初中数学一题多解与一题多变

初中数学一题多解与一题多变

作者：陈发铨

时代在变迁，教育在进步，理念在更新。前两年提出考试要改革，有了《指导意见》，于是一批批探索性、开放性和应用性试题不断涌现；如今又提出课程要改革，有了《课程标准》，其中突出了学生自主探索的学习过程，强调应用数学和创新能力的培养，鼓励教师创造性教学，学生学会学习。

面临这种崭新的教育形势，我们会思考这样一些问题：教学要如何从静态转为动态？怎样有效地指导学生独立地分析问题、解决问题，形成有效的学习策略，提高效益？该如何引导和组织学生从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动，激发学生的学习兴趣和创新意识，培养创新能力？等等。我个人在实际教学过程中，对这些问题作过一些深思和一些尝试，其中比较突出的是引导学生进行一题多解和一题多变的训练。下面，我提出几个实例来分析其引导过程与方法，抛砖引玉，仅供参考。

一、一题多解，多解归一

对于" 一题多解" ，我是从两个方面来认识和解释的：其一，同一个问题，用不同的方法和途径来解决；其二，同一个问题，其结论是多元的，即结论开放性问题。一题多解，有利于沟通各知识的内涵和外延，深化知识，培养发散性和创造性思维；多解归一，有利于提炼A 分析问题和解决问题的通性、通法，从中择优，培养聚合思维。

例1：如图，已知D 、E 在BC 上，AB=AC，AD=AE，

求证：BD=CE.

（本题来自《几何》第2册

69页例3）

B D E C

思路与解法一：从△ABC 和△ADE 是等腰三角形这一角度出发，利用" 等腰三角形底边上的三线合一" 这一重要性质，便得三种证法，即过点A 作底边上的高，或底边上的中线或顶角的平分线。其通法是" 等腰三角形底边上的三线合一" ，证得BH=CH.

思路与解法二：从证线段相等常用三角形全等这一角度出发，本题可设法证△ABD ≌△ACE 或证△ABE ≌△ACD ，于是又得两种证法，而证这两对三角形全等又都可用AAS 、ASA 、SAS 进行证明，所以实际是六种证法。其通性是" 全等三角形对应边相等" 。

思路与解法三：从等腰三角形的轴对称性这一角度出发，于是用叠合法可证。

例2：已知，如图，在⊙O 中，AD 是直径，BC 是弦，AD ⊥BC ，E 为垂足，由这些条件你

思路与解法一：从相等的线段这一角度出发，可得如下结论：

1.OA=OD； 2.BE=CE；

3.AB=AC； 4.BD=CD. 思路与解法二：从相等的角这一角度出发，可得如下结论： D

1. ∠AEC=∠AEB=∠BED=∠CED =∠ABD=∠ACD=Rt∠；

2. ∠ABC=∠ACB ；

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3. ∠DBC=∠DCB ；

4. ∠BAD=∠CAD ；

5. ∠BDA=∠CDA ；

6. ∠BAD=∠BCD ；

7. ∠CBD=∠CAD ；

8. ∠ABC=∠ADC ；

9. ∠ACB=∠ADB.

思路与解法三：从相等的弧这一角度出发，可得如下结论：

1. 弧AB=弧AC ；

2. 弧BD=弧CD ；

3. 弧ABD=弧ACD ；

4. 弧ABC=弧ACB ；

5. 弧BAD=弧DAC.

思路与解法四：从全等三角形这一角度出发，可得如下结论：

1. △AEB ≌△AEC ；

2. △BED ≌△CED ；

3. △ABD ≌△ACD.

