06广东专升本考题及解答

广东省2006年普通高等学校本科插班生考试

高等数学

第一部分 选择题（共15分）

一． 单项选择题（每小题3分，共15分）

1

．数f(x)

1在x0处

A、无定义 B、不连续 C、可导 D、连续但不可导 2．设函数f(x)在点x0处连续，且lim

f(x)xx0

xx0

4，则f(x0)

A、-4 B、0 C、1/4 D、4 3．设函数

32

1

xa(1x),

f(x)

11

xsin,

x2

x0x0

若limf(x)存在，则a

x0

A、 B、e1 C、e D、

2

2

1312

4．设zlnxy，则dz

A、dx

x1

1ydy

B、

1y

dx

1x

dy

C、

dxdyxy

D、ydxxdy

5．积分

0

e

x

dx

A、收敛且等于-1 B、收敛且等于0

C、收敛且等于1 D、发散

第二部分 非选择题（共85分）

二． 填空题（每小题3分，共15分） 6．若直线y4是曲线y7．由参数方程

ax32x1

的水平渐近线，则a

x2sint1ye

t

所确定的曲线在t0相应点处的切线方程

是

8．积分(xcosxsinx)dx





9．曲线yex及直线x0、x1和y0所围成平面图形绕x轴旋转所成的 旋转体体积10．微分方程4y4y5y0的通解是

三． 计算题（每小题6分，共48分） 11．求极限limnln2

n



1lnn2。 

12．计算不定积分



13．设函数ysin22x，求

x

1dydx

。

14．函数yy

x是由方程ey

处的值。

1

dydx

在点（1，0）

15．计算定积分x)dx。

16．求二重积分xy2d，其中积分区域Dx,yx2y21,x0。

D

17．设函数zarctan

xy

，求

zyx

x1y1

2

。

18．求微分方程ytanxylny满足初始条件y四． 综合题（共22分）

x

4

e的特解。

19．（14分）已知函数f(x)是g(x)5x420x315x2在,上的一个原函数，

且f(0)0。 (1) 求f(x)；

(2) 求f(x)的单调区间和极值； (3) 求极限lim



x0

sintdtf(x)

4

。

x0

20．设f(x)、g(x)都是(,)上的可导函数，且f(x)g(x)，g(x)f(x)，

f(0)1，g(0)0。试证：f(x)g(x)1，x(,)。

2

2

解答

一． 单项选择题（每小题3分，共15分）

1．

函数f(x)

1在x0处

A、无定义 B、不连续 C、可导 D、连续但不可导

解

初等函数f(x) 又

f(x)

故选D。

2． 设函数f(x)在点x0处连续，且lim

f(x)xx0

xx0

1在定义的区间(,)连续，故在x0处连续，

在x0处f(x)无意义。

4，则f(x0)

A、-4 B、0 C、1/4 D、4

解 由于lim

f(x)xx0

xx0

4，故当xx0时，

f(x)xx0

4

，为无穷小。

f(x)4xx0xx0

limf(x)lim[4xx0xx0]0

xx0

xx0

又函数f(x)在点x0处连续，limfxfx0

xx0

故 fx00 故选B 3．设函数

32

1

xa(1x),

f(x)

11

xsin,

x2

x0x0

若limf(x)存在，则a

x0

A、 B、e1 C、e D、

2

2

1

1312

解 limf(x)lima1xxae

x0x0 limf(x)lim(xsin

x0

x0

1x



12

)0

12e

12

1



12

由于limf(x)存在，ae

x0

12

， a

故选B

4．设zlnxy，则dz

A、dx

x1

1ydy

B、

1y

dx

1x

dy

C、

dxdyxy

D、ydxxdy

解

zx



1xyzx

y

1x

zy

1x

zy1y



1xy

x

1y

dz故选A 5．积分

0

dxdydxdy

e

x

dx

A、收敛且等于-1 B、收敛且等于0 C、收敛且等于1 D、发散

解



0

e

x

dxe

x

0

1

故选C

二． 填空题（每小题3分，共15分） 6．若直线y4是曲线y解 lix

ax32x1

的水平渐近线，则a

ax3

曲线y

2x1ax32x1



a

2

a2

的水平渐近线为y，故

a2

4

，a8。

x2sint1

7．由参数方程所确定的曲线在t0相应点处的切线方程 t

ye

是 解

x2sin011切点，（1，1） 0

ye1

dy

dy

e



dxdx2cots

dt

t

12

dydx

(1

,1)

e

t

t

2cos1

0

2

切线方程为 y1(x1 )

