中南大学材料力学答案-能量法
能 量 法
一． 概念题
1.B；2.C；3.D；4.C；5.B
6．如图所示，在弹性、小变形情况下，一杆能否承受弯矩M作用，其应变能为V(M)；当承受扭矩Me作用，其应变能为V(Me)，在M和Me共同作用下，其应变能是否为
V(M,Me)=V(M)+V(Me)，为什么？
ML2EI
Z2
V(M)=
V(Me)=
MeL2GI
ρ
2
V(M,Me)=V(M)+V(Me)
二．计算题
1．求图示梁中B点的挠度和C截面的转角。已知EI为常数 解：用卡氏定理
1）求B点的挠度，令B点的力ql=F
a）用静力学平衡方程求支座A,C的约束力，得RA=ql- b) AC段弯矩方程 M1=RAx1-
∂M∂F
21
F212
, RB=ql+
2
32
F
12
qx1=(ql-
2
F2
)x1-qx10≤x1≤2l
=-
12
2
x1
c) BC段弯矩方程M
=Fx
2
0≤x2≤l
∂M∂F
=x2
2l
d）梁ACB的应变能U=
⎰
M
21
2EI
1+
⎰2EI
l
M
22
2
e）由卡氏定理得B点的挠度
∆B=
∂U∂F
=
⎰
2l
M1∂M1EI
∂F
dx1+
⎰
l
MEI
2
∂M∂F
2
dx2=
13EI
ql
4
+
13EI
ql
4
=
2ql3EI
4
2) 求C截面的转角θc，在C截面虚加转矩mf(顺)
a）用静力学平衡方程求支座A的约束力，得RA=
m
ql2
-
m
f
2l12
b) AC段弯矩方程 M1=RAx1-
∂M1∂m
f
12
qx1=(
2
ql2
-
f
2l
)x1-qx1 (0≤x1≤2l)
2
=-
x12l
c) BC段弯矩方程M
2
=qlx
2
0≤x2≤l
∂M∂m
2f
=0
d）梁ACB的应变能U=
⎰
2l
M
21
2EI
dx1+
⎰2EI
l
M
22
2
e）由卡氏定理得C点的转角θc（令M1，M2中的mf=0）
θc=
∂U∂m
f
2l
=
⎰
M
1
∂M
1f
EI∂m
dx1+
⎰
l
MEI
2
∂M∂m
2f
dx2=
ql
3
3EI
(顺)
2．求图示刚架截面A的转角和截面C的铅垂位移。已知EI为常数 解 用卡氏定理
1）求截面C的铅垂位移,在C点加铅垂向下的力Ff
Ff2
12
a）用静力学平衡方程求支座A，B的约束力 RAx=qa(←)
RB=
12
(Ff+qa)
RAy=
-qa
b) BD段弯矩方程 M1=0 DC段弯矩方程 M
2
=RBx2=
12
(Ff+qa)x2 (0≤x2≤
12
a)
∂M∂Ff
2
=
x22
a2
12
a2
CE段弯矩方程 M
∂M∂Ff
3
3
=RBx3-Ff(x3-
)=a2
(Ff+qa)x3-Ff(x3-
)
=-
12
x3+
a2
(
≤x3≤a)
AE段弯矩方程 M
∂M∂Ff
4
4
=RAxx4-
12
qx4
2
(0≤x4≤a)
=0
c)用卡氏定理求截面C的铅垂位移∆cy （令M1,M2,M3,M4中的Ff=0）
∆cy=
1EI1EI
(⎰M
a
∂M1
1
∂Ff
dx1+
⎰
aa2
M
∂M
2
2
∂Ff
dx2+
⎰
a2
M
∂M
3
3
∂Ff
dx3+
⎰
M
∂M
4
4
∂Ff
dx4）
=
(⎰2
14
qax2dx2+
2
⎰
12
3(-
12
x3+)dx3)=
qa
4
32EI
2)求截面A的转角，在截面A处加转矩M
f
（顺）
a) 用静力学平衡方程求支座A，B的约束力RAx=qa(←),
12
Ma
f
RAy=
qa+
(↓), RB=
12
qa+
Ma
f
(↑),
b) DE段弯矩方程 M1=RBx1=(
∂M∂M
f
12
qa+
Ma
f
)x1(0≤x1≤a)
=
x1a
DA段弯矩方程 M
2
=RBa=(