思路与解法五：从相似三角形这一角度出发，可得如下结论：

△ABE ∽△ACE ∽△CDE ∽△BDE ∽△ABD ∽△ACD ，即图中所有的直角三角形两两相似。 思路与解法六：从比例线段这一角度出发，可得如下结论：

1. AE ·DE=EB·EC

22. BE 2=EA·ED=EC

23. AB 2=AE·AD=AC

24. BD 2=DE·DA=DC

思路与解法七：从其它一些角度去思考，还可得如下一些结论：

1. AE 2+BE2=AB2=AC2=AE2+EC2

2. BE 2+ED2=BD2=CD2=CE2+DE2

3. ∠BAC+∠BDC=180º

4. ∠BAE+∠ABE=90º

5. S 四边形ABCD =1AD ⨯BC 2

6. S 弓形ABC =S 弓形ACB

以上两例分别从解法和结论发散性地分析与解决问题，其中例2虽然不要求写推理过程，但实际在分析过程中蕴含着异常丰富的思维和推断过程，如此便能很好地锻炼观察、猜想、推断、验证等探求能力和有效地发展创造性思维能力。

二、一题多变，多题归一

知识是静态的，思维是活动的；例、习题是固定的，而它的变化却是无穷的。我们可以通过很多途径对课本的例、习题进行变式，如：改变条件、改变结论、改变数据或图形；条件引申或结论拓展；条件开放或结论开放或条件、结论同时开放等。通过一题多变、多题归____________________________________________________________________________________________

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一的训练，可以把各个阶段所学的知识、知识的各个方面紧密联系起来，加深对知识的理解，认识和体会数学是一个整体，但更重要的是可以起到以一当十，解一道题懂一类题，提高效率的目的，激发学生的学习兴趣、创新意识和探索精神，培养他们的创新能力，学会学习。

例3：已知，如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD ，垂足为E ，BF ⊥CD ，垂足为F ， 求证：EC=DF.

(本题来自《几何》第3册84页第12题)

变式一：如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，BF 交⊙O 于G ，下面的结论：1.EC=DF；2.DE=CF；3.AE=GF；4.AE+BF=AB中，正确的有（ ）

A.1、4 B.2、3、4 C.1、2、3 D.1、2、3、4

变式二：把直线EF 和直径AB 的相对位置加以变化，即图形变化，条件和结论均不变，便得新题，变化后的图形如下：

变式三：把直线EF 和圆的位置关系由一般的相交变为相切，即图形特殊化处理，原题可以引申为：如图，直线MN 和⊙O 切于点C ，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，AE ⊥MN 于E ，BF ⊥MN 于F ，

N

（1）求证：AC 平分∠BAE ；

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（2）求证：AB=AE+BF；

（3）求证：EF 2=4EA ⨯BF

（4）如果⊙O 的半径为5，AC=6，试写出以AE 、BF 的长为根的一元二次方程.

变式四：把直线EF 动起来，由相切变为相交，在运动变化过程中猜想并推断原有的结论是否仍成立，即把原来的封闭型试题演变为动态几何探索题。题目如下：

（1） 如图，AB 是⊙O 的直径，直线L 与⊙O 有一个公共点C ，过A 、B 分别作L 的垂线，

垂足为E 、F ，则EC=CF.

（2） 上题中当直线L 向上平行移动时，与⊙O 有了两个交点C1 、C2 ，其它条件不变，

如图，经过推证，我们会得到与原题相应的结论：EC1=FC2；

（3） 把L 继续向上平行移动，使与弦C1C2与AB 交于点P （P 不与A 、B 重合），在其

它条件不变的情形下，请你在圆中将变化后的图形画出来，标好对应的字母，并写出与（1）、（2）相应的结论等式，判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由；若成立，给予证明。结论:_____________________________。

证明结论成立或不成立的理由:

象以上这种一题多解与一题多变的题例，在我们的教学过程中，如果有意识的去分析和研究，是举不胜举、美不胜收的。我想，拿到一个题目，如果这样深入去观察、分析、解决与反思，那必能起道以一当十、以少胜多的效果，增大课堂的容量，培养学生各方面的技能，特别是自主探索，创新思维的能力，也就无需茫茫的题海，唯恐学生不学了。我会继续努力并也建议老师们深入去研究课本的例、习题和全国各地的中考试题，象学生一样，不断追求新知，完善自己。

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