，在与球面相切的某点缓缓运动到接近顶点的过程中，试分析小球对半球的压力和绳子拉力如何变化。
图7
例1. 解：受力分析如图2所示，杆AB 受到拉力作用为
，这两个力的合力与重力G 等大反向，显然由矢量形与图1中
相似，由对应边成比例得：
，杆BC
受到支持力为
构造的三角
把代入上式，
可解得，。
例2. 解：受力分析，如图4所示。因轻质挂钩光滑，所以AO 、BO 两段绳的拉力相等，设均为T ，且这两个力的合力与重力G 等大反向。现在构建相似三角形，如图3所示，延长AO 交左杆于，不难证明，又过作右杆的垂线交于，显然，图3、图4两图中阴影部分的三角形相似，又依题意知，
，
，
AB /AA /
。由相似三角形对应边成比例得：，代入数据解T
2
得
。
图4
例3解：因为天花板水平，两绳又等长，所以受力相等。又因MN 两点距离为S 固定，所以绳子越短，两绳张角越大，当合力一定时，绳的张力越大。设绳子张力为T 时，长度为L ，受力分析如图6所示。在图5中过O 点作MN 的垂线，垂足为P ，显然，图5、图6两图中阴影部分的三角形相似，由对应边成比例得：
解得：
例4. 解：受力分析，如图7所示。不难看出由G 、N 、F 构成的力矢量三角形与由L 、R 、
构成的几何三角形相似，依对应边成比例得：
解得
又因为是恒量，L 逐渐减小，所以N 不变，F 逐渐减小。
引子例一：解析：受力分析如图所示，设PA ＝L ，PB ＝
l
由几何知识知：△APB ∽△BDC
∵T 和T’是作用力和反作用力，故T ＝T’
故选C
则：
T mg mg l =，即：T =PB PA L
一、矢量三角形的应用
例1：如图1所示，小球用细绳系在倾角为θ的光滑斜面上，当细绳由水平方向逐渐向上偏移时，细绳上的拉力将。„„„„
A ． 逐渐增大 B ． 逐渐减小 C ． 先增大后减小 D ． 先减小后增大
分析与解：解法1：设细绳向上偏移过程中的某一时刻，细绳与斜面支持力F N 的夹角为α，作出力的图示如图2甲，由正弦定理得：
G T
=
sin(π-α) sin θ
sin θ
sin(π=α)
D C
θ
图1
∴T =G ⋅
讨论：当α>当α=当α
π
2
时，T >G sin θ
π
2
时，T =G sin θ 时，T >G sin θ
F N T
甲 乙 F T 图2
π
2
2
时，拉力最小，当绳由水平面逐渐向上偏移时，F T 先减小后增大，故选项D 正确。
解法2：因为G 、F N 、F T 三力共点平衡，故三个力可以构成一个矢量三角形，图2乙中G 的大小和方向始终不变；F N 的方向也不变，大小可变，F T 的大小、方向都在变，在绳向上移的过程中，可以作出一系列矢量三角形如图乙所示，显而易见在F T 变化到与F N 垂直前，F T 是逐渐变小的，然后F T 又逐渐变大，F T 与F N 当垂直时，F T 有最小值。故选D 。同时看出斜面对小球的支持力F N 是逐渐变小的。
解题小结：本题通过数学方法（正弦定理）和图解法（矢量三角形）求解。当物体在三力作用下平衡（或可以等效成三力平衡），且其中一个力的大小和方向始终不变；另一个力的方向不变，大小可变；第三个力的大小和方向都在变时。这种情况下的动态平衡，应用图解法解，非常方更快捷。
例2：如图3所示，质量m 的小车，在拉力F 的牵引下，沿摩擦系数为μ的水平面运动。求牵引力最小时的牵引角α角是多大？最小牵引力是多少？
分析：匀速牵引所需拉力最小。这时，小车在四个力的作用下处于动平衡状态。根据共点力系平衡时，自行构成封闭多边形，可以利用四边形和三角形求出最佳牵引角。
解：方法一：在小车受到的四个力中，Mg 大小、方向均不变；F f 和F N 方
可见，当α=
π
时，T 最小，即当绳与斜面支持力F N 垂直（绳与斜面平行）
向不变，且tg ϕ=
F f F N
=μ为常量，即F f 和F N 的合力的方向不变；F 的大小、方
向都变。从矢量四边形可以看出：当α增大时，F 先减小后增大；当F 垂直于四边形对角线OA ——F f 和F N 的合力，即α=ϕ时，F 最小。
