极坐标系与极坐标方程
极坐标系及极坐标方程
一、基础知识归纳总结:
xx,(0),
1.伸缩变换:设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换:的作用下,
yy,(0).
点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条 射线Ox叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其 正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系。
3.点M的极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的距离OM叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的∠XOM叫做点M的极角,记为。有序数对(,)叫做点M的极坐标,记为M(,). 极坐标(,)与(,2k)(kZ)表示同一个点。极点O的坐标为(0,)(R).
4.若0,则0,规定点(,)与点(,)关于极点对称,即(,)与(,)表示同一点。
如果规定0,02,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示;同时,极坐标(,)表示的点也是唯一确定的。
5.极坐标与直角坐标的互化:
6.直线的极坐标方程:
极坐标系中,(0)表示以极点为起点的一条射线;(R)表示过极点的一条直线. 在极坐标系中,过点A(a,0)(a0),且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是cos
a.
在极坐标系中,过点A(a,0)(a0),且垂直于直线OA的直线l的极坐标方程是cos(0)a. 在极坐标系中,过点A(0,0),且与极轴成角的直线的极坐标方程是sin()0cos(0).
7.圆的极坐标方程:在极坐标系中,以极点为圆心,r为半径的圆的极坐标方程是 r; 在极坐标系中,以 C(r,0)(r在极坐标系中,以 C(r,
0)为圆心, r为半径的圆的极坐标方程是 2rcos;
2
222
在极坐标系中,以 C(0,0) 为圆心,r为半径的圆的极坐标方程是 020cos(0)r;
8.圆锥曲线方程:(1)
)(r0)为圆心,r为半径的圆的极坐标方程是 2rsin;
ep
表示离心率为e,焦点到相应准线距离为p的圆锥曲线方程。
1ecos
当e1时,表示极点在抛物线的焦点;
当e1时,极点在双曲线的右焦点;R表示双曲线,R表示双曲线右支;
当0e1时,表示极点在椭圆的左焦点(2)当极点与直角坐标原点重合,极轴与x轴正半轴重合时,圆锥曲线方程只需要利用互化公式转化即可。
9.参数方程的概念:在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数
xf(t),
并且对于t 的每一个允许值,由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么这个
yg(t),
方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t 叫做参变数,简称参数。相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
xarcos,
10.圆(xa)(yb)r的参数方程可表示为(为参数).
ybrsin.
xacos,x2y2
椭圆221(a>b>0)的参数方程可表示为(为参数).
abybsin.
2
2
2
x2pt2,
抛物线y2px的参数方程可表示为(t为参数).
y2pt.
2
经过点MO(xo,yo),倾斜角为的直线l的参数方程可表示为
xxotcos,
(t为参数)。
yyotsin.
11.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中, 必须使x,y的取值范围保持一致.
例1.在平面直角坐标系中,方程x2y21所对应的图形经过伸缩变换方程是_________________.
练习1. 在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换
x2x,
后的图形所对应的
y3y
x3x,
后,曲线C变为曲线x29y29,则曲
yy
线C的方程是_________________.
练习2.在同一平面直角坐标系中,使曲线y2sin3x变为曲线ysinx的伸缩变换是___________.
x2y222
练习3.将椭圆221变为圆xy1的伸缩变换为。
ab
例2.(1)点M
的直角坐标是(1,则点M的极坐标为 。 (2)在极坐标系中,过点(4,
6
),并且和极轴平行的直线的极坐标方程是___________________.
4sin化为直角坐标方程是_______________________. 练习1. 极坐标方程2cos
x2y2
1化为极坐标方程是_________________________. 练习2. 直角坐标方程
1616
练习3. 在极坐标系中,圆心在A(1,
例3.在极坐标系中,极点到直线sin(
练习1.极坐标系内,曲线2cos上的动点P与定点Q(1,
4
),半径为1的圆的极坐标方程是_______________________.
4
)
2
的距离是____________. 2
2
)的最近距离等于____________.
练习2.(2007广州一模文、理)在极坐标系中,圆2上的点到直线cos3sin6 的 距离的最小值是 _____ .
例4.曲线2cos绕极点逆时针旋转
后,新曲线的极坐标方程为 . 2
练习1.曲线2cos与曲线C关于直线
6
对称,则曲线C的方程为 。
3
练习2.已知椭圆上两点A、B满足AO2OB,其中O为极点,则|AB|= 。
2cos
x2
练习3.已知椭圆F为其左焦点,过F作两直线l1,l2分别交椭圆于P、Q和M、N且l1l2,y21,
2
求四边形PMQN的最大值和最小值。
例5.参数方程
xcos,
(为参数)化为普通方程是_________________________.
y1cos2.
x5cos,
练习1.椭圆(为参数)的焦点坐标是_________________________.
y3sin.
1xt,t
(t为参数)的离心率是_________________________. 练习2.双曲线
1yt.
t
练习3.曲线
练习4. 已知4x9y36,则2x3y的最小值是_________________.
2
2
x1cos,
(为参数)上的点与定点A(-1,-1)距离的最小值是_____________.
ysin.
x2y2
1上,则点M到直线xy40的最大距离为________, 练习5.点M(x,y)在椭圆
124
此时,点M的坐标是_____________.
三、高考、模拟考试题选编:
1.(2005福建理)设a,bR,a22b26,则ab的最小值是 ( )
A.22 B.
2.(2004春招北京理)在极坐标系中,圆心在(2,)且过极点的圆的方程为( )
A.22cos B.2cos C.22sin D.22sin
1
3.(2002广东、河南、江苏)极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的图形是( )
2
A.
C. D.
4.(
2001广东)极坐标方程ρ )
A.两条相交直线B.圆 C.椭圆 D.双曲线
5.( 2007广东文)在极坐标系中,直线l的方程为ρsinθ=3,则点(2,π/6)到直线l的距离为.
75 C.-3 D.
23
xt2
6.(2002全国理)点P(1,0)到曲线(其中参数tR)上的点的最短距离为( )
y2t
(A)0 (B)1 (C)2 (D)2
xt3
7. (2007广东理)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(参数tR),圆C的参数
y3t
x2cos方程为(参数0,2),则圆C的圆心坐标为 ,圆心到直线l的距离
y2sin2
为 .
8.(2007海南、宁夏文、理) ⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为4cos,4sin.
(Ⅰ)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(Ⅱ)求经过⊙O1,⊙O2交点的直线的直角坐标方程.
9.(2007深圳一模理)在极坐标系中,已知点A(1,
的距离是 .
10.(2007韶关二模文、理) 将极坐标方程cos(
3
)和B(2,),则A、B两点间 44
4
)化为直角坐标方程是_____________.
11.(2007深圳一模文)在极坐标系中,过圆4cos的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 . 12.(2007汕头二模理)在极坐标系中,圆ρ=cosθ与直线ρcosθ=1的位置关系是 .
13.(2007汕头二模文)椭圆
x3cos
的离心率是_______.
y4sin