高中数学逻辑用语练习题

选修2-1第1章 1.1 命题及其关系

【随堂练习】下列语句中是命题的有________。

①一个数不是正数就是负数；

②0是自然数吗？

③22013是一个很大的数；

④4是集合{2,3,4}的元素；

⑤作△ABC ≌△A ′B ′C ′。

例题1 （命题真假的判断）给出下列几个命题：

①若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0；

②若a ＞b ，则a2＞b2；

③若x ＞－3，则x2＋x －6≤0；

④若a ，b 是无理数，则a ＋b 是无理数。

其中的真命题有________个。

设有两个命题：p ：函数y ＝lg （x2－2x ＋m ）的值域为R ；q ：

函数f （x ）＝－（7－3m ）x 是减函数。若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围。

例题2 （四种命题的概念）写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题。

（1）如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；

（2）如果x ＞10，那么x ＞0；

（3）当x ＝2时，x2＋x －6＝0。

下列命题中正确的是（ ）

①“若x2＋y2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题； ②“正三角形都相似”的逆命题； ③“若m>0，则x2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题。 A. ①②③ B. ①③

C. ②③ D. ①

【易错警示】

改写命题时，写错大前提致误

【例析】已知c ＞0，当a ＞b 时，ac ＞bc. 把该命题改写成“若p 则q ”的形式。

不能正确否定命题的条件或结论致误

【例析】 写出命题“若x2＋y2＝0，则x 、y 全为0”的否命题。

同步练习

1. 下列语句是命题的是（ ） ①三角形的内角和等于180°； ②2>3； ③偶数是自然数； ④x ＞2； ⑤这座山真险啊！ A. ①②③ B. ①③④ C. ①②⑤ D. ②③⑤ 2. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B. 语句“当a ＞4时，方程x2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题 C. 命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D. 语句“当a ＞4时，方程x2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题 3. “若x ，y 全为零，则xy ＝0”的否命题为 。 4. 判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由。 ①函数y ＝sin4x －cos4x 的最小正周期是π； ②若x ＝4，则2x ＋1

选修2-1第1章 1.2 充分条件与必要条件

【规律总结】

充分条件与必要条件的判断方法

（1）定义法：借助“⇒”号，可记为：箭头所指为必要，箭尾跟着充分。 用定义法判断直观、简捷，且一般情况下，错误率低，在解题中应用极为广泛。

（2）集合法

从集合角度看，设集合A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满足条件q }。

①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件。 ②若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；若B A ，则p 是q 的必要不充分条件。 ③若A ＝B ，则p 是q 的充要条件。

④若A ⊄B ，且B ⊄A ，则p 是q 的既不充分也不必要条件。

【随堂练习】已知下列各组命题，其中p 是q 的充分必要条件的是（ ）

A. p ：m ≤－2或m ≥6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点

f (-x )B. p ：＝1；q ：y ＝f （x ）是偶函数 f (x )

C. p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β

D. p ：A ∩B ＝A ；q ：A ⊆U ，B ⊆U ，∁U B ⊆∁U A

例题1 （充分条件、必要条件、充要条件的判断）

（1）已知实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），下列结论正确的是（ ）

①Δ＝b 2－4ac ≥0是这个方程有实根的充要条件；

②Δ＝b 2－4ac ＝0是这个方程有实根的充分条件；

③Δ＝b 2－4ac ＞0是这个方程有实根的必要条件；

④Δ＝b 2－4ac ＜0是这个方程没有实根的充要条件。

A. ③④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④

（2）若p ：（x －1）（x ＋2）≤0，q ：x ＜2，则p 是q 的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

例题2 （充分条件、必要条件、充要条件的应用）

（大连高二期末）设集合A ＝{x |－x 2＋x ＋6≤0}，关于x 的不等式x 2－ax －2a 2＞0的解集为B （其中a ＜0）。

（1）求集合B ；

（2）设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围。

例题3 （充要条件的证明）求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不等

1的实根的充要条件是：0＜m ＜。 3

m 1【练习】一次函数y ＝－x ＋的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分n n

条件是（ ）

A. m ＞0，n ＞0 B. mn ＜0

C. m ＜0，n ＜0 D. mn ＞0

1. （成都高二检测）“x ＝3”是“x 2＝9”的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

2. 设p ：x 2＋3x －4＞0，q ：x ＝2，则p 是q 的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

3. （武汉高二检测）“b 2＝ac ”是“a 、b 、c 成等比数列”的________条件。

4. 若A ＝{x |a ＜x ＜a ＋2}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，且A 是B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围。