即 x2y30

8．积分(xcosxsinx)dx





解 原式=xcosxdx







sinxdx=02sinxdx



=2cosx

0

4

9．曲线yex及直线x0、x1和y0所围成平面图形绕x轴旋转所成的 旋转体体积解 Vf2(x)dx

01

e2xdx

1



2

e

2x

1





2

e1

2

10．微分方程4y4y5y0的通解是

解 特征方程 4r24r5

r1,2

1x

12

i

通解为 ye2C1cosxC2sinx 三． 计算题（每小题6分，共48分） 11．求极限limnln2

n



1lnn2。 

解

1

n211limnln1limnlnln1nlimnn22n2n原式=



1

lne2

122

12．计算不定积分

解

t,

原式=

xt,dx2tdt

C

=2

2arcsintC2arcsin

13．设函数ysin22x，求

x

1dydx

。

dy

11x

2sinsin2ln2dxxx11x

2sincos2ln2

xxx

1

sin

21x

22ln2xx

解

14．函数y

yx是由方程ey

处的值。

解

(ey)

ey

y

dydx

在点（1，0）



2

y

1

,

1,0

1

15

．计算定积分x)dx。

解 令

ulnx),dv dx

1

du

2x

1

10



1dx

dx vx

原式

=xx)10

=1)

=1)1

16．求二重积分xy2d，其中积分区域Dx,yx2y21,x0。

D

解



D

xyd

2

=dx0

1xydy

2

=

10

23

x1x

2



32

dx

=

215

1x

2

52

1



215

17．设函数zxarctan

xy

，求

zyx

x1y1

2

。

x

解

zy

x

y

2

1()

y12

x



2

x

2

22

xy

zyx

2



x

2

y

(2x)xxy

22

2

2

2

2x



2xy

2

22

2

(xy)

zyx

x1y1

2

=

18．求微分方程ytanxylny满足初始条件y

dyylny

dyylny

x

4

e的特解。

解 cotxdx





cotxdx

lnlnylncscxC=lnsinxCln(Csinx)

lnyCsinx

yeCsixn



由y

x

4

e 得 Csi 1

C4

sixn

所求特解为

y

四． 综合题（共22分）

19．（14分）已知函数f(x)是g(x)5x420x315x2在,上的一个原函数，

且f(0)0。

(1) 求f(x)；（2）f(x)的单调区间和极值；（3）极限lim解（1） f(x)



x0

sintdtf(x)

4

。

x0



5x20x

43

15x

2

dx

C x55x45x3

由f(0)0得C0，故 f(x)x55x45x3 （2）f(x)的定义域,，

32

f(x)54x20x1 5x

5x5x

2

x

2

4x3

2

x1x3

()f(x)单调增；在区间（1，3）单调减。 在区间(,0)，（0，1），,3

f(x)

有极大值f(1)1，有极小值f(3)27

x0

（3）lim

x0

sintdtf(x)

4

=lim

sinxf(x)

4

x0

lim

sinx5x20x15x

4

3

2

4

x0

=lim

sinxx

2

2

x0

lim

sinx5x20x15

2

2

x0

100

20．(8分)设f(x)、g(x)都是(,)上的可导函数，且f(x)g(x)，

g(x)f(x)

，f(0)1，g(0)0。试证：f2(x)g2(x)1，x(,)。

证明 设 F(x)f2(x)g2(x) F(x)2f(x)f(x)

)g2g(xf(x)g(x)2g(x)f(x)0=2x

故在(,)上，F(x)C （C为常数） 又 F(0)f2(0)g2(0)1 C1

) 故 f2(x)g2(x)1 x(,