12
qa+
Ma
f
)a
(0≤x2≤a)
∂M∂M
2f
=1
c) 用卡氏定理求截面C的转角θc，（令M1,M2中的M θc=
1EI
a
f
=0）
(⎰M
∂M
1
1f
∂M
dx1+
⎰
a
M
∂M
2
2f
∂M
dx2)=
2qa3EI
3
(顺)
3．半圆形小曲率杆的A端固定，在自由端作用扭转力偶距Me。曲杆横截面为圆形，其直径为d。试求B端的扭转角
解：1）截取BC段圆弧，C截面所对应的角坐标为θ，由BC段圆弧的平衡条件， 得C截面上的弯矩为M=Mesinθ,
∂M∂M
e
=sinθ
扭矩为T=Mecosθ
2）求半圆形小曲率杆的应变能U U=
∂T∂M
e
=cosθ
⎰
π
TRdθ2GI
ρ
2
+
⎰
π
MRdθ2EI
2
(0≤θ≤π)
3）用卡氏定理求截面B的转角θB，
θB=
∂U∂M
e
=
⎰
π
TGI
ρ2
∂T∂M
e
Rdθ+
π
⎰
π
M∂M
e
EI∂M
2
Rdθ
=
⎰
π
MGI
e
Rcos1GI
ρ
θdθ+
1EI
ρ
⎰
MEI
e
sinθdθ
=
π
2
MeR(
+)
4．图示刚架的各组成部分的抗弯刚度EI相同，抗扭刚度GIp也相同。在P力作用下，试求截面A和C的水平位移
解：1）令C点的力P=PC,A点的力p=pA CD段弯矩方程M1=PCx
(0≤x1≤a)
∂M∂PC∂M∂PC
1
1
=x1
∂M
1
∂PA∂M
=0
AD段弯矩方程M
2
=PAx
2
(0≤x2≤a)
2
=0
2
∂PA
=x2
DB段弯矩方程M3=PA(x3+a)+PCx3
∂M∂PC
3
(0≤x3≤a)
=x3
∂M
3
∂PA
=x3+a
DB段扭矩方程 T=PCa (0≤x3≤a)
∂T∂PC
=a
∂T∂PA
=0
2）用卡氏定理求截面C的水平位移∆c
∆C=
a
⎰
M1∂M1EI
∂PC
dx1+
⎰
a
MEI
3
∂M∂PC
3
dx3+
⎰
a
TGI
ρ
∂T∂PC
dx3=
3Pa2EI
3
+
PaGI
3
ρ
3）用卡氏定理求截面A的水平位移∆A
∆
A
=
⎰
a
MEI
2
∂M
2
∂PA
dx2+
⎰
a
MEI
3
∂M
3
∂PA
dx3=
7Pa2EI
3
5. 如图所示结构，设P,a,E,A,I均为已知，1）求结构的变形能，2）求C点的垂直位移。 解：1）求变形能
结构中HF杆受拉，DF杆受压，梁FB弯曲。 梁FB左右对称，支座力NF=NB=
FC段弯矩方程M=NFx=
a
12
P, 弯矩图左右对称。
12
2
Px0≤x≤a) pa
2
3
FC段弯曲变形能U1=
⎰
M
2EI
dx=
24EI
由结点F的平衡求得杆HF,DF所受力SHF=
2
2
36
P
SDF=-
33
P
杆HF的变形能U2=
SHFa2EASDFa2EA
2
=
pa24EAPa3EI
22
杆DF的变形能U3=
=
结构的总变形能U=2U1+U2+U3=
Pa
3
12EI
+
3Pa8EA
2
2) 用卡氏定理求截面C的铅垂位移∆cy
∂U∂P
Pa
3
∆cy=
=
6EI
+
3Pa4EA
6 平均半径为R的细圆环，在切口处嵌入块体，使环张开为e。试求环中的最大弯矩。已知EI为常数。
解：欲求圆环中的最大弯矩，必先求出使得圆环切口张开宽度为e时所对应的力F，应用单位力法求解。
写出弯矩方程，由于结构对称，可写其中一半，即（0≤θ≤π)
M=FR(1-cosθ) 当θ=π时，弯矩最大 M
max
=2FR
M=R(1-cosθ)
由单位载荷法定公式，圆环张开的宽度e为
e=2⎰
π
MMEI
=2⎰
π
MMEI
Rdθ=
⎰
π
FR(1-cosθ)Rdθ=
22
3FRπEI
3
所以 F=
eEI3Rπ
max3
=2FR=
2eEI3Rπ
2
最大弯矩弯 M