椭圆的参数方程的几点应用
贵州省习水县第一中学 袁嗣林
椭圆
的参数方程是
（α是参数，
）。
特别地，以点（
）为圆心，半径是r的椭圆的参数方程是
（α是参数，r>0）。下面就应用做一些归纳。
1.参数方程在求最值上的应用
例1 求椭圆
的内接矩形的面积及周长的最大值。
分析：此题可以设矩形长为x,然后代入椭圆方程解出宽。但因为有参数a,b,所以把式子列出后都很难解答。而考虑椭圆的参数方程可以迎刃而解。
解：如图，设椭圆
的内接矩形在第一象限的顶点是A（
）（
），矩形的面积和周长分别是S、L。
，
当且仅当
时，
，
，此时α存在。
点评：利用参数方程后，再利用三角函数性质可以简化求解的过程和降低求解的难度。
例2 设点P（x，y）在椭圆
，试求点P到直线
的距离d的最大值和最小值。
分析：此题可以设点P（x，y）,然后代入椭圆方程
（1），然后利用点到直线的距离公式把d表示出来。但仍然很难继续解答。而考虑椭圆的参数方程却可以树立解决此问题。
解：点P（x，y）在椭圆
上，设点P（
）（α是参数且
），
则
。
当
时，距离d有最小值0，此时椭圆
与直线
相切；当
时，距离d有最大值2。
点评：在求解最值问题时，尤其是求与圆锥曲线有关的函数的最值时，我们可以考虑利用参数方程降低难度。
2.参数方程在求与离心率有关问题上的应用
例3 椭圆
与x轴的正向相交于点A，O为坐标原点，若这个椭圆上存在点P，使得OP⊥AP。求该椭圆的离心率e的取值范围。
分析：如果按常规设p(x,y),OP2+AP2=OA2,展开，与离心率没有明显的联系，但用参数方程就非常容易。
解：设椭圆
上的点P的坐标是（
）（α≠0且α≠π），A（a，0）。
则
。而OP⊥AP，
于是
，整理得
解得
（舍去），或
。
因为
，所以
。可转化为
，解得
，于是
。故离心率e的取值范围是
。
点评：有关离心率入手比较困难的问题时我们可以考虑应用参数方程求解。