概率高考题(理科)

同学每人购买了一瓶该饮料。

（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望E ξ 解：（Ⅰ）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，那么

P (A ) =P (B ) =P (C ) =

1

, 6

1525

P (A ⋅B ⋅C ) =P (A ) P (B ) P (C ) =⋅() 2=.

66216

答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是

25

216

（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3。

15

P (ξ=k ) =C 34() k () 3-k , k =0, 1, 2, 3.

66

所以中奖人数ξ的分布列为

ξ P

0 1 2

5

72

3

1 216

12525

21672

12525511

E ξ=0⨯+1⨯+2⨯+3⨯=

[1**********].

2如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过

T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．

（Ⅰ）求p ；

（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率；

（Ⅲ）ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．

）解：

记A 1表示事件，电流能通过T 1, I =1, 2, 3, 4. A 表示事件：T 1, T 2, T 3中至少有一个能通过电流， B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过。 （I ）A =A 1⋅A 2⋅A 3, A 1, A 2, A 3相互独立，

P (A ) =P (A 1⋅A 2⋅A 3) =P (A 1) P (A 2) P (A 3) =(1-p ) 3.

又P (A ) =1-P ()=1-0. 999=0. 001, 故(1-p ) 2=0. 001, p =0. 9.

（III ）由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能通过各元件相互独立。

故ξ~B (4, 0. 9)

E ξ=4⨯0. 9=3. 6.

3 设进入某商场的每一位顾客购买甲商品的概率0.5，购买乙商品的概率为0.6，且顾客购买甲商品与购买乙商品相互独立，每位顾客间购买商品也相互独立．

（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

（Ⅲ）设ξ是进入商场的3位顾客至少购买甲、乙商品中一种的人数，求ξ的分布列及期望．

解：题目这么容易，估计今年的评分标准要偏严了． （Ⅰ）P =0.5⨯(1-0.6) +(1-0.5) ⨯0.6=0.2+0.3=0.5 （Ⅱ）P =1-(1-0.5)(1-0.6) =0.8 （Ⅲ）ξ可取0，1，2，3．

P (ξ=0) =C 3⨯(1-0.8) 3=0.008

1P (ξ=1) =C 3⨯(1-0.8) 2⨯0.8=0.096

23

P (ξ=2) =C 3⨯(1-0.8) ⨯0.82=0.384 P (ξ=3) =C 3⨯0.83=0.512 ξ的分布列为

ξE ξ=3⨯0.8=2.4

4为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简

3称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中412是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有3持金卡，在省内游客中有3持

银卡。

（I ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；

（II ）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ。

本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考察运用概率只是解决实际问题的能力。 解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡。设事件B 为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，

事件A 1为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”， 事件A 2为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。 P (B ) =P (A 1) +P (A 2)

12111

C 9C 21C C 9C 621=3+3

C C 3636 927=+

3417 0

36=

85

所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率

36是85。

（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3

312C 3C 6C 313

P (ξ=0) =3=P (ξ=1) ==3

C 84C 14 99 , 213C 6C 315C 615

P (ξ=2) =3=P (ξ=3) =3=

C 928，C 921，

所以ξ的分布列为

E ξ=0⨯

所以

13155+1⨯+2⨯+3⨯=284142821，

5厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合

同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品. （Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验. 求至少有1件是合格品的概率;

（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收. 求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望E ξ，并求该商家拒收这批产品的概率. 解：（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A 来算，有P (A )=1-P A =1-0.24=0.9984 （Ⅱ）ξ可能的取值为0,1, 2

211

C 17C 32C 3C 17511363

P (ξ=0)=2=，P (ξ=1)=2=，P (ξ=2)=2=

C 20190C 20190C 20190

()

1365133

+1⨯+2⨯= [1**********]

记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B ，则商家拒收这批产品的概率

13627

P =1-P (B )=1-=

190

95E ξ=0⨯

27 95

6一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线电话，已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为0.5，电话C 、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响. 假设该时刻有ξ部电话占线. 试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.

解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.

所以商家拒收这批产品的概率为

11 P(ξ=1)=C 2 ×0.52×0.62+C 2 ×0.52×0.4×0.6=0.3

2112 P(ξ=2)= C 2 ×0.52×0.62+C 2×0.52×0.4×0.6+C 2 ×0.52×0.42=0.37. C 22112 P(ξ=3)= C 2×0.52×0.4×0.6+C 2×0.52×0.42=0.2 C 2C 2

P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04

7某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。

（I ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（II ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，

求这批产品被用户拒绝的概率。 ．解：（Ⅰ）ξ可能的取值为0，1，2，3．

22

C 4C 3189

P (ξ＝0) ＝22＝100＝50

C 5C 512211C 4C 3C 4C 3·C 212

P (ξ＝1) ＝2222＝25

C 5C 5C 5C 511122C 4C 3·C 2C 4C 215

P (ξ＝2) ＝2222＝50

C 5C 5C 5C 512C 4C 21

P (ξ

＝3) ＝22＝25．

C 5C 5ξ

(Ⅱ) 所求的概率为

15117

p ＝P (ξ≥2) ＝P (ξ＝2) ＋P (ξ＝3) ＝50＋25＝50

8 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P (A ) =0.96． （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；

（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列

S

解：（1）记A 0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，

． A 1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”则A 0，A 1互斥，且A =A 0+A 1，故

F

P (A ) =P (A 0+A 1)

=P (A 0) +P (A 1)

C

A

E

B

=(1-p ) 2+C 12p (1-p )

=1-p 2

于是0.96=1-p 2．

解得p 1=0.2，p 2=-0.2（舍去）．

1，2． （2）ξ的可能取值为0，

若该批产品共100件，由（1）知其二等品有100⨯0.2=20件，故

2

C 80316

． P (ξ=0) =2=

C 100495

1

C 1C 160

． P (ξ=1) =80220=

C 100495

C 219

． P (ξ=2) =220=

C 100495

所以ξ的分布列为

9a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至

少支付赔偿金10 000元的概率为1-0.99910．

（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p ；

（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）． 解： 各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则ξ~B (104，p ) ．

（Ⅰ）记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A 发生当且仅当ξ=0，

4

P (A ) =1-P (A ) =1-P (ξ=0) =1-(1-p ) ， 又P (A ) =1-0.99910，故p =0.001．

（Ⅱ）该险种总收入为10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和． 支出 10000ξ+50000，

盈利 η=10000a -(10000ξ+50000) ，

盈利的期望为 E η=10000a -10000E ξ-50000， 由ξ~B (104，10-3) 知，E ξ=10000⨯10-3，

4

104

E η=104a -104E ξ-5⨯104=104a -104⨯104⨯10-3-5⨯104．

E η≥0⇔104a -104⨯10-5⨯104≥0⇔a -10-5≥0⇔a ≥15（元）．

故每位投保人应交纳的最低保费为15元．

10 如图，一个小球从M 处投入，通过管道自上面下落到A 或B 或C ，已知小

球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的.

某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A ，B ，C ，则分

别设为1，2，3等奖.

（I ）已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%，记随机变量ξ

为获得k (k =1, 2, 3) 等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布 列及数学期望E ξ.

（II ）若有3人次（投入1球为1人次）参加促销活动，

记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次， 求P （η=2）.

（Ⅰ）解：由题意得ξ的分布列为

ξ 50% 70% 90%

P

3

716

38

16

则E ξ=3373

16⨯50%+8⨯70%+16⨯90%=4

.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，获得1等奖或2等奖的概率为316+39

8=16

. 由题意得η-B (3,

916) 则P (η=2) =C 2991701

1(16) 2(1-16) =

4096

.