方法二、将F f 和F N 以其合力R 代替，，使四力平衡转化为三力平衡问题。设R 与竖直方向夹角为ϕ，且tg ϕ=
F f F N
=μ。从矢量三角形可以更明显地看出：
当α增大时，F 先减小后增大；当F 垂直于F f 和F N 的合力R ，即α=ϕ时，F 最小。所以，最佳牵引角为
α=ϕ=tg μ
且最小牵引力为
-1
-1
F min =Mg sin ϕ=Mg sin tg μ
图3
式中sin
ϕ示为
sin ϕ=
tg ϕ+tg ϕ
2
=
μ
+μ
2
甲 乙 图4
所以：F min =Mg
μ
+μ2
例3：河水流速v 1=5，船在静水中的航速v 2=4，河宽d =10m ，则
船渡河的最小航程多大？
分析与解：由于河水的流速大于船速，故小船不可能垂直于河岸过河，如图5所示，设船从A 点开始渡河，按题意作出速度矢量三角形，若要航程最短，只要船的合速度v 的方向与AB 间的夹角α 最小。由于v 2的大小恒定，所以当v 与圆周
相切，即v 2⊥v 时航程最短，由相 以三角形关系知最短航程S 为
S =
d
⋅v 1=12. 5m 。 v 2
图5
解题小结：处理矢量（力、速度、场强等）的合成、分解问题时，先画出矢量三角形图示可将问题直观形象地展现出来，便于分析研究。
二、相似三角形的应用 例4：如图6所示，有两个带有等量的同种电荷的小球A 和B ，质量都是m ，分别悬于长为L 的悬线的一端。今使B 球固定不动，并使OB 在竖直立向上，A 可以在竖直平面内自由摆动，由于静电斥力的作用，A 球偏离B 球的距离为x
。
如果其它条件不变，A 球的质量要增大到原来的几倍，才会使AB 两球的距离缩短为。
分析与解：A 球受三个力作用：mg 、F T 、F 电且三力平衡，如图7所示。
由相信似三角形的知识可知：
当AB 距离为X 时，
mg L
= ① F 电x
m 'g l =当AB 距离为时，
'F 电
q 2
k 2
F 电m 1①÷②得： ===2
m '2F 电8q
2k x 2
() 2
∴m '=8m 答案：8
解题小法：本题利用“相似三角形”求解动态平衡问题。这类问题的特点是：物体在三力作用下的动态平衡，且其中一个力大小和方向恒定，其它两个力的大小和方向都可变，这些变化是由物体间距离的变化引起的，且题目还给出了有关边的长度，这时要注意力的矢量三角形和几何三角形相似的几何知识运用。
三、余弦定理的应用
图7
例5：2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内。若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α=40°，已知地球半径R 、地球自转周期T 、地球表面重力加速度g （视为常量）和光速c 。试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）
解析：设m 为卫星质量，M 为地球质量，r 为卫星到地球中心的距离，ω为卫星绕地球转动的角速度，由万有引力提供向心力得
Mm
G 2=mr ω2 r
式中G 2π
转的角速度相等，有ω= T
图8 Mm
在地球表面又有G 2=mg
R
设嘉峪关到地球同步卫星的距离为L ，如图所示，由余弦定理得
L =r 2+R 2-2rR cos α
l c
由以上各式得
所求时间t =
⎫⎛R gT ⎫2⎪ +R -2R ⎪ 4π2⎪⎪cos α⎭⎝⎭
t =
c
这些问题都涉及到各物理量的矢量关系和几何关系，解题时关键是要非常注意分析各物理量的矢量、矢量关系、几何关系。
我们知道物理的基本规律，除了用抽象的物理公式描述之外，还可以利用函数图、矢量图、几何图、示意图等直观、形象、概括地表示。为此，要熟悉各种图象的作图方法、物理意义等到，常握有关物理量的矢量性，理解物理过程的几何关系。这对加深理解基本概念、熟悉基本规律的应用和培养形象思维能力，都具有重要意义。而且，应用三角形的知识解题能够直观、简捷地得出结论。
⎛R gT 4π2⎝
22
23
22
13